Testy 1

Test č. 1
Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
letní semestr 2006-2007
Kuželosečky, afinita a kolineace
(1) (a) Je dána elipsa E(F1,F2,a), |F1F2| < 2a. Sestrojte několik bodů elipsy, hy-
peroskulační kružnice, tečnu v libovolném bodě T ∈ E, zkonstruujte kružnice
z vět VP, VQ.
(b) Je dána elipsa E(A,B,e) a bod R. Sestrojte tečny z bodu R k elipse E, určete
body dotyku.
(c) Je dána elipsa E(A,B,e) a směr s. Sestrojte tečny rovnoběžné s daným smě-
rem s k elipse E, určete body dotyku.
(2) (a) Je dána hyperbola H(F1,F2,a), |F1F2| > 2a. Sestrojte několik bodů hyper-
boly, hyperoskulační kružnice, tečnu v libovolném bodě T ∈ E, zkonstruujte
kružnice z vět VP, VQ.
(b) Je dána hyperbola H(F1,F2,A) a bod R. Sestrojte tečny z bodu R k hyperbole
H, určete body dotyku.
(c) Je dána hyperbola H(A,B,e) a směr s. Sestrojte tečny rovnoběžné s daným
směrem s k hyperbole H, určete body dotyku.
Poznámka: Úloha nemá řešení pro směr s, pokud sprime, kde sprime bardbl s, S ∈ s, neleží
v úhlu asymptot obsahující vedlejší osu hyperboly H.
(3) (a) Je dána parabola P(F,d). Sestrojte několik bodů paraboly, hyperoskulační
kružnici, tečnu v libovolném bodě T ∈ E, zkonstruujte přímky z vět VP, VQ.
(b) Je dána parabola P(F,d) a bod R. Sestrojte tečny z bodu R k parabole P,
určete body dotyku.
(c) Je dána parabola P(F,d) a směr s. Sestrojte tečny rovnoběžné s daným smě-
rem s k parabole P, určete body dotyku.
1
2
(4) K pravidelnému pětiúhelníku ABCDE najděte afinní AprimeBprimeCprimeDprimeEprime.
Afinita je stanovena osou o a dvojicí bodů A,Aprime.
(5) Ve středové kolineaci (určené středem S, osou o, dvojicí bodů A,Aprime)najděte k pra-
videlnému šestiúhelníku ABCDEF kolineární.
(6) Ve středové kolineaci (S, o, u → ∞uprime) sestrojte odpovídající přímky k přímkám a,
b, c. (Poloha přímky a vůči ose o je různoběžná, b je s osou rovnoběžná, c je k ose
kolmá), kde u je úběžnice, k níž koresponduje nevlastní přímka ∞uprime roviny.
(7) Elipsa je určena sdruženými průměry KL, MN. Pomocí afinity sestrojte k nenarý-
sované elipse tečny z vnějšího bodu R.
(8) Elipsa je určena sdruženými průměry KL, MN. Pomocí afinity sestrojte k nenarý-
sované elipse tečny tak, aby byly rovnoběžné s daným směrem s.
Elipse e určené sdruženými průměry KL, MN přiřadíme afinně kružnici eprime (např.
nad průměrem KL, tedy K ≡ Kprime, L ≡ Lprime; M → Mprime). Osa afinity o ≡ KL a dvojice
odpovídajících bodů M, Mprime určují afinitu.
(9) Elipsa je dána sdruženými průměry. Vyrýsujte elipsu (Rytzova konstrukce os elipsy).
I. Elipsa: Elipsa E je množina všech bodů v E2, které mají od dvou pevných (různých)
bodů v E2, zvaných ohniska (značíme F1, F2) stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je
větší než vzdálenost obou ohnisek.
VětaT: Vkaždém bodě E existuje právě jedna tečna. Tečna půlí vnější úhel průvodičů
(tečnu značíme obvykle t, dotykový bod T). Normála n je kolmá na tečnu t vbodě T a půlí
vnitřní úhel průvodičů.
VětaP: Množina pat P kolmic spuštěných z ohnisek elipsy E na její tečny je vrcholová
kružnice k(S,a).
VětaQ: Množina bodů Q souměrně sdružených s jedním ohniskem elipsy E (například
F1) podle jejich tečen je řídící kružnice se středem v druhém ohnisku (F2) a poloměrem
r = 2a. Přitom platí T ∈ QF2.
II. Hyperbola: Hyperbola H je množina všech bodů v E2, které mají od dvou pevných
(různých) bodů v E2, zvaných ohniska (značíme F1, F2) stálý rozdíl vzdáleností rovný 2a,
který je menší než vzdálenost obou ohnisek.
VětaT: Vkaždém bodě H existuje právě jedna tečna. Tečna půlí vnější úhel průvodičů
(tečnu značíme obvykle t, dotykový bod T). Normála n je kolmá na tečnu t v bodě T a
půlí vnitřní úhel průvodičů.
3
VětaP: Množina pat P kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly H na její tečny je vrcho-
lová kružnice k(S,a).
VětaQ: Množina bodů Q souměrně sdružených s jedním ohniskem hyperboly H (napří-
klad F1) podle jejich tečen je řídící kružnice se středem v druhém ohnisku (F2) a poloměrem
r = 2a. Přitom platí T ∈ QF2.
III. Parabola: Parabola P je množina všech bodů v E2, které mají od pevného bodu
F v E2, zvaného ohnisko, a pevné přímky d, zvané řídící přímka, která tímto bodem ne-
prochází, stejné vzdálenosti.
VětaT: Vkaždém bodě P existuje právě jedna tečna. Tečna půlí vnější úhel průvodičů
(tečnu značíme obvykle t, dotykový bod T). Normála n je kolmá na tečnu t v bodě T a
půlí vnitřní úhel průvodičů. =⇒ tV bardbl d
VětaP: Množina pat P kolmic spuštěných z ohniska F paraboly P na její tečny je
vrcholová tečna tV .
VětaQ: Množina bodů Q, souměrně sdružených s ohniskem F podle tečen paraboly P,
je řídící přímka d.
Věta: Subtangenta je půlena vrcholem V.
Věta: Délka subnormály je rovna velikosti parametru p.
Odevzdávejte poštou a najednou všechny příklady. Budou Vám vráceny opravené poštou
přes děkanát. Poznámka při opravách „znovucsquotedblright znamená přerýsovat příklad, poznámka
„doplnitcsquotedblright znamená dorýsovat daný příklad.
Mgr. Jan J. Šafařík
RNDr. Jana Slaběňáková
Typeset by LATEX
4
Test č. 2
Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
letní semestr 2006-2007
Kótované promítání
(1) (a) Je dána přímka a(A,B); A[30;50;40], B[−20;20;10]. Zobrazte přímku a, stop-
ník P přímky a a její odchylku od půdorysny pi.
(b) Na přímce p(A,B); A[−40;50;−10], B[30;30;40]; určete bod M, jehož kóta
z = 25.
(c) Zobrazte přímku p(A,B) a body C, D, E, které na ní leží, A[−30;20;45],
B[15;45;10], C[−20;?;?], D[?;30;?], E[?;?;−10].
(2) Najděte stopu roviny ρ(A,B,C) a hlavní přímku o kótě 40.
A[50;50;30], B[0;−10;50], C[−30;30;20].
(3) Je dána přímka a(E,F) a bod A. Určete obraz rovnostranného trojúhelníka triangleABC
o vrcholu A, jehož strana BC leží na přímce a.
E[30;10;20], F[−30;50;60], A[0;60;10].
(4) Určete průmět kružnice k ležící v rovině ρ(−60;75;60) a je dána středem S[15;?;40]
a poloměrem r = 35.
Poznámka: Při zadání roviny pomocí jejích tří souřadnic – ρ(x;y;z) – vycházíme
z úvahy, že půdorysná stopa pρ prochází body [x;0;0], [0;y;0] a třetí bod roviny má
souřadnice [0;0;z]. Je možné také uvažovat místo bodu [0;0;z] hlavní přímku o kótě
z, její půdorys prochází počátkem a z vlastností hlavních přímek dále plyne, že je
rovnoběžný se stopou.
Nepovinné příklady:
(1) Určete vzdálenost bodu V od roviny ρ(A,B,C).
V[0;20;70], A[−50;80;80], B[−20;30;60], C[30;10;20].
(2) Zobrazte dráhu bodu A[0;34;45], který rotuje kolem přímky p(M,Q), M[75;15;15],
Q[5;85;55].
5
(3) Určete průmět čtverce s vrcholem A[40;50;20], jehož úhlopříčka BD leží na přímce
e(Q,R). Q[−20;0;60], R[20;90;20].
(4) Zobrazte rotační válec s osou o(S,1S) o poloměru podstavy r = 35. S[−20;40;30],
1S[30;70;60].
(5) Sestrojte krychli ABCDAprimeBprimeCprimeDprime o hraně AB, je-li následující vrchol C v prů-
mětně pi. A[0;20;10], B[45;0;30].
Odevzdávejte poštou a najednou všechny příklady. Budou Vám vráceny opravené poštou
přes děkanát. Poznámka při opravách „znovucsquotedblright znamená přerýsovat příklad, poznámka „do-
plnitcsquotedblright znamená dorýsovat daný příklad.
RNDr. Jana Slaběňáková
Mgr. Jan J. Šafařík
Typeset by LATEX
6
Test č. 3
Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
letní semestr 2006-2007
Mongeovo promítání na dvě k sobě kolmé průmětny
(1) (a) Sestrojte stopy roviny α, znáte-li její spádovou přímku první osnovy s ≡ PN.
P[−40;55;0], N[45;0;80].
(b) Určete stopy roviny ρ, zadané dvěma různoběžkami a ≡ AB, b ≡ AC.
A[−40;0;0], B[0;50;30], C[0;20;50].
(c) Přímkou a ≡ AB proložte rovinu ρ rovnoběžnou s osou x.
A[−50;20;50], B[50;50;30].
(d) Sestrojte stopy roviny ρ. Rovina je určena bodem A a přímkou m ≡ MN.
A[40;10;30], M[10;60;50], N[−60;30;10].
(e) Najděte průsečík přímky p ≡ AB s rovinou ρ.
A[−70;80;80], B[20;0;10], ρ(−70;60;50).
(f) Určete průsečík Q přímky m ≡ KR, K[−50;14;35], R[0;27;8], s rovinou dvou
rovnoběžek a bardbl b, a ≡ PA, P[−50;39;0], A[0;14;62], b owner B, B[−20;12;0].
(g) Bodem M veďte rovinu α, rovnoběžnou s rovinou ρ.
M[50;30;50], ρ(−40;70;50).
(h) Je dána rovina ρ, přímka m ≡ MN s rovinou ρ různoběžná a bod R, který
neleží ani v rovině ρ, ani na přímce m. Sestrojte přímku p tak, aby procházela
bodem R, protínala přímku m a byla s rovinou ρ rovnoběžná.
ρ(−44;16;28), R[10;14;27], M[−40;19;34], N[14;0;7].
(2) (a) Určete vzdálenost d bodu M od roviny α.
M[−30;40;50], α(−60;50;40).
(b) Určete vzdálenost d bodu C od přímky p ≡ AB.
A[−40;20;30], B[40;−20;0], C[0;−50;40].
(3) Sestrojte (i s vyznačením viditel