Lineární algebra

Petr Olšák
Lineární algebra
Praha, 2000-2006
a69
Text je šířen volně podle licence ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/licence.txt.
Text ve formátech TEX (csplain), PostScript, dvi, PDF najdete na adrese
ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/.
Verze textu: 22. 9. 2006
Poznámka ke změnám v textu. V září 2006 jsem původní text rozšířil o mnoho nových partií, protože se
změnily osnovy algebry pro první ročník otevřením programu STM na naší fakultě. Veškerý nový text
jsem připojoval na konce stávajících kapitol, abych zachoval číslování definic a vět původního textu. Na
konec první kapitoly o lineárních prostorech jsem připojil text o grupách a tělesech. Na konec druhé
kapitoly (o obalech a bázích) jsem vložil Steinitzovu větu o výměně. Na konci kapitoly o maticích přibyly
věty o hodnosti součinu matic. Na konec kapitoly o soustavách lineárních rovnic jsem přidal několik
dodatků na postupy řešení soustav. Na konec kapitoly o lineárních zobrazeních jsem připojil definici
pojmu vlastní číslo a vlastní vektor včetně povídání o základních vlastnostech, jako například podobnost
s diagonální maticí. Na konec textu jsem připojil zcela novou kapitolu 10 obsahující úvod do kódování.
Copyright c©RNDr. Petr Olšák, 2000, 2001, 2002, 2003, 2005, 2006
Obsah
Gaussova eliminační metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Úvodní příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Další příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Popis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Diskuse po převedení matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Příklad, kdy soustava nemá řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Lineární prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Důkaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Definice lineárního prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Prostor R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Prostor Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Prostor funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Prostor polynomů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Lineární podprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Průnik prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Prostor orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Triviální prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Pologrupa, grupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Podgrupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Těleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Galoisovo těleso se dvěma prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
GF(p), Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Lineární prostor nad tělesem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Lineární kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Triviální lineární kombinace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Lineární závislost skupiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Lineární nezávislost skupiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Základní vlastnosti lineární (ne)závislosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Jeden vektor je lineární kombinací ostatních . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Závislost orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lineární (ne)závislost nekonečných množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lineární obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Prvek lineárního obalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Vlastnosti lineárního obalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Lineární obal je podprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Rozšíření LN množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Charakteristika LN množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Existenece a jednoznačnost báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Báze jsou stejně velké . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Dimenze prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Dimenze podprostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Počet prvků v LN množině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Definice matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Lineární prostor matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Symetrie relace „∼csquotedblright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Gaussova eliminace zachovává obal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Trojúhelníkové matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Numericky nestabilní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Transponovaná matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Násobení matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Komutující matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Matice vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Jednotková matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Regulární, singulární matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Výpočet inverzní matice eliminací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Hodnost součinu matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Znaménko permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Definice determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Základní vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Metoda počítání determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Rozvoj determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Součin determinantů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Existence inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Frobeniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Princip eliminační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Řešení homogenní soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Řešení nehomogenní soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Strojové řešení soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Nejednoznačnost zápisu řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Soustavy se čtvercovou maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Dodatky k řešení soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Soustava lineárních soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6. Lineární prostory konečné dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Spojení prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Dimenze průniku a spojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Souřadnice vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Existence a jednoznačnost souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Matice přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Souřadnice a matice přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Přechod od báze (B) přes (C) k (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Sestavení matic přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7. Lineární zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Definice zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Zobrazení „nacsquotedblright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Prosté zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Definice lineárního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Zachování obalů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Jádro zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Defekt a hodnost zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Souřadnice jako lineární zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Lineární zobrazení na bázi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Zobrazení lineárně nezávislých vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Složené zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Inverzní zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Izomorfismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Matice lineárního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Hodnost matice zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Zobrazení souřadnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Defekt + hodnost zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Matice složeného zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Matice identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Zobrazení do stejného prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Vlastní číslo, vlastní vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Podobnost s diagonální maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8. Lineární prostory se skalárním součinem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Definice skalárního součinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Skalární součiny na Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Symetrické a pozitivně definitní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Velikost vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Úhel dvou vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Vzdálenost vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Kolmé vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ortonormální báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ortogonalizační proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9. Aplikace lineární algebry v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Eukleidovský prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Souřadnice orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Skalární součin orientovaných úseček . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Kolmý průmět vektoru na vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Ortonormální báze v UO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Kladně orientovaná báze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Vektorový součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Smíšený součin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Prostor V3 volných vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Součet bodu s vektorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Přímka a rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Souřadnicový systém v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Rovnice přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Vzájemná poloha dvou přímek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Rovnice roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Vzájemná poloha přímky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Vzájemná poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Souměrné body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Tři roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10. Lineární algebra v teorii kódování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Těleso Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Počítání v Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Kód, kódové slovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Kódování s detekcí a opravou chyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Lineární kód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Generující a kontrolní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Kodér lineárního kódu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Dekodér lineárního kódu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Hammingův kód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Rozšířený Hammingův kód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Gaussova eliminační metoda
Než se pustíme do studia lineárních prostorů a podprostorů, závislosti a nezávislosti vektorů, bází
a lineárních obalů, uvedeme si v této úvodní kapitole metodu, která se nám bude často hodit. Protože
se k řešení soustav vrátíme podrobněji v kapitole páté, řekneme si zde jen to nejnutnější a budeme se
v některých případech vyjadřovat poněkud těžkopádně. Vše napravíme v kapitole 5.
Gaussova eliminační metoda je metoda usnadňující řešení soustav lineárních rovnic. Soustava line-
árních rovnic je jedna nebo (obvykle) více lineárních rovnic, které mají být splněny všechny současně.
Lineární rovnice je rovnice, ve které se jedna nebo (obvykle) více neznámých vyskytuje pouze v první
mocnině. Neznámé mohou být násobené různými konstantami a tyto násobky se v součtu mají rovnat
dané konstantě, tzv. pravé straně. Řešit soustavu rovnic znamená najít řešení, tj. najít taková reálná
čísla, která po dosazení za neznámé v rovnicích splňují všechny rovnice současně. Takové řešení může
existovat pro danou soustavu jediné, může se ale stát, že je takových řešení více nebo též žádné.
Úvodní
příklad
Metodu si nejprve vysvětlíme na jednoduchém příkladě následující soustavy dvou lineárních rovnic
o dvou neznámých x, y:
2x − 5y = 16
− x + 2y = − 7
Ze střední školy asi znáte dvě metody, jak takové soustavy řešit: buď postupným dosazením, nebo náso-
bením rovnic konstantami a vzájemným sčítáním rovnic. Metoda postupného dosazení by mohla vypadat
takto:
2x−5y = 16 ⇒ 2(2y + 7)−5y = 14−y = 16 ⇒ y =−2
−x+ 2y =−7 ⇒ x = 2y + 7 ⇒ x = 2(−2) + 7 = 3,
ale nemá s Gaussovou eliminační metodou moc společného. Pro rozsáhlejší soustavy (mnoho rovnic,
mnoho neznámých) se moc nehodí. Zaměříme se proto na druhou metodu „sčítání rovniccsquotedblright. V této metodě
měníme postupně soustavu rovnic na jinou soustavu se stejným řešením. Změny soustavy, které nemění
řešení, jsou následující:
(1) Prohození rovnic mezi sebou.
(2) Vynásobení rovnice nenulovou konstantou.
(3) Přičtení libovolného násobku nějaké rovnice k jiné.
Pomocí těchto úprav převedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze které je již řešení snadno
čitelné. Jednotlivé modifikace naší soustavy od sebe oddělujeme znakem „∼csquotedblright.
2x−5y = 16
−x+ 2y =−7 ∼
2x−5y = 16
−2x+ 4y =−14 ∼
2x−5y = 16
0x− y = 2 ∼
2x−5y = 16
y =−2 ∼
2x+ 0y = 6
y =−2 ∼
x = 3
y =−2
Nejprve jsme vynásobili druhou rovnici dvěma, pak jsme obě rovnice sečetli a výsledek napsali na místo
druhé rovnice, dále jsme druhou rovnici vynásobili číslem−1, pak jsme pětinásobek druhé rovnice přičetli
k první a nakonec jsme první rovnici vynásobili číslem 1/2. Z poslední soustavy čteme přímo řešení.
Gaussova eliminační metoda je vlastně shodná s právě použitou metodou „sčítání rovniccsquotedblright. Navíc
Gaussova metoda upřesňuje postup, jak rovnice násobit a sčítat mezi sebou, abychom se cíleně dobrali
k výsledku i u rozsáhlých soustav mnoha rovnic s mnoha neznámými. Než tento postup popíšeme,
zamyslíme se nad tím, jak stručně můžeme soustavy rovnic zapisovat. V soustavě rovnic není při hledání
řešení podstatné, zda se neznámé jmenují x,y,z nebo třeba α,β,γ. Podstatné jsou jen koeficienty, které
násobí jednotlivé neznámé a samozřejmě ještě hodnoty na pravých stranách rovnic. Oddělíme tedy „zrno
od plevcsquotedblright a vypíšeme z naší soustavy jen to podstatné (koeficienty u neznámých a hodnoty pravých stran)
do tabulky čísel, které budeme říkat matice:
parenleftbigg 2 −5 16
−1 2 −7
parenrightbigg
Pokud chceme prohodit rovnice, v novém značení to znamená prohodit řádky matice. Vynásobení rovnice
nenulovou konstantou odpovídá vynásobení řádku matice touto konstantou. Konečně přičtení násobku
jedné rovnice k druhé je totožné s přičtením násobku jednoho řádku ke druhému. Postup řešení našeho
příkladu tedy můžeme zapsat takto:
parenleftbigg 2 −5 16
−1 2 −7
parenrightbigg
∼
parenleftbigg 2 −5 16
−2 4 −14
parenrightbigg
∼
parenleftbigg2 −5 16
0 −1 2
parenrightbigg
∼
parenleftbigg2 −5 16
0 1 −2
parenrightbigg
∼
parenleftbigg2 0 6
0 1 −2
parenrightbigg
∼
parenleftbigg1 0 3
0 1 −2
parenrightbigg
1
Lineární algebra Gaussova eliminační metoda
Další příkladPřed výkladem Gaussovy eliminační metody na obecné soustavě lineárních rovnic si ukáž