přednáška 1

ční obor funkce f množinu všech
x, pro která má pravá strana rovnice y = f (x) smysl.
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 9 / 29
Graf funkce, funkční předpis, funkční hodnota
Definice.
Dána funkce
f : x mapsto→ y.
Množina všech uspořádaných dvojic bodů {[x,f (x)]|x ∈ D(f )}
zobrazených v rovině R2 = R×R s kartézskou soustavou souřadnic se
nazývá graf funkce f . (Pod pojmem kartézská soustava souřadnic
rozumíme soustavu souřadnic v rovině R2 s osami souřadnic na sebe
kolmými a se stejnými jednotkami na obou osách.) Pravidlo, pomocí něhož
každému x ∈ D(f ) přiřazujeme y ∈ H(f ) se nazývá funkční předpis
funkce f . Pro dané číslo x ∈ D(f ) se číslo f (x) nazývá funkční hodnota
funkce f v bodě x.
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 10 / 29
Vytvoření nové funkce pomocí algebraických operací
Definice.
Nechť f , g jsou dvě funkce takové, že D = D(f ) ∩D(g) negationslash= ∅. Pak
definujeme:
1 součet funkcí: (f + g) : y = f (x) + g(x), x ∈ D;
2 rozdíl funkcí: (f −g) : y = f (x) −g(x), x ∈ D;
3 součin funkcí: (f g) : y = f (x)g(x), x ∈ D;
speciálně: (c f ) : y = c f (x), x ∈ D(f ) (c ∈ R konstanta);
4 podíl funkcí:
parenleftbigf /gparenrightbig : y = f (x)/g(x), x ∈ D ∩{x ; g(x) negationslash= 0}.
Příklad.
1 Funkce f : y = x2 je součinem f = Id Id.
2 Funkce f : y =
3 + x
x2 −1 je f =
K3 + Id
Id Id −K1.
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 11 / 29
Složená funkce
Definice.
Pro dvě funkce f , g definujeme složenou funkci (g ◦f ), nebo přesněji
funkci f složenou s funkcí g, takto:
(g ◦f ) : y = g(f (x)), x ∈ D(g ◦f ) = {x ∈ D(f ); f (x) ∈ D(g)}.
Příklad.
Dány funkce f : y = x2 −4, g : y = √x.
Pak D(f ) = (−∞,∞), D(g) = 〈0,∞) a
1
(g ◦f )(x) =
radicalbig
x2 −4, D(g ◦f ) = (−∞,−2〉∪〈2,∞),
2
(f ◦g)(x) = (√x)2 −4 = x −4, D(f ◦g) = 〈0,∞).
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 12 / 29
Funkce kvadratická
M2 : y = x2, x ∈ R, y ∈ 〈0,∞)
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 13 / 29
Funkce kubická
M3 : y = x3, x ∈ R, y ∈ R
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 14 / 29
Funkce absolutní hodnota
Abs : y = |x| :=
√
x2, x ∈ R, y ∈ 〈0,∞)
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 15 / 29
Funkce kosinus
cos : y = cosx := sinparenleftbigpi2 −xparenrightbig, x ∈ R, y ∈ 〈−1,1〉
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 16 / 29
Funkce tangens
tg : y = tgx := sinxcosx , x negationslash= (2k + 1)pi2 , k ∈ Z, y ∈ R
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 17 / 29
Funkce kotangens
cotg : y = cotgx := cosxsinx , x negationslash= kpi, k ∈ Z, y ∈ R
Petr Gurka (katedra matematiky) 1. Reálná funkce reálné proměnné 5. 10. 2006 18 / 29
Definice. (Inverzní funkce)
Nechť f je prostá funkce na svém definičním oboru D(f )
(tj. pro všechny x1,x2 ∈ D(f ) platí
je-li x1 negationslash= x2 p