Studijní materiály

Zpět

Hromadně přidat materiály

přednáška 11

TAA01E - Aplikovaná matematika

Hodnocení materiálu:

Vyučující: doc. RNDr. CSc. Petr Gurka

Zjednodušená ukázka:

Stáhnout celý tento materiál

0 1 0
0 0 1

 atd.
Petr Gurka (katedra matematiky) 11. Maticový počet 14. 12. 2006 10 / 14
Vlastnosti součinu matic
Věta.
Nechť A, B, C jsou matice, r ∈ R. Pak platí (pokud jsou příslušné součiny
definovány):
(A) r(AB) = (rA)B = A(rB),
(B) A(B +C) = AB +AC,
(C) (A+B)C = AC +BC,
(D) (AB)C = A(BC),
(E) 0A = O, A0 = O,
(F) EA = A, AE = A.
Rovnosti (B) a (C) se nazývají distributivní zákony, rovnost (D) je
asociativní zákon.
Petr Gurka (katedra matematiky) 11. Maticový počet 14. 12. 2006 11 / 14
Definice.
Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n. Řekneme, že matice B je
inverzní k matici A, jestliže platí AB = BA = E.
Definice.
Čtvercová matice řádu n se nazývá regulární, jestliže její hodnost h(A) je
rovna n. Čtvercová matice řádu n, která není regulární, se nazývá singulární.
Věta.
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom následující podmínky jsou
ekvivalentní:
1 matice A je regulární;
2 existuje čtvercová matice B řádu n taková, že AB = E;
3 existuje čtvercová matice C řádu n taková, že CA = E.
Nutně B = C a tato matice je inverzní k matici A.
Inverzní matici k matici A budeme značit A−1.
Petr Gurka (katedra matematiky) 11. Maticový počet 14. 12. 2006 12 / 14
Výpočet inverzní matice (Jordanova eliminace)
K dané čtvercové regulární matici A řádu n utvoříme matici parenleftbigA|Eparenrightbig typu
(n, 2n). Pomocí vhodných elementárních úprav na řády této matice chceme
získat v levé polovině matice (tj. na místě matice A) jednotkovou matici
řádu n. Na pravé straně (tj. na místě matice E) vyjde matice inverzní
k matici A.
parenleftbigA|Eparenrightbig Gaussova eliminace na A∼ . . . ∼ parenleftbigB|Cparenrightbig zpětný chod∼ ··· ∼ parenleftbigE|A−1parenrightbig
Na začátku z matice parenleftbigA|Eparenrightbig získáme matici, v jejíž levé polovině je matice
B v Gaussově tvaru.
Zpětný chod: 1. krok: Odečítáním vhodných násobků (celého) spodního
řádku od (celých) řádků nad ním získáme nad prvkem vpravo dole v matici
B nuly. 2. krok: celý postup zopakujeme s tím, že začneme o řádek výše
atd. Po konečném počtu kroků takto získáme matici, která už má v levé
polovině diagonální matici, přičemž všechny její diagonální prvky jsou
nenulové. Nakonec po vydělení každého řádku příslušným nenulovým
diagonálním prvkem získáme žádanou matici parenleftbigE|A−1parenrightbig.
Petr Gurka (katedra matematiky) 11. Maticový počet 14. 12. 2006 13 / 14
Předpokládejme, že B je regulární matice. Při řešení maticových rovnic
využijeme:
X B = A =⇒ X = AB−1.
BX = A =⇒ X = B−1A.
Petr Gurka (katedra matematiky) 11. Maticový počet 14. 12. 2006 14 / 14

Stáhnout celý tento materiál

Předchozí

1 2 3

Vloženo: 25.06.2009

Velikost: 226,48 kB

Stáhnout celý tento materiál

Komentáře

Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.

Mohlo by tě zajímat:

Skupina předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujících předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujícího doc. RNDr. CSc. Petr Gurka

Podobné materiály