Lineární algebra

eme postup
ještě na jednom příkladu, který bude mít čtyři rovnice a pět neznámých. Příklad je zvolen záměrně tak,
aby vycházela malá celá čísla, takže se nám to bude dobře počítat bez použití výpočetní techniky. To je
obvyklé v tzv. modelových příkladech, se kterými se setkáte u písemné části zkoušky a při řešení úloh ze
skript. Jakmile se ale dostanete k úlohám z praxe, budete postaveni před soustavy třeba s tisíci rovnicemi
a se zhruba stejným počtem neznámých. Na malá celá čísla budete muset zapomenout. Bez výpočetní
techniky se to pak řešit nedá. Pamatujte tedy, že řešení modelových příkladů ze skript není konečným
cílem naší teorie, ale jen pomůckou k pochopení rozsáhlejších souvislostí.
Máme řešit následující soustavu lineárních rovnic
− 4x1 + 4x2 − x3 + x4 − 7x5 = −11
2x1 − 2x2 + x3 + 3x5 = 4
4x1 − 4x2 + 5x3 + x4 + 7x5 = − 3
− 6x1 + 6x2 − 4x3 + x4 − 12x5 = −13
Koeficienty této soustavy přepíšeme do matice a matici budeme upravovat pomocí tzv. kroků Gaussovy
eliminační metody, mezi které patří prohození řádků mezi sebou, vynásobení řádku nenulovou konstantou
nebo přičtení libovolného násobku nějakého řádku k jinému.



−4 4 −1 1 −7 −11
2 −2 1 0 3 4
4 −4 5 1 7 −3
−6 6 −4 1 −12 −13


∼
Nejprve potřebujeme sčítáním násobků řádků dostat nulu pod
první prvek v prvním sloupci. Aby se nám to lépe dělalo, pro-
hodíme první řádek s druhým.
∼



2 −2 1 0 3 4
−4 4 −1 1 −7 −11
4 −4 5 1 7 −3
−6 6 −4 1 −12 −13


∼
Pod dvojkou v prvním sloupci budeme postupně vytvářet nuly.
Vezmeme dvojnásobek prvního řádku a přičteme jej ke dru-
hému.
∼



2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
4 −4 5 1 7 −3
−6 6 −4 1 −12 −13


∼
Zatím nemáme v prvním sloupci pod dvojkou všude nuly. Bu-
deme si stále „pomáhatcsquotedblright násobky prvního řádku, který opí-
šeme. Minus dvojnásobek prvního řádku přičteme ke třetímu a
trojnásobek prvního řádku přičteme ke čtvrtému.
∼



2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 3 1 1 −11
0 0 −1 1 −3 −1


∼
Nyní bychom měli vytvářet nuly ve druhém sloupci. To se
v tomto případě stalo (výjimečně) samo, takže se zaměříme
na třetí sloupec. Tam pod první jedničkou v druhém řádku vy-
tvoříme nuly takto: minus trojnásobek druhého řádku přičteme
ke třetímu a dále druhý řádek přičteme ke čtvrtému. První a
druhý řádek opisujeme.
∼



2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 0 −2 4 −2
0 0 0 2 −4 2


∼
Znovu se přesuneme na další sloupec (tentokrát čtvrtý) a vy-
tvoříme nulu pod minus dvojkou ze třetího řádku. K tomu stačí
sečíst třetí řádek se čtvrtým a výsledek napsat na místo čtvr-
tého řádku.
∼



2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 0 −2 4 −2
0 0 0 0 0 0


∼
Třetí řádek ještě (spíše pro parádu) vynásobíme číslem −1/2.
Čtvrtý řádek nemusíme psát, protože tento řádek odpovídá rov-
nici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0, která je zřejmě splněna
pro libovolná x1,x2,x3,x4,x5.
∼


2 −2 1 0 3 4
0 0 1 1 −1 −3
0 0 0 1 −2 1


Dostáváme matici, která má ve své „dolním levém koutěcsquotedblright nuly.
Přesněji: každý další řádek má zleva aspoň o jednu nulu více než
předešlý. To je cílem tzv. přímého chodu Gaussovy eliminační
metody, který jsme právě ukončili.
Naši matici koeficientů původní soustavy jsem převedli pomocí Gaussovy eliminační metody na matici
odpovídající nové soustavě, která má stejnou množinu řešení, jako původní. Stačí se proto dále zabývat
touto novou soustavou. Pro názornost si ji zde zapíšeme
2x1 − 2x2 + x3 + 3x5 = 4
x3 + x4 − x5 = − 3
x4 − 2x5 = 1
2
Lineární algebra Gaussova eliminační metoda
Každá rovnice umožní spočítat hodnotu jedné neznámé, pokud jsou dány hodnoty ostatních. Máme tři
rovnice o pěti neznámých, umíme tedy spočítat jen tři neznámé. Pomocí poslední rovnice budeme počítat
například x4, pomocí předposlední rovnice budeme počítat x3 a z první rovnice spočítáme například x1.
Ostatní neznámé nejsou těmito rovnicemi určeny a mohou nabývat libovolných hodnot. To dáme najevo
například takto: x5 = u, x2 = v, u ∈ R, v ∈ R. Nyní budeme počítat hodnoty ostatních neznámých
dosazovací metodou, postupujeme od poslední rovnice k první:
x5 = u
x2 = v
x4 − 2u = 1 ⇒ x4 = 1 + 2u
x3 + (1 + 2u) − u = − 3 ⇒ x3 = − 4 − u
2x1 − 2v + (−4 − u) + 3u = 4 ⇒ x1 = 4 − u + v
Řešení jsme zapsali pomocí dvou parametrů u,v, které mohou nabývat libovolných hodnot. Všimneme
si, že počet parametrů, kterými popíšeme řešení libovolné soustavy lineárních rovnic je roven počtu
neznámých mínus počet nenulových rovnic, které získáme po eliminaci Gaussovou eliminační metodou.
V našem případě: počet parametrů = 5−3. Zadaná soustava má sice čtyři rovnice, ale po eliminaci se
nám soustava redukovala na pouhé tři nenulové rovnice.
Pokud bychom se rozhodli například z první rovnice počítat x2, pak by neznámá x1 mohla nabývat
libovolných hodnot a výsledek by byl formálně zapsán poněkud jinak: x1 = w, x2 = −8 + 2u + 2w,
x3 =−4−u, x4 = 1+2u, x5 = u, u∈R, w∈R. Vidíme tedy, že neexistuje jednoznačný zápis výsledku.
Oba zápisy popisují stejnou množinu řešení, každý trochu jiným způsobem.
Popis
metody
Nyní se pustíme do výkladu Gaussovy eliminační metody pro obecnou soustavu lineárních rovnic.
Nejprve vysvětlíme proceduru, kterou budeme v této metodě s prvky matice mnohokrát opakovat. Tato
procedura vytvoří nuly v s-tém sloupci pod nenulovým prvkem matice v r-tém řádku. Názorně:






• ··· •
sloupec s
↓
• • ··· •
... ...
•
řádek r→ 0 ··· 0 a • ··· •
0 ··· 0 b1 • ··· •
... ... ...
0 ··· 0 bk • ··· •






∼






• ··· •
sloupec s
↓
• • ··· •
... ...
•
0 ··· 0 a • ··· • ←řádek r
0 ··· 0 0 • ··· •
... ... ...
0 ··· 0 0 • ··· •






Tečkami jsou v tomto obrázku vyznačeny prvky matice, jejichž hodnoty nás momentálně nezajímají.
Prvek a musí být nenulový. Procedura vytvoření nul pod prvkem a se provede takto:
K1. Řádky 1 až r opíšeme beze změny.
K2. K řádku r+1 přičítáme (−b1/a) násobek řádku r, k řádku r+2 přičítáme (−b2/a) násobek řádku r,
atd., až konečně k řádku poslednímu přičítáme (−bk/a) násobek řádku r.
Tímto úkonem se neporuší nulové prvky ve sloupcích vlevo od sloupce s a vzniknou nové nuly pod
prvkem a ve sloupci s.
Popíšeme algoritmus, který převede libovolnou matici na matici, která má „v levém dolním rohucsquotedblright
nuly. Přesněji, matice bude mít v každém řádku z leva aspoň o jednu nulu více v souvislé řadě nul,
než předchozí řádek. V algoritmu se pracuje s proměnnou r označující aktuální řádek a s proměnnou s,
která znamená sloupec, ve kterém v daném okamžiku vytváříme nuly. Pokud se v algoritmu zvětšuje r,
a přitom r již označuje poslední řádek matice, ukončíme činnost. Pokud by se mělo zvětšit s, a přitom
s už označuje poslední sloupec matice, ukončíme činnost. V těchto případech je už matice převedena do
požadovaného tvaru.
G1. Nastavíme r = 1, s = 1.
G2. Nechť a je prvek matice z s-tého sloupce a r-tého řádku. Pokud je a = 0 a všechny prvky pod
prvkem a v s-tém sloupci jsou také nulové, zvětšíme s o jedničku a opakujeme krok G2.
G3. Je-li a = 0, a přitom existuje nenulový prvek pod prvkem a v s-tém sloupci na řádku r1, prohodíme
řádek r s řádkem r1. Od této chvíle je v nové matici prvek na r-tém řádku a s-tém sloupci nenulový.
G4. Vytvoříme nuly pod nenulovým prvkem a z r-tého řádku a s-tého sloupce způsobem, popsaným
v krocích K1 a K2.
G5. Existují-li v matici řádky celé nulové, z matice je odstraníme.
G6. Zvětšíme r o jedničku a s o jedničku a celou činnost opakujeme od kroku G2 znova.
3
Lineární algebra Gaussova eliminační metoda
Při eliminační metodě jsme převedli matici koeficientů soustavy na jinou matici odpovídající jiné
soustavě, ale se stejnou množinou řešení, protože při úpravách jsme použili jen tyto elementární kroky:
(1) Prohození řádků matice.
(2) Pronásobení řádku nenulovou konstantou.
(3) Přičtení násobku řádku k jinému.
(4) Odstranění nulového řádku
Diskuse po
převedení
matice
Již dříve jsme vysvětlili, že tím dostáváme modifikovanou matici odpovídající nové soustavě se
stejnou množinou řešení. Stačí se tedy zaměřit na tuto novou soustavu. Nejprve rozhodneme, zda soustava
má vůbec nějaké řešení. Pokud je poslední řádek ve tvaru:
(0 0 ··· 0 | c), cnegationslash= 0
soustava nemá řešení. Tento řádek totiž odpovídá rovnici
0x1 + 0x2 +···+ 0xn = c, cnegationslash= 0,
kterou nelze splnit pro žádná x1,x2,...,xn.
Pokud poslední řádek obsahuje nenulový prvek mezi koeficienty soustavy (vlevo od svislé čáry),
soustava má řešení. V takovém případě můžeme říci, kolik těch řešení bude: pokud má soustava (po
úpravě eliminační metodou) stejný počet rovnic, jako neznámých, má jediné řešení. Je-li počet rovnic
menší, než počet neznámých, je řešení nekonečně mnoho.
Počet rovnic po eliminaci nemůže nikdy přesáhnout počet neznámých, vyloučíme-li případ řádku
(0 ··· 0|c), cnegationslash= 0. Rozmyslete si, proč. Zadaná soustava může mít podstatně více rovnic než neznámých,
ale po eliminaci se v takovém případě zákonitě počet rovnic zmenší.
Má-li soustava řešení, pak pro každou rovnici rozhodneme, kterou neznámou budeme použitím této
rovnice počítat (v dané rovnici musí být tato neznámá násobena nenulovým koeficientem). V každé
rovnici je nejprve zleva skupina nulových koeficientů a pak existuje nějaký první nenulový koeficient.
Doporučujeme počítat tu neznámou, která je násobena tímto prvním nenulovým koeficientem. Neznámé,
které nebudeme počítat pomocí žádné rovnice, mohou nabývat libovolných hodnot. Takové neznámé dále
považujeme za parametry. Pro počet parametrů tedy platí:
počet parametrů = počet neznámých celkem−počet rovnic po eliminaci
Spočítáme nejprve neznámou z poslední rovnice a výsledek dosadíme do ostatních rovnic. Pak spočítáme
další neznámou z předposlední rovnice atd. až se dostaneme k první rovnici. Tím máme vyjádřena všechna
řešení dané soustavy lineárních rovnic.
Příklad, kdy
soustava
nemá řešení
Příklad. Gaussovou eliminační metodou budeme řešit následující soustavu čtyř rovnic o čtyřech nezná-
mých α,β,γ,δ.
α + 2β + 3γ + δ = 1
2α + 4β + 7γ + 7δ = 4
α + 2γ = − 2
3α + 7β + 10γ + 6δ = 7
Zapíšeme koeficienty soustavy a hodnoty pravých stran do matice a začneme tuto matici eliminovat
způsobem popsaným výše.



1 2 3 1 1
2 4 7 7 4
1 0 2 0 −2
3 7 10 6 7



(1)∼



1 2 3 1 1
0 0 1 5 2
0 −2 −1 −1 −3
0 1 1 3 4



(2)∼



1 2 3 1 1
0 1 1 3 4
0 −2 −1 −1 −3
0 0 1 5 2



(3)∼
∼



1 2 3 1 1
0 1 1 3 4
0 0 1 5 5
0 0 1 5 2



(4)∼



1 2 3 1 1
0 1 1 3 4
0 0 1 5 5
0 0 0 0 3



V úpravě (1) jsme vytvořili nuly pod jedničkou z prvního sloupce a prvního řádku. V úpravě (2) jsme
přehodili druhý řádek se čtvrtým v souladu s krokem G3 našeho algoritmu (na druhém řádku a druhém
sloupci totiž byl nulový prvek). V úpravě (3) jsme vytvořili nuly pod jedničkou z druhého řádku v druhém
sloupci. V poslední úpravě (4) jsme vytvořili nulu pod jedničkou v třetím sloupci z třetího řádku. Tím
máme matici v požadovaném tvaru. Pohledem na poslední řádek okamžitě vidíme, že soustava nemá
řešení.
4
1. Lineární prostor
1.1. Poznámka. O formě definice-věta-důkaz. V tomto textu narazíte na tři základní „slohové útvarycsquotedblright:
definice, věta a důkaz. Vesměs každé solidní matematické sdělení používá tyto pojmy. Přitom je možné,
že s takto systematickým použitím pojmů definice, věta, důkaz se setkáváte poprvé. Proto si tyto pojmy
vysvětlíme.
DefiniceDefinice vysvětluje (definuje) nový pojem, který bude dále v teorii používán. Definice se opírá
o pojmy, které byly definovány v předchozích definicích. V přísně exaktních teoriích bychom museli
na začátku vyjmenovat pojmy, které nedefinujeme, ale budeme s nimi pracovat, protože jinak bychom
nebyli schopni zapsat první definici. V tomto textu nebudeme takto přísně exaktní a budeme se opírat
o mateřský jazyk a o pojmy známé ze střední školy (předpokládáme, že jsou známé pojmy množina,
reálné číslo apod.). Nově definovaný pojem bude v definici vyznačen kurzívou.
VětaVěta je tvrzení, které nám sděluje nějakou vlastnost týkající se nově definovaných pojmů. Dosti
často se věta dá formálně rozčlenit na předpoklady a vlastní tvrzení. Předpoklady bývají uvozeny slovy
„nechťcsquotedblright, „budižcsquotedblright, „jestližecsquotedblright, „předpokládejmecsquotedblright atd. Vlastní tvrzení obvykle začíná slovem „pakcsquotedblright nebo
„potomcsquotedblright. Věta se musí dokázat. Proto se hned za větu připojuje další slohový útvar: důkaz. Po dokázání
věty se v následujícím textu dá věta použít. To bývá obvykle provedeno tak, že se ověří v daném kontextu
platnost předpokladů věty a na základě toho se prohlásí, že platí vlastní tvrzení věty.
DůkazDůkaz je obhajoba platnosti věty. Při této obhajobě můžeme použít předchozí definice (zaměníme
použitý pojem ve větě skupinou pojmů, kterými je pojem definován) a dále můžeme použít dříve dokázané
věty (ověříme předpoklady dříve dokázané věty a použijeme pak její vlastní tvrzení). Dále se v důkazech
používá logických obratů, které byste měli znát ze střední školy (například výrok „není pravda, že
existuje prvek, pro který platí tvrzení Acsquotedblright lze přeformulovat na totožný výrok: „pro všechny prvky neplatí
tvrzení Acsquotedblright).
V přísně exaktních teoriích se ke skupině nedefinovaných pojmů na začátku teorie připojuje i ně-
kolik tvrzení, která nelze prostředky teorie dokázat, ale pro důkazy dalších vět je nutné jejich platnost
předpokládat. Takovým tvrzením se říká axiomy. V našem textu nebudeme s axiomy pracovat, protože
text přece jenom nepovažujeme za přísně exaktní.
Pro matematické sdělení nových poznatků je obvykle členění textu na definice, věty a důkazy dosta-
čující. V této učebnici si navíc budeme ilustrovat novou problematiku na příkladech a občas prohodíme
nějakou poznámku. Dokladem toho je i tato poznámka 1.1.
1.2. Poznámka. V následující definici lineárního prostoru 1.6 se pracuje s množinami blíže nespecifi-
kovaných objektů. Jediné, co s těmi objekty umíme dělat, je vzájemně objekty sčítat a násobit objekt
reálným číslem. Přitom tyto operace (sčítání a násobení reálným číslem) je potřeba pro konkrétní mno-
žiny objektů definovat. Pro každou množinu objektů mohou tyto operace vypadat jinak. Skutečnost, že
není řečeno, jak objekty a operace s nimi konkrétně vypadají, může být pro některé čtenáře poněkud
frustrující. Proto před definicí uvedeme příklady množin objektů, které lze sčítat a násobit konstantou.
1.3. Příklad. Nechť R2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel, tj. R2 ={(a,b);a∈R,
b∈R}(symbolem R označujeme reálná čísla, složky uspořádané dvojice píšeme do kulatých závorek a
oddělujeme čárkou). Definujeme sčítání dvou uspořádaných dvojic:
(a,b)⊕(c,d) df= (a+c,b+d) (1.1)
a násobení uspořádané dvojice reálným číslem: pro α∈R je
αcircledot(a,b) df= (αa,αb). (1.2)
Všimneme si, že jsme definovali operaci⊕sčítání objektů tak, že výsledek sčítání je zase uspořádaná
dvojice. Stejně součin circledot reálného čísla s uspořádanou dvojicí je zase uspořádaná dvojice, tedy prvek
množiny R2. Naše sčítání je tedy operace, do které vstupují dva prvky množiny R2 a vystupuje z ní
prvek množiny R2. Naše násobení je operace, do které vstupuje reálné číslo a prvek z R2 a vystupuje
z ní prvek z R2. Tuto skutečnost zapíšeme pomocí kartézského součinu množin:
⊕: R2×R2 →R2, circledot: R×R2 →R2. (1.3).
5
Lineární algebra 1. Lineární prostor
Všimneme si dále, že jsme definovali nové operace⊕acircledotprostřednictvím operací sčítání a násobení
reálných čísel, tj. prostřednicvím operací, jejichž vlastnosti jsou známy ze střední školy. Příkladem takové
vlastnosti je komutativní zákon (pro reálná čísla x a y platí: x+y = y+x). Naše nově definovaná operace
⊕má také tuto vlastnost:
(a,b)⊕(c,d) = (c,d)⊕(a,b),
protože podle definice je (a,b)⊕(c,d) = (a + c,b + d) a (c,d)⊕(a,b) = (c + a,d + b), ovšem dvě
uspořádané dvojice se rovnají, pokud se rovnají odpovídající složky. V tomto případě první složka první
dvojice a+b se rovná první složce druhé dvojice b+a, neboť pro sčítání reálných čísel platí komutativní
zákon. Podobně ověříme i druhou složku.
Uvědomíme si, že není vůbec automaticky zaručeno, že nově definované operace musejí tyto zákony
splňovat. Pokud bychom například definovali jiné sčítání dvou uspořádaných dvojic předpisem:
(a,b)⊕(c,d) df= (2a+d,b+c), (1.4)
pak se dá snadno ukázat, že pro⊕není splněn komutativní zákon (ověřte si sami).
1.4. Příklad. Označme P množinu všech polynomů, tedy funkcí p : R → R, které pro x ∈ R mají
hodnotu danou vzorcem:
p(x) = anxn +an−1xn−1 +···a1x+a0, (an,an−1,···,a1,a0 jsou nějaká reálná čísla). (1.5)
Na této množině polynomů definujeme sčítání ⊕ : P ×P →P a násobení circledot : R×P →P takto: pro
každé p∈P, q∈P, α∈R je
(p⊕q)(x) df= p(x) +q(x) ∀x∈R
(αcircledotp)(x) df= αp(x) ∀x∈R
Pomaleji: v definici jsme zavedli novou funkci p⊕q : R→R tak, že jsme řekli, jakou bude tato funkce
mít hodnotu v každém bodě x jejího definičního oboru. Tuto hodnotu podle definice počítáme jako součet
hodnoty funkce p a hodnoty funkce q v bodě x. Tyto hodnoty jsou reálná čísla, takže sčítání funkcí (nové
sčítání nových objektů) vlastně definujeme pomocí sčítání reálných čísel (sčítání, které známe ze střední
školy). Podobně definujeme násobek funkce reálným číslem.
Dá se ověřit, že pro p∈P, q∈P, α∈R je p⊕q zase polynom a αcircledotp je také polynom. Rovněž se
dá ověřit, že pro operaci⊕platí komutativní zákon.
1.5. Poznámka. V předchozích dvou příkladech jsme definovali na množině nějakých objektů sčítání
a násobení reálným číslem. Pro větší přehlednost jsme nově definované operace zapisovali do kroužku,
abychom je odlišili od operací sčítání a násobení reálných čísel. To ale není potřeba. Stačí používat
tytéž znaky, protože podle typu objektů, které do operace vstupují, okamžitě poznáme, jakou operaci
máme použít (zda nově definovanou nebo známou operaci na reálných číslech). Takové automatické
přizpůsobení operace podle typu operandů znají programátoři objektově orientovaných jazyků. Tam se
tomu říká „přetěžování operátorůcsquotedblright.
Definici sčítání uspořádaných dvojic tedy stačí zapsat takto: Pro všechna (a,b)∈R2,(c,d)∈R2 je
(a,b) + (c,d) df= (a + c,b + d). Přitom poznáme, že první znak „+csquotedblright v uvedeném vzorci označuje sčítání
uspořádaných dvojic a ostatní dva znaky „+csquotedblright znamenají sčítání reálných čísel.
V dalším textu budeme skoro vždy používat znaky „+csquotedblright a „·csquotedblright i pro nově definované operace, protože
podle typu operandů nemůže dojít k nedorozumění. Také znak násobení „·csquotedblright budeme někdy vynechávat,
jako jsme zvyklí jej vynechávat při zápisu násobení reálných čísel.
Definice
lineárního
prostoru
1.6. Definice. Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno
sčítání + : L×L → L a násobení reálným číslem · : R×L → L a tyto operace splňují pro každé
x∈L,y∈L,z∈L,α∈R,β∈R vlastnosti:
(1) x+y = y +x (komutativní zákon sčítání)
(2) (x+y) +z = x+ (y +z) (asociativní zákon sčítání)
(3) α·(β·x) = (αβ)·x (asociativní zákon násobení)
(4) α·(x+y) = α·x+α·y (distributivní zákon pro sčítání prvků z L)
(5) (α +β)·x = α·x+β·x (distributivní zákon pro sčítání čísel)
(6) 1·x = x (vlastnost reálného čísla 1)
(7) existuje o∈L, že pro každé x∈L je 0·x = o (existence nulového prvku).
6
Lineární algebra 1. Lineární prostor
Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory. Reálnému číslu v kontextu násobení·: R×L→L říkáme
skalár. Prvku o∈L z vlastnosti (7) říkáme nulový prvek nebo nulový vektor.
1.7. Věta. Pro nulový prvek o lineárníh