BMA3_2010_písemka na numerické metody

491; x2 := 4;497; x3 := 4;497
Kołen je płibli n 4,497.
Pł. 2. Jacobiho metodou łe„te soustavu rovnic
10x + y 5z = 10
2x 5y + z = 20
x + 5y + 4z = 5
Rozhodn te, zda je spln na n kterÆ z probran ch podm nek konvergence metody {
rozepi„te!
Pak prove te 2 kroky metody (bez ohledu na platnost podm nek konvergence).
Vyjd te z bodu (x0;y0;z0) = (1; 2; 4).
e„en :
fiÆdnÆ z probran ch podm nek konvergence spln na nen , matice soustavy nen
łÆdkov ani sloupcov diagonÆln dominantn :
Pro tłet łÆdek neplat j4j>j1j+j5j, pro tłet sloupec neplat j4j>j 5j+j1j.
Budeme dosazovat do iteraŁn ch vztahø
xk+1 = 110 ( 10 yk + 5zk)
yk+1 = 15 (20 2xk zk)
zk+1 = 14 (5 xk 5yk)
Vyjde:
k xk yk zk
0 1 -2 4
1 1,2 -2,8 3,5
2 1,03 -2,82 4,45
Pł. 3. Najd te Newtonøv interpolaŁn polynom dan uzly
xi -1 0 2
fi -4 1 -1
Polynom roznÆsobte a pak prove te zkou„ku, e se jednÆ opravdu o sprÆvn inter-
polaŁn polynom.
e„en :
Pom rnØ diference:
xi fi
-1 -4 5 -2
0 1 -1
2 -1
InterpolaŁn polynom:
P2(x) = 4 + 5(x + 1) 2(x + 1)x = 2x2 + 3x + 1
Zkou„ka:
P2( 1) = 2 3 + 1 = 4
P2(0) = 1
P2(2) = 8 + 6 + 1 = 1
C 12
Pł. 1. Najd te interval dØlky 1, v n m le zÆporn kołen rovnice
ex = x + 1;5:
Kołen pak najd te Newtonovou metodou s płesnost 10 3. PoŁÆteŁn aproximaci
zvolte tak, aby byla zaruŁena konvergence metody.
e„en :
Nakresl me-li do jednoho obrÆzku grafy funkc y = ex a y = x + 1;5, vid me, e
kołen le v intervalu h 2; 1i.
f(x) = ex x 1;5, f( 2) > 0, f( 1) < 0
f0(x) = ex 1 < 0 pro x2h 2; 1i, f00(x) = ex > 0 pro x2h 2; 1i
x0 = 2, proto e f( 2) > 0 i f00( 2) > 0.
xk+1 = xk exk xk 1;5exk 1 ; x0 = 2; x1 := 1;265; x2 := 1;199; x3 := 1;198
Kołen je płibli n -1,198.
Pł. 2. Gauss-Seidelovou metodou łe„te soustavu rovnic
5x 2y + 2z = 10
x + 2y + 3z = 20
2x + y 10z = 15
Rozhodn te, zda je spln na n kterÆ z probran ch podm nek konvergence metody {
rozepi„te!
Pak prove te 2 kroky metody (bez ohledu na platnost podm nek konvergence).
Vyjd te z bodu (x0;y0;z0) = (0; 0; 0).
e„en :
fiÆdnÆ z probran ch podm nek konvergence spln na nen , matice soustavy nen
łÆdkov ani sloupcov diagonÆln dominantn :
Pro druh łÆdek neplat j2j>j1j+j3j, pro druh sloupec neplat j2j>j 2j+j1j.
Matice nen symetrickÆ, nemø e tedy b t ani pozitivn de nitn .
Budeme dosazovat do iteraŁn ch vztahø
xk+1 = 15 (10 + 2yk 2zk)
yk+1 = 12 (20 xk+1 3zk)
zk+1 = 110 ( 15 2xk+1 yk+1)
Vyjde:
k xk yk zk
0 0 0 0
1 2 9 2,8
2 2,68 4,46 2,482
Pł. 3. Najd te Newtonøv interpolaŁn polynom dan uzly
xi -2 0 1
fi 11 -5 -4
Polynom roznÆsobte a pak prove te zkou„ku, e se jednÆ opravdu o sprÆvn inter-
polaŁn polynom.
e„en :
Pom rnØ diference:
xi fi
-2 11 -8 3
0 -5 1
1 -4
InterpolaŁn polynom:
P2(x) = 11 8(x + 2) + 3(x + 2)x = 3x2 2x 5
Zkou„ka:
P2( 2) = 12 + 4 5 = 11
P2(0) = 5
P2(1) = 3 2 5 = 4
D 12
Pł. 1. Najd te interval dØlky 1, v n m le kołen rovnice
lnx = 7 x:
Kołen pak najd te Newtonovou metodou s płesnost 10 3. PoŁÆteŁn aproximaci
zvolte tak, aby byla zaruŁena konvergence metody.
e„en :
Nakresl me-li do jednoho obrÆzku grafy funkc y = lnx a y = 7 x, vid me, e
kołen le v intervalu h5;6i.
f(x) = lnx + x 7, f(5) < 0, f(6) > 0
f0(x) = 1x + 1 > 0 pro x2h5;6i, f00(x) = 1x2 < 0 pro x2h5;6i
x0 = 5, proto e f(5) < 0 i f00(5) < 0.
xk+1 = xk lnxk+xk 71
xk +1
; x0 = 5; x1 := 5;325; x2 := 5;327; x3 := 5;327
Kołen je płibli n 5,327.
Pł. 2. Jacobiho metodou łe„te soustavu rovnic
5x + 2y + z = 20
x + 10y 5z = 10
x + 5y + 4z = 5
Rozhodn te, zda je spln na n kterÆ z probran ch podm nek konvergence metody {
rozepi„te!
Pak prove te 2 kroky metody (bez ohledu na platnost podm nek konvergence).
Vyjd te z bodu (x0;y0;z0) = ( 2; 1; 4).
e„en :
fiÆdnÆ z probran ch podm nek konvergence spln na nen , matice soustavy nen
łÆdkov ani sloupcov diagonÆln dominantn :
Pro tłet łÆdek neplat j4j>j1j+j5j, pro tłet sloupec neplat j4j>j1j+j 5j.
Budeme dosazovat do iteraŁn ch vztahø
xk+1 = 15 (20 2yk zk)
yk+1 = 110 ( 10 xk + 5zk)
zk+1 = 14 (5 xk 5yk)
Vyjde:
k xk yk zk
0 -2 1 4
1 -2,8 1,2 0,5
2 -3,42 -0,47 0,45
Pł. 3. Najd te Newtonøv interpolaŁn polynom dan uzly
xi -2 0 3
fi 4 -10 -1
Polynom roznÆsobte a pak prove te zkou„ku, e se jednÆ opravdu o sprÆvn inter-
polaŁn polynom.
e„en :
Pom rnØ diference:
xi fi
-2 4 -7 2
0 -10 3
3 -1
InterpolaŁn polynom:
P2(x) = 4 7(x + 2) + 2(x + 2)x = 2x2 3x 10
Zkou„ka:
P2( 2) = 8 + 6 10 = 4
P2(0) = 10
P2(3) = 18 9 10 = 1