Algebra

Univerzita Karlova v Praze
Pedagogická fakulta












SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ALGEBRY
ELEMENTY LINEÁRNÍ ALGEBRY












1999/2000 CIFRIK
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Základní pojmy
Binární relace R
Binární relace R mezi množinami je libovolná podmnožina BA, R kartézského součinu
množin . Pro dva prvky aBA, BbA ∈∈ , takové, že ( ) Rba ∈, , píšeme též a čteme
„(prvek) je v relaci
aRb
a R s (prvkem) “. b

Binární relace je :
• reflexivní, jestliže platí xRxMx :∈∀
• ireflefivní, jestliže platí xRxnonMx :∈∀
• symetrická, jestliže platí ( )yRxxRyMyx ⇒∈∀ :,
• antisymetrická, jestliže platí ( ) yxyRxxRyMyx =⇒∧∈∀ :,
• tranzitivní, jestliže platí ( ) xRzyRzxRyMzyx ⇒∧∈∀ :,,
• konektivní, jestliže platí ( )yRxyxxRyMyx ∨=∨∈∀ :,

Binární relace U na množině M se nazývá
• (neostré) uspořádání na množině M , je-li reflexivní, antisymetrická a tranzitivní
• ostré uspořádání na množině M , je-li ireflexivní, antisymetrická a tranzitivní
• (ostré či neostré) lineární uspořádání na množině M , jestliže je (ostrým či neostrým)
uspořádáním na M a je navíc konektivní.
Příklad 1.
Je dána množina {}8,7,6,5,4,3,2,1=A .
a) Určeme výčtem prvků binární relaci [ ]( )1/;,
2
>∧
Permutace
Permutací π množiny { rozumíme každou }n,...,2,1 bijekci množiny { }n,...,2,1 .
Permutací π zapisujeme pomocí matice typu ( )n,2 tvaru








n
n
jjj
iii
,...,,
,...,,
21
21
,
ve které první řádek nazýváme pořadím vzorů, druhý řádek pořadím obrazů a pro každé
je {}nx ,...,2,1∈
xx
ji =)(π . Množinu všech permutací množiny { }n,...,2,1 značíme .
Inverzní zobrazení k permutaci
n
S
1−
π π nazýváme inverzní permutací k permutaci π . Říkáme,
že permutace je v základním tvaru, jestliže pořadí vzorů je ( )n,...,2,1 .
Inverzní permutace
Inverzní permutaci vytvoříme výměnou řádků.
Znaménko permutace π
Znaménkem permutace π rozumíme celé číslo ( )
mk+
−1 , kde je počet všech inverzí v pořadí
vzorů a počet všech inverzí v pořadí obrazů. Znaménko permutace
k
m π značíme πsign . Je-li
1=πsign řekneme, že permutace π je sudá, pokud 1−=πsign je permutace π lichá.
Příklad 16.
Určeme znaménko permutace

 .






2,3,4,1
2,1,4,3


Můžeme postupovat dvěma způsoby. Buď určíme počet inverzí v pořadí vzorů a v pořadí
obrazů (a), nebo nejprve zapíšeme permutaci v základním tvaru (b). Tedy
a) inverze v pořadí vzorů: () 400222,1,4,3 =+++
inverze v pořadí obrazů () 301202,3,4,1 =+++
Znaménko permutace je () 11
34
−=−
+
b) permutaci zapsaná v základním tvaru je . Inverzí v pořadí vzorů je tedy 0 a
v pořadí obrazů








4,1,2,3
4,3,2,1
30012 =+++ , proto znaménko permutace je () . 11
3
−=−
www.matematika.webz.cz
15
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Determinant matice A
Buď ( )
ij
aA = čtvercová matice n-tého řádu nad tělesem T . Determinantem matice A
rozumíme prvek (číslo) Adet z tělesa T , pro který platí:
n
n
nsss
nS
aaa
sss
n
signA ...
,...,,
,...,2,1
det
21
21
21








=
∑
∈π
.
Jsou-li
n
aa ,...,,
21
a řádkové (resp. sloupcové) vektory matice A , píšeme místo Adet též
()
n
aaa ,...,,det
21
.
Jinak definováno: Determinantem n-tého stupně matice














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
,...,,
.....................
,...,,
,...,,
21
22221
11211

nazýváme číslo
( )
∑
−=
nknkk
r
aaaA ...1det
2211
,
kde se sčítá přes všechny permutace ( )
n
kkk ,...,,
21
čísel 1 a kde n,...,2, r udává počet inverzí
v permutaci ().
n
kkk ,...,,
21
• Determinant matice A je součet součinů; v každém součinu se vyskytuje z každého řádku i
sloupce právě jeden prvek. Na druhé straně každý prvek řádku či sloupce se vyskytuje aspoň
v jednom sčítanci.
• Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále.
• Vznikne-li matice B ze čtvercové matice A n-tého řádu výměnou dvou řádků, resp. sloupců,
potom AB detdet −= .
• Platí det A = det A
T
.
• Věta o součtu determinantů:
()( ) ( )
nininiiii
abaaaaaabaaaa ,...,,...,det,...,,...,det,...,,,,...,,det
111121
+=+
+−

• Věta o vytýkání konstanty ze řádku:
( )
niiiniii
aaaaaaaaaaaa ,...,,,,...,,det,...,,,,...,,det
11211121 +−+−
⋅=αα
• Buď A čtvercová matice stupně . Jestliže matice n B vznikne z matice A vynásobením
libovolného řádku prvkem , pak Tc∈ AcB detdet ⋅= .
• Věta o součinu dvou determinantů
() BABA detdetdet ⋅=
• Hodnota determinantu se nezmění, jestliže k danému řádku, resp. sloupci přičteme
libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků, resp. sloupců.
• Determinant regulární (singulární) matice je vždy různý od nuly (roven nule).
www.matematika.webz.cz
16
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Příklad 17.
Spočtěme determinant pátého stupně
31321
13122
21253
11234
12112
−
−−
−−
−−
−−



28
25
61
205
601
312
5205
1000
3601
4312
5355
1112
3937
47510
53525
11122
39357
475310
00010
31321
13122
21253
11234
12112
1
121
−=
−−
−=−−
−−
=
−−
−−
−=
=
−−
−−
−−
−−
−=
−−
−−
−−
−−
=
−
−−
−−
−−
−−


1. elementární transformace sloupců matice
2. (Lapleceův) rozvoj podle prvního řádku
Minor (subdeterminant)
Minorem (subdeterminantem) z čtvercové matice
ij
M A příslušným prvku rozumíme
determinant matice, která vznikne z matice
ij
a
A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Buď ( )
ij
aA = matice typu ( . Každou matici )nm, B , která vznikne z A vynecháním některých
(libovolných) řádků a některých sloupců, nazýváme dílčí maticí matice A . Determinant každé
čtvercové dílčí matice nazýváme subdeterminantem matice A .Je-li A čtvercová matice stupně
, pak vynecháním libovolných řádků, n k nk < , a libovolných sloupců z matice k A
dostaneme dílčí čtvercovou matici stupně kn− . Determinant každé takové dílčí matice
nazýváme subdeterminantem matice A stupně kn− . Subdeterminant stupně n vyniklý
vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce označíme . Prvek nazýváme
algebraickým doplňkem prvku .
1−
ij
M
ij
M ()
ji
ij
+
−= 1A
ij
a
Cramerovo pravidlo
Je-li matice A regulární, pak rozšířená matice má právě jedno řešení jež se vypočítá
A
A
x
i
i
det
det
= ,
kde matice vznikne z matice nahrazením i-tého sloupce pravými stranami.
i
A A
www.matematika.webz.cz
17
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Příklad 18.
Pomocí Cramerova pravidla řešme soustavu
62233
124358
6234
422
4321
4321
4321
4321
=+−+
=+−+
=+−+
=+−+
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx



()
()()() ()231
13
11
111
011
130
110
11
0011
0130
0110
1122
2233
4358
2134
1122
det
13
41
=−−−=
−
−
⋅−−−=
=
−−
−
−
⋅−=
−−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
+
+
A

()()
() 246
34
12
11
034
012
124
4512
236
124
11
0100
43512
2136
1124
2236
43512
2136
1124
det
31
34
1
=−=
−−
−−
⋅−=
=
−−
−−=⋅−−=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
+
+
A
()
()()() ()242
14
12
111
021
140
120
11
0021
0140
0120
1142
2263
43128
2164
1142
det
31
41
2
=−−−=
−
−
⋅−−−=
=
−−
−
−
⋅−=
−−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
+
+
A

2
6233
12358
6134
4122
det;2
2633
41258
2634
1422
det
43
−=
−
−
−
−
=−== AA
1
det
det
,1
det
det
,1
2
2
det
det
,1
2
2
det
det
4
4
3
3
2
2
1
1
−==−========
A
A
x
A
A
x
A
A
x
A
A
x
Zkouška:
()()
() ()
() ()
() ()
4444
3333
2222
2111
,6,612121313
,12,1214131518
,6,61211314
,4,4111212
PLPL
PLPL
PLPL
PLPL
===−+−−⋅+⋅=
===−+−−⋅+⋅=
===−+−−⋅+⋅=
===−+−−⋅+⋅=

www.matematika.webz.cz
18
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Vektorový prostor
Vektorový prostor
Nechť T je těleso, V množina. Uspořádanou trojici ( )⋅+,,V , kde + je vnitřní operace na V
(tj. zobrazení V ), . vnější operace na V nad VV× → T (tj. zobrazení T ), nazveme
vektorovým prostorem nad tělesem
VV →×
T , jestliže:
a
je (+,V )komutativní grupa,
b
vnější operace . splňuje tyto podmínky :
),..()..(:,
,..).(:,
,..).(:,
aaVaT
aaaVaT
babaVbaT
βαβαβα
βαβαβα
αααα
=∈∀∈∀
+=+∈∀∈∀
+=+∈∀∈∀

aaVa =∈∀ .1: ( 1 je jednotkový prvek z T )
Ve vektorovém prostoru V platí: ()T
a
00: =⋅∈ aVa∀ ( 0 je nulový skalár )
b
00: =⋅∈∀ αα T
c
()000 =∨=⇔=⋅ aa αα
d
()aaVa ⋅−=−∈∀ 1:
• Nejjednodušším příkladem vektorového prostoru je tzv. triviální nebo nulový vektorový
prostor { , skládající se pouze z nulového vektoru. }0
Příklad 19. Příklady vektorových prostorů
1. Těleso T spolu s operacemi sčítání a násobení definovanými na T je vektorový prostor
nad T .
2. Speciálně těleso reálných čísel je vektorový prostor nad R (reálný vektorový prostor)
3. Množina P všech kladných reálných čísel spolu s operacemi o a , kde •
RrPvuuurvuvu
r
∈∈=•= ,,,o , , je reálný vektorový prostor
4. Na množině
n
T všech uspořádaných n-tic prvků z T definujeme operace
()()( )
)
n
nnn
rararaaar
bbababbbaaa
,...,,,...,,
,...,,,...,,,...,,
2121
22112121
=
n
a
n
a +++=+

Množina
n
T je pak vektorovým prostorem nad T , který nazýváme aritmetickým
vektorovým prostorem nad T .
Vektorový podprostor
Nechť W je neprázdná podmnožina vektorového prostoru ( )⋅+,,V . Uspořádanou trojici
nazveme (vektorovým) podprostorem prostoru (⋅+,,W ) ( )TV , jestliže platí:
a
∀ WbaWba ∈+∈ :,
b
∀ WaWaT ∈⋅∈∀∈ αα :

Průnik libovolného neprázdného systému podprostorů vektorového prostoru V je opět
podprostorem prostoru V .
www.matematika.webz.cz
19
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Lineární obal
Def.I Nechť a jsou vektory z vektorového prostoru V . Množinu
n
aa ,...,,
21
)(T
{}TaaaM
nnn
∈+++= αααααα ,...,,;....
212211

nazýváme podprostorem ( lineárním obalem ) generovaným vektory a značíme
. O množině říkáme, že generuje množinu
n
aaa ,...,,
21
[
n
aaa ,...,,
21
] }{
n
aaa ,...,,
21
M nebo že je to množina
generátorů podprostoru M.

Def.II Buď M podmnožina vektorového prostoru V . Průnik všech podprostorů prostoru V ,
obsahujících množinu M , nazýváme lineárním obalem množiny M a značíme []. M

• Buď M podmnožina vektorového prostoru V . Pak platí:
a