BA02-Matematika II M03-Obyčejné diferenciální rovnice I

´ıskan´e poznatky? Je to, ˇcemu budeme vˇenovat ˇradu hodin
trpˇeliv´eho studia, k nˇeˇcemu uˇziteˇcn´e? M˚uˇze b´yt bakal´aˇr˚um, magistr˚um a doktor˚um
stavebn´ı fakulty studium diferenci´aln´ıch rovnic prospˇeˇsn´e?
Odpovˇed’ z ˇc´asti z´aleˇz´ı na kaˇzd´em
posluchaˇci a posluchaˇcce samotn´e,
na jejich motivaci ke studiu a
na jejich ˇzivotn´ıch pl´anech. ˇC´ast
odpovˇedi, kterou m˚uˇzeme povaˇzovat
za dostateˇcnˇe jednoduchou, objek-
tivn´ı a provˇeˇrenou ˇradou generac´ı
stavebn´ıch inˇzen´yr˚u, je pˇribliˇznˇe
takov´ato:
Diferenci´aln´ı rovnice
jsou p´ateˇr´ı mnoha inˇzen´yrsk´ych a
vˇedn´ıch obor˚u.
ˇRada stavebn´ıch
proces˚u modelovan´ych na z´akladˇe me-
chanick´ych, statick´ych, chemick´ych ˇci
obecn´ych fyzik´aln´ıch princip˚u vede k
jejich popisu pomoc´ı ˇrady rovnic, kter´e
ˇcasto b´yvaj´ı pr´avˇe rovnicemi dife-
renci´aln´ımi.
Odhady pr˚uhyb˚u nosn´ık˚u ve stavebn´ıch
konstrukc´ıch, ohyby sloup˚u, v´ypoˇcty
uˇziteˇcn´eho zat´ıˇzen´ı konstrukc´ı, do-
pravn´ı modely, pl´anov´an´ı v´ystavby
trolejov´eho veden´ıˇci zkoum´an´ı stability
staveb (napˇr´ıklad most˚u) vedou ˇcasto k
nutnosti studovat diferenci´aln´ı rovnice.
Intuitivnˇe se pravidla, pˇr´ımo vypl´yvaj´ıc´ı ze z´avˇer˚u studia o chov´an´ı ˇreˇsen´ı dife-
renci´aln´ıch rovnic, vyuˇz´ıvala jiˇz d´avno. Vojensk´y pˇr´ıkaz ,,zruˇsit“ krok, dan´y velitelem
pˇeˇs´ı jednotky pˇred jej´ım vstupem na most, c´ılem kter´eho je nezp˚usobit destrukci
mostu, je toho dokladem. Vysvˇetlen´ı, kter´e je d´ano z´avˇery z anal´yzy ˇreˇsen´ı dife-
renci´aln´ıch rovnic, zn´ı v odbornˇejˇs´ı terminologii takto: ,,Jednotka sv´ym pˇresunem
nesm´ı vyvolat kmity mostn´ı konstrukce, kter´e naz´yv´ame rezonanc´ı. Obecnˇe m˚uˇze
vznik rezonance vy´ustit aˇz v hav´arii ˇci katastrofu.“
iv
,,ZRUˇSIT KROK!“
Obsah
1 Z´akladn´ı pojmy 1
1.1 Co je to diferenci´aln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Obyˇcejn´e a parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 ˇR´ad diferenci´aln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Line´arn´ı a neline´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Co je to ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 M´a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice vˇzdy explicitn´ı tvar? . . . . . . . . . . 7
1.7 Kolik ˇreˇsen´ı m´a diferenci´aln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Jak naz´yv´ame jednotliv´e typy ˇreˇsen´ı? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro ODR 15
2.1 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro rovnici prvn´ıho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Geometrick´a interpretace rovnice prvn´ıho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro rovnici obecn´eho ˇr´adu . . . . .