přednáška 8

některého vektoru skupiny k jinému
vektoru skupiny;
(d) vynechání nulového vektoru ze skupiny, pokud tento není jediným
vektorem ve skupině;
(e) za předpokladu, že skupina obsahuje dva vektory, z nichž jeden je
nenulovým násobkem druhého, vynechání jednoho z těchto vektorů
(kteréhokoliv).
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 14 / 19
Věta. (Zachování lineárního obalu elementárními úpravami)
Provedením některé z elementárních úprav (a)–(e) na danou skupinu
vektorů dostaneme skupinu, která generuje tentýž lineární obal jako
původní skupina.
Pro práci se skupinou vektorů definujeme pojem matice.
Definice. (Matice)
Maticí A typu (m, n) nazveme soubor mn reálných čísel zapsaných do m
řádků a n sloupců ve tvaru
A =



a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ... ... ...
am1 am2 . . . amn


.
Matice A se nazývá nulová matice, jestliže obsahuje pouze nuly, tj. aij = 0
pro i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Nulovou matici budeme značit O.
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 15 / 19
Definice. (Ekvivalentní matice)
Jsou-li A, B dvě matice, pak zápis A ∼ B znamená, že matice B vznikla
z matice A pomocí konečného počtu elementárních úprav (a)–(e) na řádky
matice A. Matice A, B pak nazýváme ekvivalentní.
Věta.
Jsou-li A, B ekvivalentní matice, pak lineární obal generovaný řádky
matice A je roven lineárnímu obalu generovanému řádky matice B.
Nyní se k dané matici pokusíme najít matici s lineárně nezávislými řádky,
která je s danou maticí ekvivalentní.
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 16 / 19
Definice. (Gaussův tvar matice)
Řekneme, že nenulová matice B je v Gaussově tvaru, jestliže první
nenulové číslo jejího každého řádku (uvažováno zleva doprava) je zároveň
posledním nenulovým číslem v příslušném sloupci (uvažováno shora dolů).
Příklad.
Pro názornost uveďme dvě matice, které jsou v Gaussově tvaru



1 −2 0 4
0 5 0 0
0 0 2 −3
0 0 0 5


,


1 0 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 1

.
Na druhé straně, matice 

1 1 0 0 0
0 1 0 2 0
0 1 0 0 1


není v Gaussově tvaru.
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 17 / 19
Věta.
Každá matice v Gaussově tvaru má lineárně nezávislé řádky.
Věta.
Ke každé nenulové matici A existuje matice B v Gaussově tvaru taková, že
A ∼ B.
K dané matici A můžeme najít více matic B v Gaussově tvaru s ní
ekvivalentních, všechny takové matice B však mají stejný počet řádků.
Definice.
Hodnost nenulové matice A definujeme jako číslo h(A), které je rovno
počtu řádků matice B v Gaussově tvaru takové, že A ∼ B. Pro nulovou
matici klademe h(O) = 0.
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 18 / 19
Gaussova eliminační metoda
Gaussova eliminační metoda spočívá ve vhodném používání elementárních
úprav (a)–(e) na řádky výchozí matice A. Stručně řečeno, nejdříve pomocí
úpravy (a) zařídíme, aby prvek v levém horním rohu matice (tím rozumíme
prvek matice v prvním řádku, uvažováno shora dolů, a v prvním nenulovém
sloupci, uvažováno zleva doprava) byl nenulový (je výhodné, když toto číslo
je 1 nebo −1). Pak přičítáním vhodných násobků horního řádku k řádkům
pod ním (úprava (c)) zařídíme, aby pod tímto prvkem byly v příslušném
sloupci nuly. V dalším kroku vynecháme v matici nulové řádky a řádky,
které jsou násobky řádků nad nimi (úpravy (d) a (e)). V případě, že
nejsme ještě hotovi, tj. když výsledná matice ještě není v Gaussově tvaru,
celý postup zopakujeme s tím, že nyní pokračujeme o řádek níže. Jelikož
výchozí matice měla konečný počet řádků, musíme po konečném počtu
kroků získat výslednou matici v Gaussově tvaru.
Petr Gurka (katedra matematiky) 8. Úvod do lineární algebry 23. 11. 2006 19 / 19