GA05-Matematika III M03-Obyčejné diferenciální rovnice

ˇreˇsen´ı m´a diferenci´aln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Jak naz´yv´ame jednotliv´e typy ˇreˇsen´ı? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro ODR 15
2.1 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro rovnici prvn´ıho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Geometrick´a interpretace rovnice prvn´ıho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro rovnici obecn´eho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Existence ˇreˇsen´ı a existence jedin´eho ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy . . . . . . . . . . . 20
2.6 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı ´ulohy (2.5) . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Lok´aln´ı charakter existenˇcn´ıch vˇet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Diferenci´aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu 31
3.1 Separovan´a rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Line´arn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Exaktn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
v
vi OBSAH
Kapitola 1
Z´akladn´ı pojmy z oblasti
obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
D´ılˇc´ı c´ıl:
Studium t´eto kapitoly je velice d˚uleˇzit´e. Umoˇzn´ı V´am sezn´amit se se z´akladn´ımi po-
jmy z teorie diferenci´aln´ıch rovnic, bez kter´ych by dalˇs´ı studium bylo bezpˇredmˇetn´e:
• Pochop´ıte pojem diferenci´aln´ı rovnice.
• Budete umˇet rozliˇsit obyˇcejn´e a parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice.
• Pozn´ate, co se rozum´ı ˇr´adem diferenci´aln´ı rovnice.
• Nauˇc´ıte se rozliˇsit line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici a ch´apat pojmy souvisej´ıc´ı
z t´ımto typem rovnic (rovnice homogenn´ı, nehomogenn´ı, koeficienty rovnice,
atd.)
• Pozn´ate, co se rozum´ı ˇreˇsen´ım diferenci´aln´ı rovnice. Budete umˇet rozhodnout,
kdy dan´a funkce je ˇreˇsen´ım dan´e rovnice na dan´e mnoˇzinˇe.
• Nauˇc´ıte se pracovat s pojmy explicitn´ı (resp. implicitn´ı) tvar ˇreˇsen´ı difer-
enci´aln´ı rovnice.
• Sezn´am´ıte se s pojmy partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı, obecn´e nebo singul´arn´ı ˇreˇsen´ı difer-
enci´aln´ı rovnice a nauˇc´ıte se hledat partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı z obecn´eho ˇreˇsen´ı,
budou-li zad´any dalˇs´ı doplˇnuj´ıc´ı podm´ınky.
1.1 Co je to diferenci´aln´ı rovnice?
Tato ˇc´ast je vˇenov´ana sezn´amen´ı s pojmem diferenci´aln´ı rovnice. Slovo diferenci´aln´ı
spoleˇcnˇe se slovem rovnice naznaˇcuj´ı, ˇze jde o druh rovnic, kter´e obsahuj´ı derivace.
Je tomu opravdu tak – v pˇredchoz´ı vˇetˇe je skryt obsah dvou studijn´ıch modul˚u,
vˇenuj´ıc´ıch se diferenci´aln´ım rovnic´ım.
Pˇredt´ım, neˇz zaˇcneme nˇejakou diferenci´aln´ı rovniciˇreˇsit, je nutn´e se sezn´amit s nˇekte-
r´ymi nezbytn´ymi pojmy a tak´e s tradiˇcnˇe uˇz´ıvan´ymi term´ıny t´eto oblasti.
1
2 KAPITOLA 1. Z´AKLADN´I POJMY
V matematice jste se sezn´amili s pojmem derivace funkce. Derivace funkce y = f(x)
(podle promˇenn´e x)
dy
dx = f
prime(x)
je opˇet funkc´ı promˇenn´e x a m˚uˇze b´yt nalezena podle zn´am´ych pravidel. Napˇr´ıklad
derivace funkce y = eâ