Testy 1

nosti) zásek dvou trojúhelníků triangleABC a triangleMNP.
A[−30;40;0], B[0;0;50], C[40;60;40], M[−30;55;30], N[−20;10;75], P[30;30;0].
(4) Sestrojte řez roviny ρ(80;80;60) kosým kruhovým válcem. Kosý kruhový válec má
podstavu v půdorysně o středu podstavy S[−30;40;0], poloměr kružnice r = 35,
střed horní podstavy 1S[30;90;70].
Pokyny: Užijte osové afinity. Najděte Sprime = S1S ∩ ρ a poté dvojici vzájemně
kolmých průměrů v kruhové podstavě. Vyznačte některou afinní dvojici sdružených
průměrů. Vyhledejte obrysové body U, V přechodu viditelnosti řezu vzhledem ke 2.
průmětu a obrysové body K, R přechodu viditelnosti řezu vzhledem k 1. průmětu.
7
(5) Sestrojte krychli, je–li dán její vrchol A[10;30;15] a přímka p ≡ KL (K[40;45;10],
L[10;55;35]), na níž leží její hrana, která je s bodem A v téže stěně. Zobrazte to
řešení, pro nějž A je nejnižším vrcholem krychle vzhledem k půdorysně pi.
(6) Zobrazte průměty rotačního kužele, jehož podstava leží v rovině ρ(−80;70;60), její
střed je S[0;35;?] a dotýká se půdorysny. Výška kužele v = 60.
Poznámka: bod, ležící v rovině nesmí být zadáván najednou oběma průměty, chy-
bějící průmět se naopak musí odvodit, aby opravdu takový bod ležel v dané rovině
(pomocí hlavních přímek).
(7) Sestrojte průsečíky přímky b ≡ RQ s kosým kruhovým válcem. Kosý kruhový válec
má podstavu v půdorysně o středu podstavy O[−10;40;0], střed horní podstavy
L[50;40;70], poloměr kružnice podstavy r = 35; R[50;10;0], Q[−10;90;80].
Pokyny: Přímkou b proložíte rovinu ϕ rovnoběžnou s površkami válce. Po volbě
libovolného bodu H ∈ b zavedete H ∈ oprime bardbl o (bodem H rovnoběžku oprime s přímkou
o ≡ OL). Vyhledáte půdorysnou stopu této roviny ϕ(b,oprime). Rovina ϕ protne válec ve
dvou rovnoběžných površkách e, f. Jejich půdorysné stopníky jsou průsečíky kruhové
základny s půdorysnou stopou roviny ϕ. Průsečíky těchto površek e, f s přímkou b
jsou hledané průsečíky X, Y přímky b s válcem. Vyznačte viditelnost přímky b a
průsečíků X a Y.
(8) Určete průsečíky přímky b ≡ PQ s kulovou plochou o středu S a poloměru r.
S[−15;40;40], r = 37, P[−15;90;100], Q[15;10;0].
Pokyny: přímkou b1 proložte rovinu λ, kolmou k půdorysně (nebo k nárysně).
Rovina λ řeže kouli v kružnici m. Vyznačte průměr kružnice m1 (je to úsečka).
Najděte střed M1 na m1. Sklopte přímku b1 do (b) a kružnici m1 do (m) - nejdříve
však (M). Vyhledejte průsečíky (X) a (Y) kružnice (m) a přímky (b). Promítacími
přímkami odvoďte X1 a Y1, později X2 a Y2.
Určete viditelnost průsečíků X a Y vzhledem k oběma průmětnám. Vzhledem k 1.
průmětu viditelnost rozhodne rovník kulové plochy a poloha bodů X a Y vzhle-
dem k rovníku (posoudíme v druhém průmětu nebo ve sklopeném obraze). Poloha
hlavní kružnice na kulové ploše, ležící v rovině rovnoběžné s nárysnou rozhodne
o viditelnosti průsečíků X a Y vzhledem ke 2. průmětu. Je-li průsečík X nebo Y
k pozorovateli blíže než je střed kulové plochy, je viditelný.
(9) Sestrojte řez kulové plochy, zadané středem S a poloměrem r, rovinou ρ.
S[0;45;50], r = 40, ρ(10;10;−5).
Pokyny: Zavedeme třetí průmětnu µ buď kolmou k pi (nebo k ν) středem kulové
plochy či poněkud odsunutou. Tedy např. kolmou k pi: potom poloha třetí průmětny
8
(promítá se do přímky µ1) je kolmá k půdorysné stopě pρ1. Sestrojíme třetí prů-
mět ρ3 roviny řezu (bude jím přímka) a třetí průmět kulové plochy (tady začneme
od středu S3). Třetí průmět středu M3 kružnice řezu je patou kolmice k3 , vedenou
kolmo na rovinu řezu ρ3. Protože kružnice řezu se promítá (v 3. průmětu) do úsečky,
ihned zjistíme průměr této kružnice. Odvodíme do 1. průmětu M1. Dále použijeme
znalostí o průmětu kružnice v nakloněné rovině ρ (je-li dána středem M a velikostí
poloměru). Viditelnost vůči 1. průmětu pomůže rozhodnout hlavní přímka Ihρ první
osnovy roviny řezu ρ, vedená středem S. Obdobně viditelnost vůči nárysně hlavním
přímka IIhρ druhé osnovy.
(10) Kosý kruhový válec protněte normální rovinou (tj. rovinou kolmou k površkám
válce), jdoucí bodem R. Kosý kruhový válec má podstavu v půdorysně o středu
podstavy S[20;40;0], střed horní podstavy 1S[−20;40;90], poloměr kružnice r = 30,
R[−50;0;0]. Určete skutečnou velikost řezu.
Odevzdávejte poštou a najednou všechny příklady. Budou Vám vráceny opravené poštou
přes děkanát. Poznámka při opravách „znovucsquotedblright znamená přerýsovat příklad, poznámka „do-
plnitcsquotedblright znamená dorýsovat daný příklad.
Mgr. Jan J. Šafařík
RNDr. Jana Slaběňáková
Typeset by LATEX
9
Test č. 4
Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
letní semestr 2006-2007
Kolmá axonometrie
Rýsujte tužkou (křivky křivítkem) na volné listy formátu A4 (kancelářský papír). Úkoly
č. 1 až 8 můžete vypracovat přímo do zadaných obrázků. U řezů rovinami vyznačte také
body přechodu viditelnosti na křivkách řezu. Axonometrický trojúhelník má osu x nalevo.
(1) Najděte stopy roviny α(C,b) (určené přímkou b a bodem C).
10
(2) Najděte průsečík X = b∩α (přímky b s rovinou α).
(3) (a) Najděte chybějící stopu mα.
(b) Bodem B veďte rovinu β tak, aby byla rovnoběžná s danou rovinou α.
11
(4) Najděte průsečnici g = α∩β (a také g1) rovin α a β.
(5) Kružnice leží v souřadnicové rovině ν(x,z) a je určena středem S a poloměrem
r = 25. Kružnici dorýsujte pomocí křivítka.
12
(6) Sestrojte průmět kružnice, ležící v půdorysně, je-li určena středem S = S1 a tečnou
b = b1.
13
(7) S ohledem na viditelnost zobrazte přímý čtyřboký hranol se čtvercovou podstavou
v půdorysně, určenou vrcholy A, B. Určete řez rovinou σ(pσ,R). Podstavu hranolu
volte tak, aby neprotínala půdorysnou stopu roviny řezu pσ.
14
(8) Najděte průsečíky X a Y přímky b s kosým čtyřbokým nepravidelným jehlanem.
15
(9) V kolmé axonometrii – dimetriitriangle(100,100,115) sestrojte průsečíky přímky g ≡ PR
s kosým kruhovým válcem o středu kruhové podstavy 1S[48;45;0]. Podstava má po-
loměrr = 40 a leží v půdorysně, druhá podstava má střed 2S[0;54;65],P[48;−10;0],
R[5;120;78]. Dále sestrojte řez tohoto válce rovinou α(−90;80;35). Užijte osové afi-
nity, vyznačte střed S elipsy řezu a některé sdružené průměry této křivky řezu.
(10) V kolmé axonometrii – izometrii triangle(100,100,100) sestrojte řez pravidelného šesti-
bokého jehlanu s podstavou v rovině µ(y,z) o středu S[0;60;60], vrcholu podstavy
A[0;60;0] a výšce jehlanu v = 174, rovinou α(65;−146;103).
Nejdříve některý vrchol řezu odvoďte jako průsečík boční hrany s rovinou řezu
užitím krycí roviny a krycí přímky. Další vrcholy šestiúhelníka řezu už odvozujte
užitím kolineace mezi rovinou podstavy a rovinou řezu. Prodlužte strany pravidel-
ného šestiúhelníku k ose kolineace (její stopa roviny řezu v rovině µ(y,z) podstavy).
Využijte důsledně vět o kolineaci a jejich vlastností.
(11) V kolmé axonometrii triangle(90,100,80) sestrojte řezy koule o středu S[0;40;50] a o po-
loměru r = 70 rovinou půdorysny pi a rovinou nárysny ν(x,z). Určete body pře-
chodu viditelnosti na křivkách řezu. Dbejte, aby se křivky řezu vzájemně spolu
protínaly na ose x!
Uvědomte si, že poloměr kružnice řezu je závislý na vzdálenosti roviny řezu od
středu koule. Proto si mimo obrázek sestrojte kružnici o poloměru, jaký má daná
koule a ze známé vzdálenosti roviny řezu od středu koule odvoďte příslušný poloměr.
Odevzdávejte poštou a najednou všechny příklady. Budou Vám vráceny opravené poštou
přes děkanát. Poznámka při opravách „znovucsquotedblright znamená přerýsovat příklad, poznámka
„doplnitcsquotedblright znamená dorýsovat daný příklad.
Mgr. Jan J. Šafařík
RNDr. Jana Slaběňáková
Petr Koplík
Typeset by LATEX
16
Test č. 5
Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
letní semestr 2006-2007
Šroubovice a šroubové plochy
(1) V obr. 1 písemně popište varianty A až D, který z pohybů je levotočivý a který pra-
votočivý. Současný posun (příslušný k pootočení) ve směru osy o je vyznačen šipkou.
Obr. 1
(2) (a) V Mongeově promítání je dána osa o ⊥ pi, o1(0;35). Rozvinutím šroubovice
tvořené bodem A[−15;12;25] odvoďte z dané výšky závitu v = 40 odpovída-
jící parametr šroubového pohybu (tj. redukovanou výšku závitu vo). Na tom,
zda je pravotočivá, nezáleží.
(b) V Mongeově promítání je dána osa o ⊥ pi, o1(0,30). Z dané redukované výšky
závitu vo = 12 odvoďte výšku závitu v pro bod B(18,8,27).
Poznámka: všechny konstrukce na šroubovici se prakticky provádějí pomocí jejího
rozvinutí v přímku!
(3) V Mongeově promítání je dána osa o ⊥ pi, o1(0;38). Bod C[17;15;37] přešroubujt