přednáška 8

8. Úvod do lineární algebry
Petr Gurka
katedra matematiky
Technická fakulta ČZU
e-mail: gurka@tf.czu.cz
web: http://tf.czu.cz/ ∼gurka/index2.html
23. 11. 2006
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 1 / 19
1 Témata
2 Vektory, vektorové prostory
Motivace
Aritmetický vektorový prostor
Vektorový prostor
Lineární kombinace
Lineární nezávislost a závislost
Lineární obal
3 Elementární úpravy skupin vektorů, matice
Skupina vektorů
Elementární úpravy
Ekvivalentní matice
Matice v Gaussově tvaru
Hodnost matice
Gaussova eliminace
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 2 / 19
Budeme probírat tato témata
1 Vektorové prostory
2 Ortogonalita, homogenní soustavy lineárních rovnic
3 Nehomogenní soustavy lineárních rovnic
4 Maticový počet
5 Determinanty
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 3 / 19
Uvažujme soustavu lineárních rovnic:
x + 2y − z = 1
2x + 5y = 9
3x + 6y − 2z = 6
. (1)
Vyřešit soustavu (1) znamená najít čísla x, y, z, která vyhovují všem třem
rovnicím této soustavy.
Je jasné, že
1 vynásobením kterékoliv z rovnic soustavy libovolným reálným číslem
r negationslash= 0 nebo
2 záměnou rovnic mezi sebou nebo
3 nahrazením libovolné z rovnic soustavy součtem této rovnice s jinou
rovnicí soustavy
získáme soustavu s původní soustavou ekvivalentní.
Pomocí uvedených operací se budeme snažit získat ze soustavy (1)
soustavu, která má v každé následující rovnici zleva alespoň o jednu
neznámou méně než v předchozí rovnici.
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 4 / 19
Konkrétně soustavu (1):
x + 2y − z = 1
2x + 5y = 9
3x + 6y − 2z = 6
.
upravíme takto:
přičteme (−2)-násobek 1. rovnice ke druhé rovnici,
přičteme (−3)-násobek 1. rovnice ke třetí rovnici .
Dostaneme tak soustavu
x + 2y − z = 1
y + 2z = 7
z = 3
.
Z poslední rovnice je ihned z = 3. Dosazením za z do druhé rovnice
vyjde y =7 − 2z = 7 − 6 = 1 a konečně dosazením obou hodnot do první
rovnice máme x =1 − 2y + z = 1 − 2 + 3 = 2. Vidíme tedy, že trojice
(x, y, z) = (2, 1, 3) je řešením naší soustavy.
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 5 / 19
Maticový zápis soustavy
Všechny rovnice v soustavě jsou ve tvaru, kdy stejné neznámé jsou zapsány
pod sebou, takže úpravy, které jsme prováděli s jednotlivými rovnicemi,
stačí provádět pouze s koeficienty v těchto rovnicích. Soustavu můžeme
zapsat do matice: 

1 2 −1
2 5 0
3 6 −2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1
9
6

. (2)
Ekvivalentní úpravy, které jsme prováděli s rovnicemi soustavy (1)
můžeme analogicky provádět s řádky matice(2). Předchozí postup je
možné maticově zapsat takto:


1 2 −1
2 5 0
3 6 −2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1
9
6

 ∼


1 2 −1
0 1 2
0 0 1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1
7
3

.
Symbolem “∼” značíme ekvivalenci soustav (tj. ekvivalenci příslušných
matic).
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 6 / 19
Dále si všimněme, že soustavu (1) je možné zapsat ještě jiným způsobem,
totiž jako rovnici
x


1
2
3

+ y


2
5
6

+ z


−1
0
−2

 =


1
9
6

 .
Využijeme-li toho, že trojice (x, y, z) = (2, 1, 3) je řešením soustavy (1),
platí rovnost
2


1
2
3

+ 1


2
5
6

+ 3


−1
0
−2

 =


1
9
6

 .
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 7 / 19
Uspořádané n-tice reálných čísel (např. řádky nebo sloupce matice)
můžeme násobit reálným číslem a můžeme je sčítat.
Definice. (Aritmetický