Algebra

je-li , je 0=M []0=M
b
je-li , pak je množina všech lineárních kombinací 0≠M [M]
∑
, kde
=
n
i
ii
ur
1
niM ,1, =u
i
,...,2∈ .
Úpravy generátorů
Nechť jsou vektory z vektorového prostoru
n
aaa ,...,,
21
( ) [ ]
nn
aaaMT ,...,,,
21
V = .
Provedeme-li na skupinu vektorů některou z následujících změn, dostaneme
novou skupinu vektorů, která generuje stejný podprostor
n
aaa ,...,,
21
M :
a
změna pořadí vektorů,
b
nahrazení libovolného vektoru z M jeho α-násobkem, kde 0, ≠∈ αα T ,
c
nahrazení libovolného vektoru z M jeho součtem s lineární kombinací ostatních
vektorů z M ,
d
vynechání vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů,
e
přidání vektoru, který je lineární kombinací vektorů z M .
Steinitzova věta
Nechť vektory generují vektorový prostor
n
aaa ,...,,
21
( )TV . Nechť vektory z
jsou lineárně nezávislé. Pak platí:
k
bbb ,...,,
21
()TV
a
nk ≤
b
existuje kn − vektorů z
i
a { }
n
aaa ,...,,
21
, které spolu s vektory b generují
.
k
bb ,...,,
21
()TV
Konečněrozměrný vektorový prostor
Jestliže existují vektory )(,...,,
21
TVaaa
k
∈ takové, že [ ]
n
aaaT ,...,,)(
21
V = , je tento prostor
konečněrozměrný.
Báze
Nechť )V je konečněrozměrný prostor. Podmnožinu (T { } )(,...,,
21
TVaaa
n
⊂ nazveme bází
vektorového prostoru V , jestliže platí: )(T
a
jsou
n
aaa ,...,,
21
lineárně nezávislé,
b
, tj. generují V [])(,...,,
21
TVaaa
n
= )(T
www.matematika.webz.cz
20
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Dimenze
Nechť )V je konečněrozměrný vektorový prostor. Dimenzí nenulového prostoru V
nazýváme počet prvků některé jeho báze. Dimenze nulového vektorového prostoru je 0.
Dimenze nekonečněrozměrného vektorového prostoru je
(T )(T
∞. Dimenzi vektorového prostoru
značíme dim . )(TV )(TV
Souřadnice vektoru vzhledem k bázi
Označme Β skupinu vektorů { v tomto pořadí a nechť }
n
aaa ,...,,
21
Β je báze vektorového
prostoru V . Uspořádanou n-tici skalárů )(), TVa∈(T ( )
n
ααα ,...,,
21
takovou, že platí
nn
aaaa ααα +++= ...
2211
,
nazýváme souřadnicemi vektoru a vzhledem k bázi Β. Píšeme
( )
n
a ααα ,...,,
21
=
Β

Součet podprostorů
a
Nechť U jsou podprostory vektorového prostoru W, ( )TV . Podprostor U nazýváme
lineárním součtem podprostorů U
W+
W,.
b
Nechť U . Potom lineární součet U{}0=∩W W+ nazýváme direktním součtem
podprostorů U a píšeme UW, W⊕ .
• Nechť [][ ]
kn
bbbWaaa ,...,,,,...,,
2121
U == jsou podprostory vektorového prostoru ( )TV .
Pak platí:U
kn
bbbaaaW ,...,,,,...,,
2121
=+
• Nechť U jsou podprostory konečněrozměrného vektorového prostoru V .
Pak platí:
W, ()T
( ) ( )WUWUWU ∩++=+ dimdimdimdim
Příklad 20.
Rozhodněme zda množina W tvoří podprostor vektorového prostoru V . ()R
3
( ) ( ){ }RVyxW
3
1,, ∈=

Musíme ověřit podmínky vektorového podprostoru.
()
()()( )
()( )Wyxyx
Wyyxxyxyx
WW
∉=
∉++=+
≠⇒∈
αααα ,,1,,
2,,1,,1,,
00,0,0
21211111

tedy W netvoří podprostor vektorového prostoru ( )R
3
V .
www.matematika.webz.cz
21
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Příklad 21.
Určeme bázi a dimenzi vektorového prostoru generovaného vektory
()( ) ( ) ()5,9,2,3,1,3,5,1,2,0,1,1,0,1,1,1,3,1,0,2
4321
−−=−−=−=−= uuuu
z aritmetického vektorového prostoru
5
R .
Nejprve zjistíme, zda vektory
4321
,,, uuuu nejsou lineárně nezávislé, tj. zda netvoří bázi
daného vektorového prostoru. Řešíme tedy rovnici 0
44332211
=+++ ucucucuc , kterou lze
přepsat na soustavu
053
0953
02
032
02
4321
4321
431
432
421
=−−+−
=++−
=++
=−−
=++
cccc
cccc
ccc
ccc
ccc

Užitím Gaussovy eliminační metody zjistíme, že tato soustava je ekvivalentní se soustavou
032
053
432
4321
=−−
=−−+−
ccc
cccc

která má zřejmě nekonečně mnoho řešení závislých na 2 parametrech.
Množinu všech řešení soustavy lze zapsat např. ve tvaru
(){}Rcccccccc ∈+−−
43434343
,;,,32,2.
To znamená, že např. pro 1
43
== cc je ( )1,1,5,3− jedním z řešení soustavy, takže
053
4321
=+++− uuuu . Vektory
432
,, uuu
1
,u jsou tedy lineárně závislé a bází daného
vektorového prostoru netvoří. Podobně i vektory
421
,, uuu jsou lineárně závislé, neboť
032
421
=++− uuu . Vektory
21
, uu jsou již lineárně nezávislé, protože 0
2211
=+ ukuk
právě tehdy, když . 0
21
== kk
Množina {}( )( ){1,1,0,1,1,1,3,1,0,2,
21
}−−==Β uu je tedy bází daného vektorového prostoru a
jeho dimenze je rovna 2.

Jinou bázi téhož vektorového prostoru určíme jednodušším způsobem úpravou matice
∗
=








−−
−
≈
≈














−−
−−
−−
−
≈














−−
−−
−
−
=














=
A
u
u
u
u
A
35120
11011
610240
35120
35120
11011
59231
35120
11011
13102
4
3
2
1

Řádky matice
∗
A jsou lineárně nezávislé vektory, které tvoří bázi daného vektorového
prostoru.


www.matematika.webz.cz
22
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Euklidovské vektorové prostory
Euklidovský vektorový prostor
Vektorový prostor ( )⋅+,,E nad R nazýváme euklidovským vektorovým prostorem, jestliže
existuje zobrazení takové, že pro libovolné vektory a a libovolné
reálné číslo
REEg ×: → Ecb ∈,,
α platí:
a
()(abgbag ,, = )
b
()()( )cbgcagcbag ,,, +=+
c
()(cagcag ,, )αα =
d
() () 00,,0, =⇔=≥ aaagaag
Zobrazení g nazýváme skalárním součinem.
Úmluva: Euklidovský vektorový prostor ( )⋅+,,E se skalárním součinem g budeme v dalším
textu značit . ()gE,

V euklidovském vektorovém prostoru ( )gE, platí:

a
aa αα =

b
00;0 =⇔=≥ aaa

c
() babag ≤, (Schwartzova nerovnost)

d
baba ≤+ (trojúhelníková nerovnost)
Velikost vektorů a jimi sevřeného úhlu
Nechť je euklidovský vektorový prostor, (gE, ) Eba ∈,.
Délkou (velikostí, normou) vektoru nazýváme reálné číslo a
( )aaga ,= .
Velikost ρ úhlu mezi vektory a definujeme takto: b,
()
ba
bag
⋅
=
,
cos ρ pro πρ ,0,0,0 ∈≠≠ ba
0cos =ρ pro nebo 0=a 0=b .
Jestliže platí 0cos =ρ , nazýváme vektory kolmými (ortogonálními) a píšeme ba, ba ⊥ .
Ortogonální doplněk
Nechť je euklidovský vektorový prostor, (gE, ) M podmnožina E . Ortogonálním doplňkem
množiny M nazýváme množinu
{ }baMbEaM ⊥∈∀∈=
⊥
:;
Vektory ortogonální a ortonormální
Nechť jsou vektory z euklidovského vektorového prostoru .
k
aaa ,...,,
21
()gE,
Vektory nazýváme ortogonálními, jestliže
k
aaa ,...,,
21 ji
aa ⊥ pro všechna . Vektory
nazýváme ortonormální, jestliže jsou navzájem ortogonální a
ji ≠
k
aaa ,...,,
21
ki ≤≤1,a
i
=1 .
www.matematika.webz.cz
23
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Ortogonální (ortonormální) báze
Nechť je n-rozměrný (gE, ) euklidovský vektorový prostor, { }
n
aaa ,...,,
21
=Β jeho báze. Jsou-
li vektory navzájem ortogonální, resp. ortonormální, nazýváme Β ortogonální,
resp. ortonormální bází.
n
aa ,...,
2
a ,
1
Příklad 22.
Nechť V je podprostor aritmetického vektorového prostoru
3
R se skalárním součinem takový,
že
( ) ( ){ }[ ]0,2,4,3,1,2=V .
Určeme:
a
ortogonální bázi ve V , která není ortonormální

b
ortogonální doplněk V v prostoru
⊥ 3
R

c
ortonormální bázi ve V

d
ortonormální bázi ve V .
⊥


a
Vektory ()3,1,2
1
=u a (0,2,4
2
=u ), které generují vektorový prostor V , jsou zřejmě lineárně
nezávislé, takže množina { je bází tohoto podprostoru. Tato báze však není ortogonální,
neboť
}
21
,uu
u . Abychom dostali ortogonální bázi, nahradíme např.
vektor
2
u vektorem Vw∈ takovým, že 0
1
=⋅wu .
0100.32.14.2
21
≠=++=⋅u
Protože Vw∈ , musí existovat čísla Raa ∈
21
, taková, že
2211
uauaw += .
Platí tedy ( 0
22111
=)+⋅ uauau , takže ( ) ( ) 0..
212111
=⋅+⋅ uuauua .
K určení vektoru w stačí najít libovolné nenulové řešení této rovnice .
Proto zvolíme např. a . 1
2
=
()
Potom
11
21
1
uu
uu
a
⋅
⋅−
= ; po dosazení
( ) ( )
()() 7
5
3,1,23,1,2
0,2,43,1,2
1
−=
⋅
⋅−
=a .
Hledaný vektor ()()






−=+−=
7
15
,
7
9
,
7
18
0,2,43,1,2
7
5
w .
Množina {}()












−==Β
7
15
,
7
9
,
7
18
,3,1,2,
1
wu je tedy ortogonální bází prostoru V , která není
ortonormální, neboť např. 114
11
≠=⋅uu
()
. Jinou ortogonální bází prostoru V , která není
ortonormální je množina ( ){}5,3,6,3,1,2' −=Β .

b
Ortogonálním doplňkem V podprostoru V v prostoru
⊥ 3
R , je množina všech vektorů z
3
R
ortogonálních na vektory
21
,uu .
)Tedy ()( ) ({ }00,2,403,1,2;,,
3
321
=⋅∧=⋅∈==
⊥
uuRuuuuV .
Pro každý vektor
⊥
∈Vu tedy musí platit
024
032
21
321
=+
=++
uu
uuu
.
Tato soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na jednom parametru. Množinu řešení lze
zapsat například ve tvaru
( ){ }Ruuu ∈−
121
,0,2, .
}Tedy (){ 0,2,;
21
3
uuuRu −=∈=
⊥
V .
www.matematika.webz.cz
24
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
c
Ortonormální bázi vektor. prostoru V získáme např. z báze { }( )( ){}5,3,6,3,1,2','
1
−==Β wu ,
která je pouze ortogonální tak, že z vektorů ',
1
wu vytvoříme vektory jednotkové:
()
()5,3,6
70
11
3,1,2
14
11
1
111
1
1
111
1
−⋅=⋅
⋅
=
⋅=⋅
⋅
=
w
www
w
u
uuu
u

Množina ()(






−⋅⋅ 5,3,6
70
1
,3,1,2
14
1
) je tedy ortonormální bází vektorového prostoru V .

d
Vzhledem k tomu, že dimenze vektorového prostoru
3
R je rovna 3 a dimenze jejího
podprostoru V je rovna 2, musí být dimenze podprostoru V rovna . To znamená, že
libovolný nenulový vektor z V tvoří bázi V . Uvažujme např. bázi { . Tato báze
zřejmě není ortonormální, neboť
⊥
123 =−
(0,2,1−
⊥ ⊥
)}
( ) ( ) 500,2,1 1,2,1 ≠=−⋅− . Ortonormální bázi bude tvořit
jednotkový vektor z V , tedy vektor
⊥
()()
()








−=−⋅
−⋅−
0,
5
2
,
5
1
´0,2,1
0,2,10,2,1
1
.
Ortonormální bází prostoru V je tedy množina
⊥






− 0,
5
2
,
5
1

 .









Pamatujme:
„I kdyby byl naším údělem dlouhý život, bylo by nutné šetrně si
rozdělit čas, aby stačil na nezbytné záležitosti. Jaké šílenství učit se
zbytečnosti v tak velké časové tísni, v níž jsme.“
Seneca

www.matematika.webz.cz
25
PŘEH