referat modul pruznosti

Úkol měření
1. Určete modul pružnosti v tahu přímou metodou pro dva vzorky různých materiálů a výsledky porovnejte s tabulkovými hodnotami.
2. Z naměřených hodnot určete chybu měření.
Obecná část
Při napínání drátu, nebo tyče délky l a průřezu S do meze úměrnosti materiálu silou F ve směru jeho osy, pak je jeho prodloužení přímo úměrné délce l, síle F a nepřímo úměrné S. Pro prodloužení platí:
(v2.1)
Konstantu k nahradíme převrácenou hodnotou:
(v2.2)
Konstanta E se nazývá modul pružnosti v tahu. Vyjadřuje pružnost materiálu při namáhání v tahu. Číselná hodnota E odpovídá velikosti napětí, které by způsobilo prodloužení na dvojnásobek původní délky. Normálové napětí σ je definováno jako síla F působící kolmo na jednotku plochy S tedy:
(v2.3)
Pro relativní prodloužení ε platí:
(v2.4)
Po dosazení rovnic v2.1-3 do v2.4 dostaneme:
(v2.5)
Rovnice v2.5 vyjadřuje Hookův zákon a říká, že relativní prodloužení je přímo úměrné normálovému napění σ pokud namáhání nepřekročí mez úměrnosti.
Pro stanovení modulu pružnosti v tahu E použijeme rovnici:
(v2.6)
Výslednou dálku drátu l’ při normálovém napětí σ vypočítáme pomocí modulu pružnosti:
(v2.7)
Při měření dojde jen k malému prodloužení měřeného vzorku, proto použijeme zrcátkovou metodu. Měřený drát o délce l a průměru d je napínán závažím o hmotnosti m, zavěšeným na konci páky P o délce q. Vzdálenost osy otáčení O od uchycení drátu je p. Na ose otáčení O je umístěno zrcátko Z, ve kterém se odráží stupnice S. Stupnici odráženou v zrcátku pozorujeme dalekohledem D. Přidání závaží na konec páky P způsobí nárůst tíhové síly G=m.g, kde g je tíhové zrychlení, a ta způsobí prodloužení drátu o Δl a v důsledku pootočení páky o úhel φ. Pootočení zrcátka Z se projeví v  tím, že místo dílku, který byl při nezatížené páce ve středu nitkového kříže dalekohledu, se posune do středu kříže dílek n. Jestliže prodloužení Δl je značně menší než délka vzorku l a vzdálenost stupnice od zrcátka a, pak pro určení úhlu φ použijeme rovnici:
(v2.8)
Kde . Pro úhel φ, o který se páka pootočí platí:
(v2.9)
Po dosazení v2.9 do v2.4 dostaneme:
(v2.10)
Dále platí tyto vztahy:
a
(v2.11)
Dosadíme-li v2.11 do v2.6 dostaneme pro modul pružnosti E:
(v2.12)
Pro zpracování výsledků měření zvolíme skupinovou metodu a do v2.12 dosadíme součet všech zatížení a součet všech prodloužení . Dostaneme:
(v2.13)
Počáteční délku změříme při základním zatížení. Dalekohled nastavíme tak, aby byla ostře vidět stupnice i nitkový kříž. Podle materiálu a jeho průměru volíme velikost závaží. Postupně přikládáme pět závaží k základnímu zatížení, potom postupně ubíráme zpět až k základnímu zatížení.
Schéma měření
Postup měření
Změříme délku drátu kovovým měřítkem při základním zatížení s přesností na milimetry.
Posuvkou změříme (několikrát a co nejpřesněji) délku páky a vzdálenost upevnění drátu na páce od osy otáčení .
Změříme (alespoň 15krát) průměr drátu mikrometrem na různých místech, abychom si ověřili konstantní průměr.
Podle materiálu a průměru drátu zvolíme velikost závaží. Pro slabší ocelový drát a pro drát z bronzu volíme sadu půlkilových závaží. Pro silnější ocelový drát volíme sadu kilových závaží.
Čteme nunovou polohu a další výchylky pro různá zatížení, postupující po jednotlivých závažích EMBED Equation.2 , do nejvyššího zatížení a zase zpět do úplného odlehčení drátu (až na původní závaží, kterému přísluší nulové hodnovy a a které do součtu nepočítáme).
Modul pružnosti vypočteme podle vzorce .
Tabulky, zpracování výsledků měření
Počítání pravděpodobných chyb
Pravděpodobná chyba:
Pravděpodobná chyba modulu pružnosti E:
Bronz
počet závaží
G[N]
ni' [cm]
ni'' [cm]
ni [cm]
ni=ni-n0 [cm]
0
0
26,0
26,0
26
0
1
9,81
27,5
27,0
27,25
1,25
2
19,62
28,9
29,0
28,95
2,95
3
29,43
30,2
30,3
30,25
4,25
4
39,24
31,6
31,6
31,6
5,6
5
49,05
32,8
32,8
32,8
6,8
[N]147,15 EMBED Equation.3 [m]0,2085 EMBED Equation.3 [m]0,026
d[mm]q[mm]p[mm]l[mm]a[mm]0,55100,351,2985,010900,52100,751,1985,010900,53100,951,3985,010900,55100,251,2985,010900,54100,651,2985,010900,53100,451,2985,010900,54100,751,1985,010900,54100,551,3985,010900,53100,450,9985,010900,55100,651985,010900,56100,451,1985,010900,54100,350,9985,010900,53100,951,3985,010900,55100,451985,010900,54
100,1
50,9
985,0
1090
Aritmetické průměry [m]
0,00054
0,100493333
0,051113333
0,985
1,09
[m]
0,0000018
0,0000409
0,0000251
0,01
0,01
Modul pružnosti v tahu [MPa]
[MPa]
254,5*103
4,1*103
Ocel
počet závaží
G[N]
ni' [cm]
ni'' [cm]
ni [cm]
ni=ni-n0 [cm]
0
0
30,5
30,5
30,5
0
1
4,905
31,8
31,4
31,6
1,1
2
9,81
32,6
32,7
32,65
2,15
3
14,715
33,3
33,4
33,35
2,85
4
19,62
34,0
34,0
34
3,5
5
24,525
34,6
34,6
34,6
4,1
[N]
73,575 EMBED Equation.3 [m]0,137 EMBED Equation.3 [m]0,014
d[mm]q[mm]p[mm]l[mm]a[mm]0,52100,351,2990,010700,53100,751,1990,010700,51100,951,3990,010700,53100,251,2990,010700,5100,651,2990,010700,52100,451,2990,010700,525100,751,1990,010700,52100,551,3990,010700,51100,450,9990,010700,52100,651990,010700,53100,451,1990,010700,53100,350,9990,010700,52100,951,3990,010700,515100,451990,010700,52100,150,9
990,0
1070
Aritmetické průměry [m]
0,00052
0,100493333
0,051113333
0,99
1,07
[m]
0,00000149
0,00004087
0,00002509
0,01
0,01
Modul pružnosti v tahu [MPa]
[MPa]
206,1*103
3,2*103

Závěr
Tabulkové hodnoty modulu pružnosti pro bronz a pro
ocel . Vypočtené hodnoty bronzu E=(254,5±4,1)*103 MPa a oceli E=(206,1±3,2)*103 MPa. Vypočtená hodnota pro bronz se značně liší od tabulkové hodnoty, což je způsobeno především nečekanou obtížností měření pomocí dalekohledu, kde mohlo dojít k velkým chybám.Vypočtená hodnota pro ocel odpovídá tabulkové hodnotě. Chyby jsou dány nepřesným měřením délky drátu, vzdálenosti dalekohledu od zrcátka, rozměrů páky a taktéž již zmíněnému problematickému odečítání ze stupnice odrážené v zrcátku pomocí dalekohledu, které nám činilo velké problémy.
Kontrolní otázky
Jak zní Hookův zákon? . Relativní prodl