Algebra

LED DEFINIC A POJMŮ
Lineární zobrazení, isomorfismus vektorových prostorů
Lineární zobrazení
Nechť V , V jsou vektorové prostory nad týmž tělesem ) )(' T(T T . Zobrazení ': VV →ρ se
nazývá lineární zobrazení, jestliže pro libovolné a TVb ∈∈ α,, platí:

a
()() ( )baba ρρρ +=+ (zobrazení se nazývá aditivní)

b
() ()aa ρααρ = (zobrazení je homogenní)
• Obraz lineární kombinace vektoru z V je roven lineární kombinaci jejich obrazů se
stejnými koeficienty.
Jádro a obraz zobrazení ρ
Nechť () ()TVTV ': →ρ je lineární zobrazení. Množina (){ }oaVa =∈= ρρ ;ker se nazývá
jádro zobrazení ρ , množina ( ){ }baVaVb =∈∃∈= ρρ :;'Im se nazývá obraz zobrazení ρ .
• ρker je podprostor prostoru V , )(T ρIm je podprostor prostoru V . )(' T
• Nechť () ()TVTV ': →ρ je lineární zobrazení a V je konečně rozměrný prostor. Pak platí:
( ) ( ) VdimImdimkerdim =+ ρρ
• Nechť () ()TVTV ': →ρ je lineární zobrazení a V je konečně rozměrný prostor. Pak jsou
následující podmínky ekvivalentní:
a) ρ je prosté b) { }o=ρker c) Vdim)(Imdim =ρ


.
.
.

Takto lineární algebra rozhodně nekončí, končí jen má práce.
Použitá literatura
Bican,L.: Lineární algebra, Praha 1979
Bican,L.: Lineární algebra v úlohách, Praha 1979
Kopecký,M.-Emanovský,P.: Sbírka řešených příkladů z algebry, Olomouc 1990
Liebl,P.: Maticová algebra, Praha 1977
Novotná,J.-Trch,M.: Algebra a teoretická aritmetika (Lineární algebra), Praha 1995
Novotná,J.-Trch,M.: Algebra a teoretická aritmetika (Základy algebry), Praha 1993
www.matematika.webz.cz
26
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
OBSAH
ELEMENTY LINEÁRNÍ ALGEBRY.........................................................................................0
Základní pojmy.............................................................................................................................1
Binární relace R ........................................................................................................................1
Zobrazení..................................................................................................................................2
Binární operace.........................................................................................................................2
Grupa ........................................................................................................................................2
Číselné těleso............................................................................................................................3
Aritmetický vektor....................................................................................................................3
Rovnost dvou aritmetických vektorů........................................................................................3
Součet dvou aritmetických vektorů..........................................................................................3
α-násobek..................................................................................................................................3
Nulový aritmetický vektor........................................................................................................3
Lineární kombinace ..................................................................................................................3
Lineární závislost a nezávislost vektorů...................................................................................4
Matice ...........................................................................................................................................6
Diagonála a diagonální matice .................................................................................................6
Jednotková matice ....................................................................................................................6
Transponovaná matice..............................................................................................................6
Matice symetrická a antisymetrická .........................................................................................7
Trojúhelníková matice..............................................................................................................7
Čtvercové matice: regulární × singulární.................................................................................7
Řádkový prostor .......................................................................................................................7
Hodnost matice.........................................................................................................................7
Elementární úpravy...................................................................................................................7
Rovnost matic...........................................................................................................................8
Součet matic .............................................................................................................................8
α-násobek matice......................................................................................................................9
Součin matic ...........................................................................................................................10
Záměnné matice......................................................................................................................10
Frobeinova věta ......................................................................................................................10
Adjungované matice...............................................................................................................11
Inverzní matice .......................................................................................................................11
Permutace, determinanty a jejich užití .......................................................................................15
Pořadí prvků ...........................................................................................................................15
Inverze v pořadí......................................................................................................................15
Permutace ...............................................................................................................................15
Inverzní permutace .................................................................................................................15
Znaménko permutace π ..........................................................................................................15
Determinant matice A.............................................................................................................16
Minor (subdeterminant)..........................................................................................................17
Cramerovo pravidlo................................................................................................................17
Vektorový prostor.......................................................................................................................19
Vektorový prostor...................................................................................................................19
Vektorový podprostor.............................................................................................................19
Lineární obal...........................................................................................................................20
Úpravy generátorů..................................................................................................................20
Steinitzova věta ......................................................................................................................20
Konečněrozměrný vektorový prostor .....................................................................................20
www.matematika.webz.cz
27
PŘEHLED DEFINIC A POJMŮ
Báze ........................................................................................................................................20
Dimenze..................................................................................................................................21
Souřadnice vektoru vzhledem k bázi......................................................................................21
Součet podprostorů.................................................................................................................21
Euklidovské vektorové prostory.................................................................................................23
Euklidovské vektorové prostory.................................................................................................23
Euklidovský vektorový prostor ..............................................................................................23
Velikost vektorů a jimi sevřeného úhlu..................................................................................23
Ortogonální doplněk...............................................................................................................23
Vektory ortogonální a ortonormální.......................................................................................23
Ortogonální (ortonormální) báze............................................................................................24
Lineární zobrazení, isomorfismus vektorových prostorů...........................................................26
Lineární zobrazení ..................................................................................................................26
Jádro a obraz zobrazení ρ .......................................................................................................26
Použitá literatura.........................................................................................................................26
OBSAH.......................................................................................................................................27

www.matematika.webz.cz
28