Skripta optika

psat zobrazovací rovnici pro kulové zrcadlo
faa 1´11 =+ .

Zobrazení objektu kulovým zrcadlem– pojem zvětšení
Uvažujme úsečku kolmou na optickou osu délky y a hledejme její obraz y´.

Zvětšení nám říká kolikrát větší nebo menší je obraz vzhledem k předmětu
yyZ ´= .
Z obrázku vyplývá, že αε = a musí tedy platit
´´tantan ayay ==−= αε
a pro zvětšení ve vztahu k předmětové a obrazové vzdálenosti, můžeme psát pro zvětšení
aaZ ´−= .
(+) Z znamená, že obraz je vzpřímený,
(–) Z znamená, že obraz je převrácený.

2. Příklady odrazu na kulovém zrcadle (polévková lžíce)
Ke zobrazení tří základních příkladů použijeme 4 charakteristické paprsky (stačí 2):
"1" jde středem kulové plochy S.
"2" prochází vrcholem kulového zrcadla V.
"3" prochází ohniskem kulové plochy.
"4" jde rovnoběžně s optickou plochou a odráží se do ohniska.

a) Konkávní kulové zrcadlo – (předmět je ve vzdálenosti fa 2〉 )
Získáme skutečný, převrácený a zmenšený obraz.

b) Konkávní kulové zrcadlo – (předmět je ve vzdálenosti fa〈 ).
Získáme virtuální, vzpřímený a zvětšený obraz.



ε
ε
s s´
y
y´α
S

c) Konvexní kulové zrcadlo

Získáme neskutečný, vzpřímený a zmenšený obraz.

Platí, že zkreslení obrazu se zvětšuje pro body ve větších vzdálenostech od optické osy.

Pro duté zrcadlo platí tyto závěry:
a > 2f ⇒ 2f > a ′ > f obraz skutečný, převrácený, zmenšený,
a = 2f ⇒ a ′ = 2f obraz skutečný,převrácený a stejně velký,
2f > a > f ⇒ a ′ > 2f obraz skutečný, převrácený, zvětšený,
a < f ⇒ 0 < | a ′ | < ∞ obraz neskutečný, přímý a zvětšený


Pro vypuklé zrcadlo:
∞ > a > 0 ⇒ | a ′ | < | f | obraz neskutečný, přímý, zmenšený

3. Lom na sférickém rozhraní
Na lomu přes sférické (obecně zakřivené) rozhraní je založen princip tvorby obrazu čoček.
Při dodržení základních pravidel tvorby obrazu najdeme obraz I předmětu O.
Předpokládáme, že sférické rozhraní odděluje prostředí o indexu lomu n1 a n2.

Pro paraxiální paprsky platí
2πα〈〈 a proto úhly 2´,,, 21 παφεε 〈〈 .
S FI S F I
O
12 4
3 O
4
3
1
2
F S
4
1
3
2
I

Toto přiblížení vede
Rh〈〈 , tedy interval QV ≅ 0.
Platí, že φεα += 1 a φεα += 2´ .
Snellův zákon lomu v paraxiálním prostoru
2211 εε nn ≅ .
Kombinací vztahů
( ) ( )φαφα −≅− ´21 nn .
Převedení úhlového vyjádření v délkové:
Pro malé úhly platí ´´tan´,tan ahah ≅≅≅≅ αααα a Rh≅≅ φφ tan ,
převedení do délkového vyjádření




 −=



 −
R
h
a
hn
R
h
a
hn
´21 .
Vydělením h dostaneme
Rnnanan 2121 ´ −=− ,
z čehož je možné vypočítat obrazovou vzdálenost při známém R a a.

Obecné vyjádření zobrazovací rovnice pro kulovou plochu použitelné při dodržení
znaménkové konvence, jak pro plochu konvexní tak i konkávní.
Rnnanan 1221 ´ −=+ .
Zvětšení spojené s lomem na kulové ploše

Aplikací paraxiální aproximace pro Snellův zákon (obrázek)
konkávní kulové
rozhraní
S I O Q V
n1 n2
ε2
ε2 ε1φ
α α´
h
a
a´
R
optická osa
n1 n
2
a a´
ε1 ε
2O
I S
y´
y
´´tantan
1
2
2
1
2
1 a
y
n
n
n
n
s
y −=≅= εε .
Znaménková konvence pro mimoosové objekty:
(+) pro y nad optickou osou,
(–) pro y´pod optickou osou.

Vztah pro příčné zvětšení
aannyy ´´
2
1−==β .

TVORBA OBRAZU TENKÝMI ČOČKAMI

1. Zobrazovací rovnice pro tenkou čočku
Tenká čočka – taková, jejíž tloušťka d je vzhledem k poloměrům křivosti ploch velmi malá,
takže lze položit d → 0

Čočka je vytvořena kombinací dvou lámavých ploch (rozhraní), přičemž minimálně
jedna plocha musí být zakřivená. Plochy obvykle ohraničují kus materiálu, který má oproti
okolí odlišný index lomu.
Zobrazení standardní čočkou ve vzduchu

Již víme, že rovnice

111
1
´
1
R
n
a
n
a
−=+ a
222
1
´
1
R
n
aa
n −=+ popisují umístění předmětu a obrazu.
U tenké čočky se předpokládá, že chod paprsků v čočce je dostatečně krátký a tloušťku čočky
můžeme zanedbat.

´12 aa −≅ ,
kde znaménko – značí, že předmět zobrazený plochou 2 je virtuální.

Úpravou zobrazovací rovnice za daného předpokladu dostaneme
( ) 



 −−=+
2121
111
´
11
RRnaa .
Položíme-li-li první předmětovou vzdálenost aa ≡1 a druhou obrazovou vzdálenost ´´2 aa ≡ ,
potom dostaneme rovnici
( ) 



 −−=+
21
111
´
11
RRnaa .
S odvoláním na definici ohniskové vzdálenosti f (obrazová vzdálenost pro vzdálený předmět
nebo předmětová vzdálenost, která odpovídající obrazu v nekonečnu) platí
( ) 



 −−=
21
111
´
1
RRnf .
vzduch S1 S2 vzduch n
(skutečný) předmět
plochou S1
(skutečný) obraz
plochou S2
(skutečný) obraz
plochou S1
(virtuální) předmět
plochou S2
0
a
0
a2 0
0
a´
Porovnáním dvou posledních výrazů (při započítání znaménkové konvence),
dostáváme zobrazovací rovnici pro tenkou čočku
faa
1
´
11 =+



 =−
´
11
´
1
faa .
2. Spojné čočky
• Mají kladnou ohniskovou vzdálenost 0´〉f ,
• jejich tloušťka uprostřed je větší než na okrajích.
Standardní typy spojných čoček:

bikonvexní plankonvexní pozitivní meniskus
Pravidla pro zobrazení spojnými čočkami:

a > 2f ⇒ f < a ′ < 2f obraz skutečný, převrácený, zmenšený,
a = 2f ⇒ a ′ = 2f obraz skutečný,převrácený a stejně velký,

2f > a > f ⇒ a ′ > 2f obraz skutečný, převrácený, zvětšený,
O 2F F
F´ I 2F´
a a´
1
3
2
O 2F F
F´ I 2F´1
3
2

a < f ⇒ 0 < | a ′ | < ∞ obraz neskutečný, přímý a zvětšený.

3. Rozptylné čočky

Rozptylné čočky mají zápornou ohniskovou vzdálenost. "Rozptylka" je tenčí uprostřed
než na okraji.
Standardní typy rozptylných čoček:
bikonkávní plankonkávní negativní meniskus

Pravidlo pro rozptylnou čočku:
∞ > a > 0 ⇒ | a ′ | < | f | obraz neskutečný, přímý a zmenšený.

Z obrázku při úvaze znaménkové konvence vidíme, že
´´´tantan ayay −=== εε
a pro zvětšení tenké spojky a rozptylky
2F I F O
F´ 2F´
1
3
2
F´ FO
1 2
3
2F O F
F´ 2F´ I13
2
aayy ´´ −==β .

4. Optická mohutnost čoček (tmelených čoček)
Optická mohutnost fD 1= D – dioptrie, f – metr
Tmelením optických čoček L1 L2 (kanadským balzámem)

L1:
111
1
´
11
faa =+
L2:
222
1
´
11
faa =+
Za předpokladu, že ´12 aa −= můžeme přepsat zobrazovací rovnici pro L2

221
1
´
11
faa =+ .
Sečtením obou rovnic

2121
11
´
11
ffaa +=+ ,
což vypadá jako rovnice pro jednu čočku s ohniskovou vzdáleností

21
111
fff += .
Z toho vyplývá, že optická mohutnost čočky tmelené ze dvou čoček, je rovna součtu
optických mohutnosti jednotlivých čoček.
nDDDD +++= ...21
Poznámka: závěr platí i pro zjištění celkové optické mohutnosti při aplikaci kontaktních
čoček.

a a´
y
y´
ε
ε´
PAPRSKY JDOUCÍ OPTICKOU SOUSTAVOU TVOŘENOU MNOHA OPTICKÝMI
PRVKY

Znalost předchozích pravidel nám umožňuje řešit průchod paprsků optickou soustavou
tvořenou tenkými a tlustými čočkami i zrcadly.

Předpokládejme, že budeme řešit průchod jednotlivými prvky a rozhraními postupně.
Pro každý prvek nebo rozhraní bude obraz vytvořený předchozím prvkem zároveň předmětem
pro prvek následující.


Na obrázku jsou použity vždy dva charakteristické paprsky pro tvorbu obrazu.
Zobrazovací rovnice a vztah pro zvětšení u jednotlivých prvků:
L1:
1
1
1
111
´;1
´
11
a
a
faa −==+ β ,
L2:
2
2
2
222
´;1
´
11
a
a
faa −==+ β ,
S3:
3
3
3
333
´1;1
´
1
a
a
nR
n
a
n
a −=
−=+ β ,
S4: 1;´01´1 444
444
+=−=⇒=∞→−=+ βnaaR naan ,
S5:
5
5
5
555
´;2
´
11
a
a
Raa −=−=+ β .

Při postupném počítání polohy obrazu (předmětu) je třeba se průběžně ujišťovat, zda
výsledek je fyzikálně správný (reálný obraz, virtuální obraz…)

předmět
rozptylka spojka tlustá čočka zrcadlo
O I1 1
O2
I2
O3
S3 S4
n
I3
O4
I4
O5
obraz
I5
S5
Optické vady (aberace) zobrazujících soustav

1. Paprskové aberace
Dokonale zobrazující optická soustava z pohledu geometrické optiky zobrazuje
předmětový bod do správného místa v obrazové rovině a vytváří dokonalý obraz.

Skutečnost však může vypadat podobně jako na obrázku, kdy pouze některé paprsky se
protínají v obrazové rovině ⇒ nedokonalé zobrazení.

3 důvody vzniku nedokonalého zobrazení:
• Některé paprsky vycházející z předmětu vůbec neprochází optickou soustavou, (úbytek
paprsků vede k tvorbě nezřetelného obrazu vlivem difrakce a jevů souvisejících s vlnovou
povahou světla),
• některé z paprsků procházejících optickou soustavou, ale nedorazí do obrazové roviny z
důvodu absorpce, odrazu, difúzního odrazu a lomu,
• paprsky procházející optickou soustavou se neprotínají v obrazové rovině z důvodu
odchylek způsobených nerespektováním zákona lomu a odrazu – tzv. paprskové aberace.

Uvažujme proto pouze paprsky v paraxiálním prostoru.

2. Vybrané aberace vyplývající z nedokonalého zobrazení v paraxiálním prostoru

Aberace jsou uváděny pro jednu čočku.
Otvorová vada (sférická aberace)
Vyplývá z nedokonalého sférického povrchu optické lámavé plochy čočky. Obraz
předmětu je fokusován do bodu před obrazovou rovinou (body P a P´) v závislosti na úhlu
paprsku od optické osy. (Podélná a příčná otvorová vada).



paprsky, které neprochází
optickou soustavou
optický systém
předmět obraz
paprsky
vstupující
do optické soustavy
zrcadlově
odražené paprsky,
difúzně odražené
paprsky
paprsky rozptýlené
difúzním lomem
paprsky
vytvářející obraz
Koma
Koma je způsobena širokým paprskovým svazkem vycházejícím z mimoosového
bodu. Paprskový svazek po průchodu soustavou nabývá nesouměrného tvaru, takže obrazem
bodu je ploška protáhlá jedním směrem s nerovnoměrným rozdělením světla (kometa).
(Tangenciální, sagitální koma).
Zakřivení zorného pole
Dochází k němu tehdy, když šikmé paprsky jsou fokusovány do roviny bližší než
osové paprsky. Výsledkem je zakřivená obrazová rovina.


P´
P
Astigmatismus
Astigmatismus představuje další běžný defekt zobrazení mimoosového předmětu.
Paprsky jdoucí osou AB jsou fokusovány do bodu S, zatímco paprsky světla jdoucí podél osy
CD jsou fokusovány do bodu T. Bod S leží v sagitální rovině (sagitální ohnisko), bod T v
tangenciální rovině (tangenciální ohnisko).

Zkreslení (zkřivení) obrazu
Přímky se zobrazují jako křivky (podduškovité, soudkovité zkreslení čtverce)
Barevná vada
Vychází z disperze materiálu, ze kterého je čočka vyrobena. Obraz se vytvoří světlem
příslušné vlnové délky na jiném místě a má různou velikost – barevná vada polohy a
velikosti.

Teorie paprskových aberací je velmi složitá a aberace jsou komplikovanější u většího počtu
členů optické soustavy (viz. objektivy SM – klíčový prvek SM ⇒ vysoká cena).
A
B
C
D
T S
předmět obraz
červená
červ
ená
modrá
mo
drá

Optické přístroje (spojené s okem)

1. Jednoduchý model oka
Z pohledu optiky je oko tvořeno několika světlolomnými prostředími (rohovka, komorová
voda, čočka a sklivec), oční čočkou (spojnou) a duhovkou jako clonou.

Sítnice je biologickým detektorem světla, kde se vytváří obraz a nachází se zde vyústění
zrakového nervu (slepá skvrna) a místo nejcitlivější – žlutá skvrna.

Oční čočka má významnou schopnost zaostřit z nekonečna do blízkého bodu (platí pro
fyziologicky zdravé oko) – akomodace.

Bod daleký leží v ∞
Poloha blízkého bodu je dohodnutá – 25 cm.
Poznámka: v průběhu života se poloha blízkého bodu mění (od 5 cm u novorozenců, 25 cm
odpovídá 40 rokům života)

2. Lupa
Pro zvětšení obrazu pozorovaného prostým okem, můžeme použít lupu.
Lupa zvětšuje obraz na sítnici následovně:
Poloha předmětu je menší nebo rovna ohniskové vzdálenosti lupy fL , zvětšovací sklo
(lupu) přiložíme blízko oka. Zvětšený, virtuální a vzpřímený obraz je tak vytvořen přibližně
ve vzdálenosti blízkého bodu oka – 25 cm.
a´ (pevná vzdálenost)
sítnice
předmět v nekonečnu

825 cm a´
αn
oční čočka
foka
a = 25 cm a´=pevná
sítnice
O
I
y´(neozbrojené oko)


Zvětšení očí "ozbrojených" přístroji: – obecně

éneozbrojen
přřístroj
oka y
y
´
´=Γ
Porovnáním obrázků:
pppřřístrojnnéneozbrojen ayaycmyay αααα ≅==≅== tan´´;tan25´´ .
Pro zvětšení lupy odvodíme vztah:
acm
n
p
L
25==Γ
α
α .
Je-li předmět umístěný v ohnisku, potom

L
L f
cm25=Γ .
V tomto případě příslušné paprsky jsou paralelní a obraz pozorujeme "uvolněným" okem
bez akomodace.

3. Mikroskop
Mikroskop slouží k pozorování velmi malých předmětů umístěných v těsné blízkosti
objektivu.
Vedle osvětlovací soustavy patří mezi základní členy světelného mikroskopu objektiv
a okulár. Objektiv vytvoří převrácený a zvětšený obraz, který pozorujeme okulárem podobně
jako lupou. Ten obraz ještě více zvětší a "napřímí".
Objektiv bývá nejexponovanějším optickým prvkem s ohledem na kvalitu jeho optické
soustavy (bez aberací).
foka
a´=pevná
lupa
FL F FL oka
αp
O
y
y´
sítnice
virtuální obraz
lupou
fL
O I
objektiv
okulár
a a´ f e
f Lobj
oko
obraz vytvořený
objektivem
obraz pozorovaný
uvolněným okem

K odvození zvětšení použijme obrázek, kde L je tzv. optický interval mikroskopu
(vzdálenost obrazového ohniska objektivu a předmětového ohniska okuláru) – bývá obvykle
16 cm.

Z porovnání s obrázkem vyplývá:

objfaa
1
´
11 =+ , a´= f
obj + L,
tedy Lffa
objobj +
−= 111 .
Zvětšení objektivu
( )
objobjobj
obj
objobj
bjobj f
L
f
L
f
Lf
LffLfa
a =−+=−+=




+−+=−=Γ 111
11.´
0
nebo
objobj
obj f
cm
f
L 16==Γ .

Okulárem pozorujeme předmět jako lupou, potom celkové zvětšení mikroskopu

okobj
okuláruobjektivumikroskopu f
cm
f
cm 25.16=Γ×Γ=Γ .

4. Dalekohled
Lupa i mikroskop slouží k pozorování (zvětšení) blízkých (velmi malých) předmětů.
Dalekohled je určen pro pozorování vzdálených předmětů a rozlišení jejich podrobností.
Objektivem se vytvoří meziobraz, který dále zvětšujeme okulárem.


malinký obraz
objektiv
okulár zvětšený obraz
oko
objektiv okulár
α α
y α´
α´
f fobjektivu okulár
Užitím vztahu pro úhlové zvětšení, naše oči vidí obraz na sítnici ×αα´ větší než neozbrojeným
okem.
´´tan´;tan´ αααα ≅=≅=
okularuobjektivu f
y
f
y .
Pro zvětšení dalekohledu dostaneme

okular
objektivu
udalekohled f
f=Γ .
Světlovody –
využití totálního odrazu světla pro přenos světla

Optické vlnovody (světlovody) vedou světlo v omezeném vnitřním prostoru podél
světlovodem vytvořené dráhy.

Opakování:
Podmínka úplného odrazu světla (totální reflexe).
Podle Snellova zákona lomu 



=
2´sinsin
πα nn
c .
Pro kritický úhel 



=
n
n
c
´arcsinα .
Paprsek, který dopadá na rozhraní pod úhlem větším, než je úhel kritický se totálně odráží
(totální reflex–TR).
povlakvlákno nn 〉
Světlovod vede světlo v případě, že existuje více než jedno rozhraní s TR nebo lépe v případě,
že rozhraní obklopuje světlovodné prostředí (optická vlákna).

Stavba typického optického vlákna je patrná z následujícího obrázku

Svítíme-li na čelo světlovodu, můžeme ze zákonů paprskové optiky určit paprsky,
které projdou na druhý konec světlovodu.
Uvnitř vlákna prochází jen paprsky splňující TR ( cεε〉 ).
Zpětně můžeme spočítat aperturní úhel εvst., pod kterým paprsky vstupují přes čelo do vlákna.
n´
n
n´ n
αc α αc
ββ β=π/2
ε
npovlak
npovlak
nvlákno

Snellův zákon lomu vláknavláknavstvst nn εε sinsin =

Protože εεε 2sin1cossin −==vlákna (užitím 1cossin 22 =+ εε )
Maximální úhel dopadu paprsku na čelo vlákna odpovídá podmínce cεε = .
Platí tedy
222
2
2max 1sin1sin
povlakvlákno
vlákno
povlak
vláknacvláknavstvst nnn
nnnn −=−=−= εε .
Numerická apertura (důležitý parametr optického vlákna).
Sinus úhlu paprsku vstupujícího do vlákna (měřeného od optické osy), násobený
indexem lomu prostředí před optickým vláknem
maxsin vstvstnNA ε= nebo 22 povlakvlákna nnNA −= .
Známe-li indexy lomu vlákna a jeho povlaku, můžeme určit numerickou aperturu
světlovodu, která vymezuje největší kužel světelných paprsků, které vlákno úspěšně přenese.

Poznámka:
• Pro případ, že vlákna ohýbáme (flexibilní
endoskopy, apod.), mohou nastat ztráty
světla "únikem" způsobeným větším
ohybem světlovodu.
• V případě, že světlovod složený z více
vláken používáme pro zobrazení, je nutné,
aby byla zachována mozaika vstupních a
výstupních vláken (jinak dojde k rozházení
obrazu).



pouzdro
povlak
jádro vlákna10 mµ
125 mµ
prošlé paprsky
(úbytek světla)
nvst
εvst
εvlákno
ε
npovlak
nvlákno
Vlnová (fyzikální) optika
Základy vlnové teorie
1. Harmonické vlny
Uvažujme případ vlnění nekonečně dlouhé struny

Studujme situaci v čase t
Okamžitá amplituda vlnění ψ(x)




=
λπψ
xAx 2sin)( .

Okamžitá amplituda ψ(x) je funkcí sinθ

πλπθ 22 == x za předpokladu, že λ=x .
A je maximální amplituda vlny,
λ je vlnová délka. (V daném čase jsou dva body na struně v místě x a x + λ ve stejné
pozici).

Závislost vlnové amplitudy na čase
( )ftAt πψ 2sin)( = .






ψ(x)
x
nekonečně dlouhá struna
směr pohybu vlnění
1
0
-1
π/2 π 2π 3π 4π
θ
sinθ
A
0 λ/2 λ 3λ/2 2λ
x
ψ(x)
-A


ππθ 22 == ft , za předpokladu, že ft 1= .
f je frekvence vlnění.

V obecném případě (mění se čas a pozice) můžeme vlnovou amplitudu psát
.2sin22sin),( 



 



 ±=



 ±= ftxAftxAtx
λππλπψ
Někdy je výhodnější popsat harmonickou vlnu vlnovým číslem k a úhlovou frekvencí ω

λπ2=k a ω = 2πf.
harmonickou vlnu můžeme popsat rovnicí
( )tkxAtx ωψ ±= sin),( .
Pro případ konstantního fázového posunu 2π θπθ cos2sin =



 +
( )tkxAtx ωψ ±= cos),(
Fáze harmonického vlnění tkxtx ωθ ±=),( .
Tabulka jednotek a veličin spojených s harmonickým vlněním
veličina rozměr jednotka
fáze θ úhel radián
vlnová délka λ délka metr (nanometr – nm)
vlnové číslo k úhel/délka rad/m
frekvence f 1/čas Hz (1/s)
úhlová frekvence ω úhel/čas rad/s
amplituda A závislá na typu vlny


2. Rychlost vlnění a vztah k indexu lomu
Nahlížíme-li na harmonickou vlnu jako funkci času a polohy, zdá se, že periodické vlny v
závislosti na čase( θθ cos,sin ) putují směrem doprava (narůstá x) nebo doleva (zmenšuje se
x).
Jaký je tedy směr vlnění a rychlost vlnění ?
Představme si, že jsme surfaři a stojíme na hřebenu vlny ( 2πθ = ).
A
0 1/2 1/ 3/2 f f f
t
ψ(t)
-A
• Jest