BMA3_2010_písemka na numerické metody

xk+1 = 12 (20 yk 3zk)
yk+1 = 15 (10 + 2xk 2zk)
zk+1 = 110 ( 15 2xk yk)
Vyjde:
k xk yk zk
0 4 2 3
1 4,5 2,4 2,5
2 5,05 2,8 2,64
Pł. 3. Najd te Newtonøv interpolaŁn polynom dan uzly
xi -1 0 2
fi -5 -10 -8
Polynom roznÆsobte a pak prove te zkou„ku, e se jednÆ opravdu o sprÆvn inter-
polaŁn polynom.
e„en :
Pom rnØ diference:
xi fi
-1 -5 -5 2
0 -10 1
2 -8
InterpolaŁn polynom:
P2(x) = 5 5(x + 1) + 2(x + 1)x = 2x2 3x 10
Zkou„ka:
P2( 1) = 2 + 3 10 = 5
P2(0) = 10
P2(2) = 8 6 10 = 8
D 11
Pł. 1. Najd te interval dØlky 1, v n m le zÆporn kołen rovnice
ex = x + 3;5:
Kołen pak najd te Newtonovou metodou s płesnost 10 3. PoŁÆteŁn aproximaci
zvolte tak, aby byla zaruŁena konvergence metody.
e„en :
Nakresl me-li do jednoho obrÆzku grafy funkc y = ex a y = x + 3;5, vid me, e
kołen le v intervalu h 4; 3i.
f(x) = ex x 3;5, f( 4) > 0, f( 3) < 0
f0(x) = ex 1 < 0 pro x2h 4; 3i, f00(x) = ex > 0 pro x2h 4; 3i
x0 = 4, proto e f( 4) > 0 i f00( 4) > 0.
xk+1 = xk exk xk 3;5exk 1 ; x0 = 4; x1 := 3;472; x2 := 3;469; x3 := 3;469
Kołen je płibli n -3,469.
Pł. 2. Gauss-Seidelovou metodou łe„te soustavu rovnic
10x + y 5z = 10
2x 5y + z = 20
x + 5y + 4z = 5
Rozhodn te, zda je spln na n kterÆ z probran ch podm nek konvergence metody {
rozepi„te!
Pak prove te 2 kroky metody (bez ohledu na platnost podm nek konvergence).
Vyjd te z bodu (x0;y0;z0) = (0; 0; 0).
e„en :
fiÆdnÆ z probran ch podm nek konvergence spln na nen , matice soustavy nen
łÆdkov ani sloupcov diagonÆln dominantn :
Pro tłet łÆdek neplat j4j>j1j+j5j, pro tłet sloupec neplat j4j>j 5j+j1j.
Matice nen symetrickÆ, nemø e tedy b t ani pozitivn de nitn .
Budeme dosazovat do iteraŁn ch vztahø
xk+1 = 110 ( 10 yk + 5zk)
yk+1 = 15 (20 2xk+1 zk)
zk+1 = 14 (5 xk+1 5yk+1)
Vyjde:
k xk yk zk
0 0 0 0
1 -1 -4,4 7
2 2,94 -1,424 2,295
Pł. 3. Najd te Newtonøv interpolaŁn polynom dan uzly
xi -2 0 1
fi -10 10 11
Polynom roznÆsobte a pak prove te zkou„ku, e se jednÆ opravdu o sprÆvn inter-
polaŁn polynom.
e„en :
Pom rnØ diference:
xi fi
-2 -10 10 -3
0 10 1
1 11
InterpolaŁn polynom:
P2(x) = 10+10(x+2) 3(x+2)x = 3x2 +4x+10
Zkou„ka:
P2( 2) = 12 8 + 10 = 10
P2(0) = 10
P2(1) = 3 + 4 + 10 = 11
A 12
Pł. 1. Najd te interval dØlky 1, v n m le zÆporn kołen rovnice
ex = x + 2;5:
Kołen pak najd te Newtonovou metodou s płesnost 10 3. PoŁÆteŁn aproximaci
zvolte tak, aby byla zaruŁena konvergence metody.
e„en :
Nakresl me-li do jednoho obrÆzku grafy funkc y = ex a y = x + 2;5, vid me, e
kołen le v intervalu h 3; 2i.
f(x) = ex x 2;5, f( 3) > 0, f( 2) < 0
f0(x) = ex 1 < 0 pro x2h 3; 2i, f00(x) = ex > 0 pro x2h 3; 2i
x0 = 3, proto e f( 3) > 0 i f00( 3) > 0.
xk+1 = xk exk xk 2;5exk 1 ; x0 = 3; x1 := 2;421; x2 := 2;410; x3 := 2;410
Kołen je płibli n -2,410.
Pł. 2. Gauss-Seidelovou metodou łe„te soustavu rovnic
2x + y + 3z = 20
2x + 5y + 2z = 10
2x + y 10z = 15
Rozhodn te, zda je spln na n kterÆ z probran ch podm nek konvergence metody {
rozepi„te!
Pak prove te 2 kroky metody (bez ohledu na platnost podm nek konvergence).
Vyjd te z bodu (x0;y0;z0) = (0; 0; 0).
e„en :
fiÆdnÆ z probran ch podm nek konvergence spln na nen , matice soustavy nen
łÆdkov ani sloupcov diagonÆln dominantn :
Pro prvn łÆdek neplat j2j>j1j+j3j, pro prvn sloupec neplat j2j>j 2j+j2j.
Matice nen symetrickÆ, nemø e tedy b t ani pozitivn de nitn .
Budeme dosazovat do iteraŁn ch vztahø
xk+1 = 12 (20 yk 3zk)
yk+1 = 15 (10 + 2xk+1 2zk)
zk+1 = 110 ( 15 2xk+1 yk+1)
Vyjde:
k xk yk zk
0 0 0 0
1 10 6 4,1
2 0,85 0,7 1,74
Pł. 3. Najd te Newtonøv interpolaŁn polynom dan uzly
xi -3 0 2
fi -29 10 6
Polynom roznÆsobte a pak prove te zkou„ku, e se jednÆ opravdu o sprÆvn inter-
polaŁn polynom.
e„en :
Pom rnØ diference:
xi fi
-3 -29 13 -3
0 10 -2
2 6
InterpolaŁn polynom:
P2(x) = 29+13(x+3) 3(x+3)x = 3x2 +4x+10
Zkou„ka:
P2( 3) = 27 12 + 10 = 29
P2(0) = 10
P2(2) = 12 + 8 + 10 = 6
B 12
Pł. 1. Najd te interval dØlky 1, v n m le kołen rovnice
lnx = 6 x:
Kołen pak najd te Newtonovou metodou s płesnost 10 3. PoŁÆteŁn aproximaci
zvolte tak, aby byla zaruŁena konvergence metody.
e„en :
Nakresl me-li do jednoho obrÆzku grafy funkc y = lnx a y = 6 x, vid me, e
kołen le v intervalu h4;5i.
f(x) = lnx + x 6, f(4) < 0, f(5) > 0
f0(x) = 1x + 1 > 0 pro x2h4;5i, f00(x) = 1x2 < 0 pro x2h4;5i
x0 = 4, proto e f(4) < 0 i f00(4) < 0.
xk+1 = xk lnxk+xk 61
xk +1
; x0 = 4; x1 := 4;