referat bolzmanova konstatnta

1) Úkol měření
Určete Boltzmannovu konstantu pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu.
Pomocí vztahu pro popis voltampérové charakteristiky PN přechodu a naměřených hodnot vyneste do grafu pro tři různé pracovní teploty vypočtené voltampérové charakteristiky měřeného přechodu.
Určete chybu měření Boltzmannovy konstanty a porovnejte výsledek s tabulkovou hodnotou.
2) Obecná část
Ke stanovení Boltzmannovy konstanty použijeme specifických vlastností polovodičů. Polovodiče jsou pevné krystalické látky, jejichž elektrickou vodivost lze výrazně ovlivnit vnějšími účinky. Šířka zakázaného pásu je u nich menší než
2 eV a při nízkých teplotách je jejich elektrická vodivost téměř nulová, ale při pokojových teplotách má však část elektronů valenčního pásu vlivem tepelného pohybu dostatečně velkou kynetickou energii, aby mohla překonat zakázaný pás a dostat se do vodivostního pásu, v němž se stávájí nositeli elektrického proudu, je-li v látce elektrické pole.
Polovodiče můžeme dělit například podle vodivosti. Vlastní polovodiče byly poposány výše. U nevlastních polovodičů se zvýšení elektrické vodivosti dosahuje uměle přimísením cizích prvků (např. do krystalu křemíku přidáme arzén).
PN přechod
Při styku dvou polovodičů typu P a typu N dochází k difůzi elektronů z polovodiče N do P. Difůze probíhá, dokud se nevyrovnají Fermiho hladiny obou typů polovodičů. Difůze elektronů způsobí vznik povrchové vrstvy nevykompenzovaného náboje iontů, v polovodiči vznikne prostorový náboj, který vytvoří ele. pole (potenciálovou bariéru) a zabrání difůzi dalších elektronů. Vzniklá oblast má podstatně větší elektrický odpor než zbytek polovodiče. Jakmile připojíme na PN přechod vnější ele. napětí, můžeme očekávat, že se prakticky celé „soustředí“ na tuto přechodovou oblast. V případě, že má polaritu shodnou s polaritou potenciálové bariéry, jsou elektrony a díry vytlačovány více od PN přechodu k okrajům. Šířka oblasti zvětšeného odporu se tak zvětší a ele. odpor vzroste. Tomuto případu říkáme nepropustný směr. Vnější pole s opačnou polaritou zeslabuje pole potenciálové bariéry a po dosažení určité hodnoty ho úplně vykompenzuje. Volné nosiče náboje tedy vyplní oblast PN přechodu, takže jeho odpor klesne na úroveň ostatních oblastí polovodiče. Při takové polaritě je PN přechod polarizován v propustném směru.
Nyní si uvedeme vztah pro proud diodou za použití určitých zjednodušujících předpokladů. Tyto předpoklady včetně odvození jsou vysvětleny v literatuře uvedené na konci této zprávy a zájemce na ni tímto odkazuji.
kde I0 je závěrný proud PN přechodu, e je náboj elektronu, U je napětí vnějšího zdroje, k je Boltzmannova konstanta a T je absolutní teplota.
3) Postup měření
K měření Boltzmannovy konstanty použijeme vztahu pro voltampérovou charakteristiku PN přechodu. Zlogaritmováním tohoto vztahu získáme
Tato rovnice představuje rovnici přímky v případě, že přirozený logaritmus proudu chápeme jako funkční hodnotu lineární funkce eU/kT+ln I0, ln I0 představuje konstantu a s=e/kT směrnici této přímky. Známe-li směrnici s přímky a teplotu, ke které se vztahuje, pak snadno můžeme určit vlastní Boltzmannovu konstantu k=e/kT. K tomu, abychom mohli stanovit směrnici přímky, je nutné změřit voltampérovou charakteristiku PN přechodu při dané teplotě T. Samotné měření je možno uskutečnit takto :
Pro měření voltampérové charakteristiky je možné použít tranzistoru v zapojení se společnou bází. Při malém úbytku napětí na použitém ampérmetru je napětí mezi kolektorem a bází 0. Pak zbytkový proud IKB0 = 0 a pro kolektorový proud IK lze psát
,
kde je zesilovací činitel a IE je emitorový proud. V případě, že je splněna podmínka , pak IK = IE.. Emitorový proud tedy prochází měřeným PN přechodem báze-emitor, avšak z oblasti báze pokračuje dále do kolektoru, kde je měřen. Ampérmetr tak není zapojen v sérii s měřeným přechodem a neovlivňuje napětí naměřené na přechodu.


Vlastní postup měření :
Měření provedeme pro tři různé teploty PN přechodu, které budou od sebe dostatečně vzdáleny, např. , ation.2 , . Zvolené pracovní teploty PN přechodu budou zajištěny pomocí tepelných lázní, do kterých bude měřený PN přechod vložen.
Zapojíme měřený PN přechod podle příslušného schématu a vložíme do teplotní lázně.
Po vyrovnání teploty mezi lázní a použitým PN přechodem odečteme pomocí teploměru teplotu lázně a započneme s vlastním měřením voltampérové charakteristiky. Na konci měření opět odečteme teplotu lázně a z obou teplot určíme aritmetický průměr.
Naměřené hodnoty zpracujeme pomocí metody nejmenších čtverců a z nalezené směrnice S přímky určíme hodnotu Boltzmannovy konstanty k.
Měření opakujeme stejným způsobem pro další dvě teploty.
Ze získaných tří hodnot Boltzmannovy konstanty stanovíme aritmetický průměr, který porovnáme s tabulkovou hodnotou.
Vyneseme do grafu průběhy voltampérových charakteristik měřeného PN přechodu pro všechny tři použité pracovní teploty přechodu a navzájem je porovnáme.
4) Naměřené a vypočtené hodnoty
Ui [mV]
Ii [mA]
422
0.054
436
0.093
460
0.238
471
0.375
483
0.602
509
1.685
524
2.97
528
3.53
538
5.15
549
7.92
553
9.01
558
10.82
564
13.82
569
16.59
587
24.30
t [o C]
17.75

Vypočtené hodnoty
I0 = 5.271E-12 A
k = 1.436E-23 J/K
Pravděpodobné chyby
I0 = 8.4E-13 A
k = 1.2E-25 J/K
Ui [mV]
Ii [mA]
411
0.08
426
0.14
449
0.35
464
0.62
475
0.95
478
1.09
485
1.41
494
1.96
495
2.10
499
2.40
503
2.80
511
3.81
521
5.57
530
7.76
541
11.75
556
17.58
560
23.1
t [o C]
25.875
Vypočtené hodnoty
I0 = 1.445E-11 A
k = 1.415E-23 J/K
Pravděpodobné chyby
I0 = 1.4E-12 A
k = 7.0E-26 J/K
Ui [mV]
Ii [mA]
342
0.087
364
0.19
386
0.417
394
0.557
406
0.844
415
1.15
424
1.60
433
2.21
436
2.43
443
3.20
456
4.98
465
6.85
473
8.78
486
13.55
493
16.85
497
19.7
502
23.4
t [o C]
50.75
Vypočtené hodnoty
I0 = 5.843E-10 A
k = 1.417E-23 J/K
Pravděpodobné chyby
I0 = 2.3E-11 A
k = 3.7E-26 J/K
Použité vztahy:
Všechny výpočty byli provedeny pomocí internetového rozhraní Herodes.
5) Zhodnocení vypočtených hodnot
Velikost Boltzmannovy konstanty vypočtená z jednotlivých měření:
k1 = (1.436 ± 0,010) ·10-23 J/K
k2 = (1.415 ± 0,007) ·10-23 J/K
k3 = (1.417 ± 0,004) ·10-23 J/K
Boltzmannova konstanta je aritmetický průměr těchto hodnot.
k = (1,423 ± 0,007)·10-23 J/K
Tabulková hodnota: k = 1,380.10-23 J.K-1
Naše výpočtená hodnota se od tabulkové liší o 3% a proto lze naše měření považovat za přesné. Dalšího zpřesnění naší hodnoty bychom dosáhli dalším opakovaním experimentu pro jiné teploty. Kdybychom také dokázali udržet konstatní teplotu po celou dobu měření, což bylo v daných podmínkách nemožné, naměřili bychom ještě přesnější hodnoty.
Zbytkové proudy PN přechodem jsou:
T = 17.75°C, I0 = (5.271 ± 0.008) ·10-11 A
T = 25.88°C, I0 = (1.445 ± 0.014) ·10-11 A
T = 50.75°C, I0 = (5.843 ± 0.230) ·10-10 A
6) Kontrolní otázky
1. Co je to vlastní a nevlastní polovodič ?
Vlastní polovodič je takový polovodič, který neobsahuje ve své krystalické mřížce žádné cizí dotující atomy. Naopak nevlastní polovodič obsahuje dotující atomy. Nevlastní polovodiče dělíme na polovodiče typu N a polovodiče typu P. U polovodičů typu N se jako příměsi používají prvky z páté skupiny periodické tabulky prvků (míníme tím příměsi pro polovodič založený na bázi křemíku, nebo germania), které mají oproti křemíku o jeden elektron navíc. Naopak u polovodičů typu P se jako příměsi používají prvky z třetí skupiny, které mají pouze tři valenční elektrony.
2. Jaký je vztah mezi Avogadrovým číslem, univerzální plynovou konst. a Boltzmannovoukonstantou?
kde k - Boltzmannova konstanta
R - univerzální plynová konstanta
NA - Avogadrova konstanta
3. Co je to Fermiho hladina?
Hladinu Fermiho energie lze určit na základě vztahu:
ze kterého je patrné, že hladina Fermiho energie se pro vlastní polovodiče nachází při
teplotě 0K uprostřed zakázaného pásu. Přičemž
EV - horní hladina valenčního pásu
EC - dolní hladina vodivostního pásu
mp* - efektivní hmotnost děr
mn* - efektivní hmotnost elektronů
k - Boltzmannova konstanta
T - termodynamická teplota
4. Co je to závěrný proud PN přechodu?
Mějme PN přechod polarizovaný v závěrném směru. Na první pohled se může zdát, že čím větší je závěrné napětí, tím menší proud může PN přechodem protékat. Je tomu skutečně tak, pokud máme na mysli jen elektrony v oblasti N a díry v oblasti P, tj. majoritní nosiče náboje. V polovodiči typu N je však vždy přítomná i určitá koncentrace volných děr a naopak, v polovodiči typu P určitá koncentrace volných elektronů. Tyto minoritní nosiče náboje se v oblasti PN přechodu chovají opačně než nosiče majoritní. Jakmile je pro majoritní nosiče přechod polarizovaný v nepropustném (závěrném) směru, je pro ně uzavřený, avšak pro minoritní nosiče je naopak úplně otevřený. Už při poměrně malém závěrném napětí přecházejí všechny minoritní nosiče přes PN přechod a vytváří v něm určitý nasycený závěrný proud. Přičemž závěrný proud závisí na fyzikálních a technologických konstantách.
5. Závisí koncentrace volných nosičů náboje u vlastních polovodičů na teplotě?
Ano, závisí. Volné nosiče náboje jsou generovány působením různých forem energií
(tepelné, světelné). Při teplotě absolutní nuly jsou všechny elektrony vázány ke svým
atomům, vodivostní pás neobsahuje tudíž volné elektrony a polovodič se chová jako
ideální izolant. Při vyšších teplotách mohou některé valenční elektrony získat
dostatečnou energii pro uvolnění z vazby a stanou se volnými nosiči náboje a přemístí
se do vodivostního pásu.
7) Literatura
Fyzika I. a II. - Fyzikální praktikum, Michal Bednařík a kol., ČVUT 1999
IK
IE

+
IB

Stanovení Boltzmannovy konstanty pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu
Úkol měření
Určete Boltzmannovu konstantu pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu.
Určete závěrný proud PN přechodu pro tři různé teploty.
Pomocí vztahu pro popis voltampérové charakteristiky PN přechodu a naměřených hodnot vyneste do grafu vyneste do grafu pro tři různé pracovní teploty vypočtené voltampérové charakteristiky měřeného přechodu.
Určete chybu měřené Boltzmannovy konstanty a porovnejte výsledek s tabulkovou hodnotou.
Obecná část
Polovodiče jsou látky, jejichž vlastnosti výrazně závisí na teplotě. Polovodiče jsou buď vlastní nebo nevlastní (viz. 1. kontrolní otázka). Při popisu dějů v nevlastních polovodičích se vyžívá aproximace téměř volného elektronu. Z této aproximace vyplívá, že kinetická energie téměř volného elektronu v závislosti na vlnovém čísle k je
,(1)
kde m* je efektivní hmotnost elektronu a a h je Planckova konstanta..
Pro vlastní polovodiče, platí následující vztah, který udává koncentraci téměř volných elektronů a děr.
,(2)
kde k je Boltzmannova konstanta, T absolutní teplota mx* jsou efektivní hmotnosti elektronů resp. děr.
U nevlastních polovodičů je dána ionizační energie potřebná k uvolnění elektronu jež se nachází v základním stavu přibližně takto
,(3)
kde (0 je permitivita vakua, ( je dielektrická konstanta a me je hmotnost elektronu. Z nauky o materiálech je známo, že měrná elektrická vodivost polovodičů je dána vztahem
,(4)
kde (x je relaxační doba elektronů resp. děr. Pro hustotu elektronového proudu platí vztah
(5)
pro proudovou hustotu děr platí analogický vztah.. Da je koeficient difůze elektronů.
Z Maxwellovy-Boltzmannovy rozdělovací funkce vyplývá
(6)
Spojíme-li nevlastní polovodiče typu P a typu A, vznikne tzv. PN přechod. Tento přechod má zajímavé vlastnosti. V důsledku difůze nosičů náboje z jednoho typu polovodiče do druhého vzniká na přechodu potenciálová bariéra. Je-li PN přechod v elektrickém poli, pak v závislosti na orientaci pole se bariéra buď sníží nebo zvýší. Pak může nebo nemůže protékat přes PN přechod proud.
Proudová hustota proudu přes přechod je
,(7)
a rozložení koncentrace elektronů v oblasti P lze vyjádřit rovnicí
,(8)
kde veličina La = ((uakTta)/e)1/2, ve které ta značí dobu života elektronu. Řešením této rovnice s ohledem na hraniční podmínky dostaneme funkci
,(9)
podle níž platí pro hustotu elektronového proudu v bodě x = xp.
(10)
Podobný vztah dostaneme i pro díry, takže celkový proud přes PN přechod je dán
(11)
Výraz v první závorce představuje závěrný proud (U(-(). Integrací vztahu přes plochu protékanou proudem dostaneme celkový proud PN přechodem
(12)
Tento vztah se dá ještě zjednodušit, když si uvědomíme, že I0 je velmi malé.
on.3 (13)
Postup měření
Úvod
K měření Boltzmannovy konstanty použijeme vztahu pro voltampérovou charakteristiku PN přechodu (13). Zlogaritmováním tohoto vztahu dostaneme :
(14)
Tato rovnice představuje rovnici přímky v případě, že přirozený logaritmus proudu lnI chápeme jako funkční hodnotu lineární funkce eU/kT+lnI0, lnI0 představuje konstantu a s=e/kT směrnici této přímky. Známe-li směrnici přímky a teplotu, ke které se vztahuje, pak snadno můžeme určit Boltzmannovu konstantu k=e/Ts. K tomu, abychom mohli stanovit směrnici přímky, je nutné změřit VA charakteristiku PN přechodu při dané teplotě T. Samotné měření je možné uskutečnit dvěma způsoby (s pomocí tranzistoru nebo diody). My použijeme tranzistor.
Vlastní postup měření
Měření provedeme pro tři různé teploty PN přechodu, které budou od sebe dostatečně vzdáleny. Zvolené pracovní teploty PN přechodu budou zajištěny pomocí tepelných lázní, do kterých bude měřený PN přechod vložen.
Zapojíme měřený PN přechod podle příslušného schématu a vložíme do teplotní lázně.
Na napájecím zdroji nastavíme hrubé napětí 30 V a mezní proud na 0,2 mA.
Po vyrovnání teploty mezi použitým PN přechodem a teplotní lázní odečteme pomocí teploměru teplotu lázně a započneme s vlastním měřením VA charakteristiky. Na konci měření opět odečteme teplotu lázně a z obou teplot určíme aritmetický průměr.
Po ukončení měření vyprázdníme Dewarovu nádobu.
Naměřené hodnoty zpracujeme pomocí metody nejmenších čtverců a z nalezené směrnice s přímky (14) určíme hodnotu Boltzmannovy konstanty k. Rovněž pomocí této metody určíme hodnotu závěrného proudu I0.
Měření opakujeme stejným způsobem pro další dvě teploty.
Ze získaných tří hodnot Boltzmannovy konstanty stanovíme aritmetický průměr, který porovnáme s tabulkovou hodnotou.
Pomocí vztahu (1.1) a naměřených veličin zaneseme do grafu průběhy VA charakteristik měřeného PN přechodu pro všechny tři použité pracovní teploty přechodu a navzájem je porovnáme.
Schéma zapojení
obrázek 1 - schéma zapojení obvodu pro měření voltampérové charakteristiky PN přechodu
Seznam použitých přístrojů a pomůcek
Ampérmetr, voltmetr, tranzistor, teploměr, teplotní lázně.
Tabulky naměřených hodnot a zpracování výsledků
Tabulky naměřených a spočtených hodnot
Příklad výpočtu
Zlogaritmováním vztahu (13) dostaneme
,
kde a = e/kT. Konstanty a, b lze vypočítat z naměřených hodnot metodou nejmenších čtverců.
Pravděpodobné chyby takto vypočtených parametrů jsou
Boltzmannovu konstantu pak vypočteme takto
 
a zbytkový proud I0 takto
Zhodnocení výsledku měření
Zjištěné hodnoty:
Velikost Boltzmannovy konstanty vypočtená z jednotlivých měření:
k1 = (1,412 ± 0,007)·10-23 J/K
k2 = (1,484 ± 0,021)·10-23 J/K
k3 = (1,391 ± 0,011)·10-23 J/K
Boltzmannova konstanta je aritmetický průměr těchto hodnot.
k = (1,429 ± 0,013)·10-23 J/K
Boltzmannova konstanta nám vyšla větší než v tabulkách a to ve všech případech. To je pravděpodobně způsobeno nějakou systematickou chybou.
Zbytkové proudy PN přechodem jsou:
T = 18°C, I0 = (2,32 ± 0,16) pA
T = 27,75°C, I0 = (31,5 ± 6,9) pA
T = 44°C, I0 = (98,6 ± 9,5) pA
Měření odpovídá teoretickým předpokladům.
Kontrolní otázky:
Co je to vlastní a nevlastní polovodič?Vlastní polovodič je látka, která má šířku zakázaného pásu mezi valenčním a vodivostním pásem okolo 2 eV. Nevlastní polovodič je vyroben z vlastního přidáním příměsí atomů s jiným počtem valenčních elektronů.
Jaký je vztah mezi Avogadrovým číslem, univerzální plynovou konstantou a Boltzmannovou konstantou?k=Rm/NA
Co je to Fermiho hladina?Nejvyšší energetická hladina obsazená elektrony při teplotě 0 K.
Co je to závěrný proud PN přechodu?Proud tvořený minoritními nosiči náboje.
Závisí koncentrace volných nosičů náboje na teplotě?Ano.
Seznam prostudované literatury
Bednařík, Koníček, Jiříček: FYZIKA I A II Fyzikální praktikum; ČVUT 1999
LABORATORNÍ ÚLOHA č.1Jméno Příjmení
- 1 -



Úkol měření
Určete Boltzmannovu konstantu pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu.
Určete závěrný proud PN přechodu pro tři různé teploty.
3. Pomocí vztahu pro popis voltampérové charakteristiky PN přechodu a naměřených hodnot vyneste do grafu pro tři různé pracovní teploty vypočtené voltampérové charakteristiky měřeného přechodu.
Určete chybu měření Boltzmannovy konstanty a porovnejte výsledek s tabulkovou hodnotou.
Obecná část
Ke stanovení Boltzmannovy konstanty bude využito specifických vlastností polovodičů. Polovodiče jsou krystalické látky, jejichž vodivost lze významně ovlivnit vnějšími účinky - teplotou, zářením atd. Šířka zakázaného pásu polovodičů je menší než 2eV a při nízkých teplotách jsou prakticky nevodivé. Při pokojových teplotách však důsledkem tepelného pohybu získávají elektrony dostatečně velkou kinetickou energii a postupně jich přechází více a více do vodivostního pásu.
Dotací vlastních polovodičů dalšími prvky (III. A nebo V. A skupiny) lze dosáhnout posunutí Fermiho hladiny (energie, při níž je pravděpodobnost přeskoku elektronu z valenčního do vodivostního pásu právě padesátiprocentní) směrem k vodivostnímu (polovodič N) nebo valenčnímu pásu (polovodič P).
Při styku těchto dvou typů polovodičů dochází k difúzi elektronů z polovodiče N do polovodiče P, a to tak dlouho, dokud se na přechodu nevytvoří potenciálová bariéra, která brání průchodu dalších volných elektronů. Vzniklý přechod obsahuje podstatně méně volných nosičů náboje, a tudíž má i mnohem větší odpor, než zbytek polovodiče. Přiložíme-li na PN přechod vnější elektrické napětí, lze očekávat, že se prakticky celé objeví na přechodové oblasti.
Má-li napětí shodnou polaritu s polaritou pole uvnitř přechodu, poteče přechodem jen velmi malý proud. Jedná se o nepropustný – závěrný směr. Má-li však napětí polaritu opačnou, snaží se vykompenzovat elektrické pole uvnitř přechodu až do okamžiku, kdy se obě pole navzájem úplně vykompenzují. Při tomto a jakémkoliv vyšším napětí přechod vymizí a celý polovodič vede elektrický proud – propustný směr.
Při hledání proudu, který teče přechodem vyjdeme z následujících zjednodušených předpokladů:
Uvnitř PN přechodu nosiče náboje vzájemně nerekombinují, proto celkovou hustotu proudu přes PN přechod lze vyjádřit vztahem j = ja(xp) + jp(xn).
V oblasti x < xn a x > xp je už elektrické pole poměrně slabé, protože vzhledem na podstatně větší odpor PN přechodu se celé vnější napětí soustředí na něm.
Polarita pole Ek je taková, že proud U < (, znemožňuje přechodu nosičů náboje přes PN přechod, proto prakticky celý proud přes PN přechod je tvořen jen elektrony z oblasti P a dírami z oblasti N.
Za těchto podmínek lze odvodit Shockleyovu rovnici ve tvaru
,
kde I0 je proud přechodem při U(-(.
Vezmeme-li v úvahu, že proud I0 je značné malý, lze rovnici ještě dále zjednodušit
,
kde e je náboj elektronu, U napětí na PN přechodu, k Boltzmannova konstanta a T termodynamická teplota.
Postup měření:
K měření Boltzmannovy konstanty použijeme vztahu pro voltampérovou charakteristiku PN přechodu. Jeho zlogaritmováním dostaneme :
(14)
Tato rovnice představuje rovnici přímky v případě, že přirozený logaritmus proudu lnI chápeme jako funkční hodnotu lineární funkce eU/kT+lnIo, lnIo představuje konstantu a s=e/kT směrnici této přímky. Známe-li směrnici přímky a teplotu, ke které se vztahuje, pak snadno můžeme určit Boltzmannovu konstantu k=e/Ts. K tomu, abychom mohli stanovit směrnici přímky, je nutné změřit VA charakteristiku PN přechodu při dané teplotě T. Samotné měření je možné uskutečnit dvěma způsoby :
Měření VA charakteristiky je možné provést přímo na zvolené diodě. K měření napětí U na diodě je nutno použít voltmetru s