přednáška 1

ak f (x1) negationslash= f (x2))
s oborem hodnot H(f ).
Pak ke každému y ∈ H(f ) existuje právě jedno x ∈ D(f ), že f (x) = y.
Funkci f −1 : y mapsto→ x, y ∈ H(f ), nazýváme inverzní funkcí k funkci f .
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 19 / 29
Poznámka.
1 Je-li f elementární funkce a I interval, potom množina
f (I) := {y = f (x)|x ∈ I}
je také interval.
2 Je-li navíc f prostá na I, potom oba intervaly jsou stejného typu a
krajní body intervalu I se zobrazí na krajní body intervalu f (I).
3 Platí:
D(f −1) = H(f ), H(f −1) = D(f ), y = f (x) ⇔ x = f −1(y).
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 20 / 29
Druhá (sudá) mocnina a odmocnina
Pro x ∈ 〈0,∞), y ∈ 〈0,∞) : y = x2 ⇔ x = √y
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 21 / 29
Třetí (lichá) mocnina a odmocnina
Pro x ∈ R, y ∈ R : y = x3 ⇔ x = 3√y
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 22 / 29
Exponenciála a logaritmus
Pro x ∈ R, y ∈ (0,∞) : y = ex ⇔ x = lny
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 23 / 29
Funkce sinus a arkussinus
Pro x ∈ 〈−pi2, pi2〉, y ∈ 〈−1,1〉 : y = sinx ⇔ x = arcsiny
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 24 / 29
Funkce kosinus a arkuskosinus
Pro x ∈ 〈0, pi〉, y ∈ 〈−1,1〉 : y = cosx ⇔ x = arccosy
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 25 / 29
Funkce tangens a arkustangens
Pro x ∈ (−pi2, pi2), y ∈ R : y = tgx ⇔ x = arctgy
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 26 / 29
Funkce kotangens a arkuskotangens
Pro x ∈ (0, pi), y ∈ R : y = cotgx ⇔ x = arccotgy
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 27 / 29
Elementární funkce
Definice.
1 Základní elementární funkce: konstantní, identita, odmocnina řádu
n ∈ N, exponenciála, logaritmus, sinus, arkussinus, tangens,
arkustangens.
2 Elementární funkce jsou všechny funkce, které jsou vytvořeny ze
základních elementárních funkcí pomocí algebraických operací a
operace skládání.
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 28 / 29
Rovnost dvou funkcí
Definice.
Rovnost dvou funkcí f a g znamená rovnost jejich grafů, tj. f ≡ g (čteme:
funkce f je rovna funkci g), právě když D(f ) = D(g) = D a pro všechny
body x ∈ D je f (x) = g(x).
Příklad.
1 Funkce f a g jsou dány funkčními předpisy f : y = x
2+2x
x ,g : y = x + 2. Pak f negationslash≡ g, protože
D(f ) = (−∞,0) ∪ (0,∞) negationslash= (−∞,∞) = D(g), přestože pro každé
x ∈ D(f ), tj. každé x negationslash= 0, platí
f (x) = x2+2xx = x(x+2)x = x + 2 = g(x).
2 Pro funkce f : y =
√2x + 1−√x, g : y = x+1
√2x+1+√x je f ≡ g,
vzhledem k tomu, že D(f ) = D(g) = 〈0,∞) (ověřte!) a pro každé
x ∈ 〈0,∞) platí f (x) = √2x + 1−√x =
(√2x + 1−√x)
√2x+1+√x
√2x+1+√x = (2x+1)−x√2x+1+√x = x+1√2x+1+√x = g(x).
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 29 / 29