referat bolzmanova konstatnta

 dostatečně velikým vnitřním odporem.
Další z možností jak měřit VA charakteristiku je použití tranzistoru v zapojení se společnou bází, viz. obrázek. Při malém úbytku napětí na použitém ampérmetru je napětí mezi kolektorem a bází UKB = 0. Pak zbytkový proud IKB0 = 0 a pro kolektorový proud Ik lze psát
kde je zesilovací činitel a IE je emitorový proud. V případě, že je splněna podmínka je mnohem větší než 1, pak IK= IE. Emitorový proud tedy prochází měřeným PN přechodem báze-emitor, avšak z oblasti báze pokračuje dále do kolektoru, kde je měřen. Ampérmetr tak není zapojen v sérii s měřeným přechodem a neovlivňuje napětí naměřené na přechodu.
Vlastní postup měření :
Měření provedeme pro tři různé teploty PN přechodu (tranzistoru), které budou od sebe dostatečně vzdáleny. Zvolené pracovní teploty PN přechodu budou zajištěny pomocí tepelných lázní, do kterých bude měřený PN přechod vložen.
Zapojíme měřený PN přechod podle příslušného schématu a vložíme do teplotní lázně.
Po vyrovnání teploty mezi použitým PN přechodem a teplotní lázní odečteme pomocí teploměru teplotu lázně a započneme s vlastním měřením VA charakteristiky. Na konci měření opět odečteme teplotu lázně a z obou teplot určíme aritmetický průměr.
Naměřené hodnoty zpracujeme pomocí metody nejmenších čtverců a z nalezené směrnice s přímky určíme hodnotu Boltzmannovy konstanty k. Rovněž pomocí této metody určíme hodnotu závěrného proudu Io.
Měření opakujeme stejným způsobem pro další dvě teploty
Ze získaných tří hodnot Boltzmannovy konstanty stanovíme aritmetický průměr, který porovnáme s tabulkovou hodnotou.
Pomocí vztahu (1.12) a naměřených veličin zaneseme do grafu průběhy VA charakteristik (i pro závěrný směr) měřeného PN přechodu pro všechny tři použité pracovní teploty přechodu a navzájem je porovnáme.
.
Naměřené hodnoty.
T1 = 298,15 K
T2 = 288,15 K
T3 = 313,15 K
U [V]
I [mA]
U [V]
I [mA]
U [V]
I [mA]
0,403
-3,394
0,070
0,432
0,070
0,366
0,424
-3,562
0,031
0,4120,3500,4100,446-3,7370,0690,4310,6500,4260,461-3,8560,1100,4430,9300,4360,473-3,9510,2110,4601,2600,4440,480-4,0060,4450,4781,7100,4560,491-4,0921,0400,5002,1500,4600,495-4,1241,9100,5163,0400,4680,502-4,1792,0400,5184,0500,4760,505-4,2022,7400,5254,8000,4810,510-4,2413,4000,5315,6500,4860,513-4,2644,1000,5356,3000,4890,517-4,2964,7900,5407,0800,4920,521-4,3275,1700,5417,6500,4950,524-4,3505,7300,5448,4700,4970,529-4,3896,5700,5489,2500,4990,532-4,4127,6800,55210,0600,5020,535-4,4368,2400,55411,3000,5050,538-4,4599,1100,55612,3100,5080,541-4,48210,4100,56013,4600,5100,553-4,57511,6700,56314,6200,5130,545-4,51312,4600,56515,3700,5140,548-4,53613,8300,56716,4800,5160,549-4,54415,7000,57117,7600,5190,552-4,56717,0000,57314,4000,5110,555-4,59018,9500,57619,9500,5220,556-4,59820,6000,57821,7000,5240,559-4,62122,9000,58123,3000,526
0,560
-4,629
24,800
0,584
Postup výpočtu :

Konstanty a a b vypočteme metodou nejmenších čtverců:

Chyby parametrů a a b určíme ze vztahů:
a a

kde S je:
Pro teplotu 15°C tak dostaneme:
t1A = 15 C
t1B = 15 C
U [V]
I [mA]
ln I [mA]
Ui-Upr
(Ui-Upr)ln I
(Ui-Upr)^2
(ln I)^2
U*ln I
0,402
0,07
-2,66
-0,126
0,335
1,586E-02
7,07
-1,07
0,417
0,08
-2,53
-0,111
0,280
1,231E-02
6,38
-1,05
0,432
0,1
-2,30
-0,096
0,221
9,203E-03
5,30
-0,99
0,4430,11-2,21-0,0850,1877,213E-034,87-0,980,460,21-1,56-0,0680,1064,615E-032,44-0,720,4780,44-0,82-0,0500,0412,493E-030,67-0,390,51,040,04-0,028-0,0017,801E-040,000,020,5161,910,65-0,012-0,0081,423E-040,420,330,5182,040,71-0,010-0,0079,863E-050,510,370,5252,741,01-0,003-0,0038,591E-061,020,530,5313,41,220,0030,0049,419E-061,500,650,5354,061,400,0070,0104,997E-051,960,750,544,791,570,0120,0191,457E-042,450,850,5415,171,640,0130,0211,708E-042,700,890,5445,731,750,0160,0282,582E-043,050,950,5486,571,880,0200,0384,028E-043,541,030,5527,682,040,0240,0495,793E-044,161,130,5548,242,110,0260,0556,796E-044,451,170,5569,112,210,0280,0627,879E-044,881,230,5610,412,340,0320,0751,028E-035,491,310,56311,672,460,0350,0861,230E-036,041,380,56512,462,520,0370,0941,374E-036,361,430,56713,832,630,0390,1031,526E-036,901,490,57115,742,760,0430,1191,855E-037,601,570,573172,830,0450,1282,031E-038,031,620,57618,952,940,0480,1412,311E-038,651,690,57820,63,030,0500,1512,507E-039,151,750,58122,93,130,0530,1662,816E-039,801,820,58424,83,210,0560,1803,144E-0310,311,88Prumer U [V]Prumer ln I [mA]Suma((Ui-Upr)ln I)Suma((Ui-Upr)^2)Suma((ln I)^2)Suma(U*ln I)0,5281,172,6807,562E-02135,7020,63Suma (ln I [mA])34,00Předpokládáme chybu teploty: ((T)=0,05 K
A=35,44 B= -17,54 S=0,1764 Sa=0,6416 Sb=0,3403
known
Vypočtená hodnota boltzmanova konstanta pro teplotu 15°C: k=(1,569(0,019).10-23 JK-1
Závěrný proud:
b=ln I


Výsledná hodnota I : I=(24,1(12,3) nA
Vypočtené hodnoty:
Použitím predchozích vztahů a postupů i pro další 2 teploty nakonec dostaneme:
T1 = 288,15 K ->k1 = (1,569 ( 0,019).10-23 J.K-1
I1 = (24,1 ( 12,3) nA
T2 = 298,15 K ->k2 = (1,424( 0,004).10-23 J.K-1
I2 = (16,32(0,85) nA
T3 = 313,15 K ->k3 = (1,418(0,003).10-23 J.K-1
I3 = (136,4(5,7) nA
Výsledná Boltzmannova konstanta je tedy:
k = ( 1,470 ( 0,020 ) . 10-23 JK-1
Zhodnocení:
Úlohu se nám podařilo odměřit. Výsledná hodnota Boltzmanovy konstanty k=( 1,470 ( 0,020 ).10-23 JK-1 se liší od tabulkové hodnoty (k = (1,380662 ( 0,000044).10-23 J.K-1) zhruba o 6 procent, což není mnoho.
I naměřené proudy PN přechodu polarizovaného v závěrném směru odpovídají řádově předpokladu:
I1 = (16,32 ( 12,3) nA T1=15°C
I2 = (24,1 ( 0,85) nA T2=25°C
I3 = (136,4 ( 5,7) nA T3=40°C
Měřením jsme potvrdili závislost odporu PN přechodu na teplotě – se vzrůstající teplotou odpor PN přechodu klesá díky generaci volných elektronů v oblasti N a děr v oblasti P. Se vzrůstající teplotou také roste závěrný proud přechodu.a snižuje se prahové napětí.
Odpovědi na kontrolní otázky:
1.Co je to vlastní a nevlastní polovodič?
Vlastní polovodič je polovodič zbavený veškerých nečistot. Za normálních teplot se chová jako izolant. Nevlastní polovodič vzniká dotací polovodiče vlastního atomy příměsí. Fermiho hladina se podle druhu užité příměsi posune směrem k valenčnímu (typ P - majoritní nosiče náboje díry ) či vodivostnímu ( typ N - majoritní nosiče náboje elektrony ) pásu.

2. Jaký je podle definice vztah mezi Avogadrovým číslem, univerzální plynovou konstantou a Boltzmannovou konstantou?
RN = k.NA (Boltzmannova konstanta vyjadřuje práci, kterou vykoná jeden mol plynu při izobarickém ohřevu o jeden kelvin.)
Co je to Fermiho hladina?
Fermiho hladina je myšlená energetická hladina jejíž pravděpodobnost obsazení je 50%.
Co je závěrný proud PN přechodu?
Závěrný proud PN přechodu je proud minoritnich nosičů náboje, který teče přechodem při závěrné polarizaci a polarizačním napětí blížícím se nekonečnu.
Závisí koncentrace volných nosičů náboje na teplotě?
Ano závisí. Jak bylo zmíněno již výše, se zvyšující se teplotou se dostává stále více a více elektronů z valenčního pásu do pásu vodivostního – koncentrace volných nosičů náboje se tak zvyšuje dle vztahů:

Seznam použitých přístrojů:
Číslicový ampérmetr, číslicový voltmetr, bipolární tranzistor, teploměr, teplotní lázně
Ivan Douša
www.sweb.cz/ivan.dousa
Ik

Ie



A

V

Ib



ČESKÉ VYSOKÉUČENÍ TECHNICKÉV PRAZE
KATEDRA FYZIKY
LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY
Jméno Jaroslav Vobr
Datum měření 22.10.2003
Stud. rok 2003/2004
Ročník 2
Datum odevzdání 5.11.2003
Stud. skupina 2/51
Lab. skupina 2
Klasifikace
Čís. úlohy
Název úlohy
2
Stanovení Boltzmannovy konstanty pomocí VA-char. PN př.
Stanovení Boltzmannovy konstanty pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu.
1) Úkol měření:
Určete Boltzmannovu konstantu pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu.
Určete závěrný proud PN přechodu pro tři různé teploty.
Pomocí vztahu pro popis VA-charakteristiky PN přechodu a naměřených hodnot vzneste do grafu pro tři různé pracovní teploty vypočtené VA-charakteristiky měřeného přechodu.
Určete chybu měření Boltzmannovy konstanty a porovnejte výsledek s tabulkovou hodnotou.
2) Postup měření:
Měřit VA-charakteristiku budeme na předem připraveném přípravku,
ve kterém je v podstatě realizované zapojení
Postup:
Měření provedeme pro tři různé teploty PN přechodu, které budou od sebe dostatečně vzdáleny. Zvolené pracovní teploty PN přechodu budou zajištěny pomocí tepelných lázní, do kterých bude PN přechod vložen. K tomuto účelu nám poslouží Dewarovu nádobu, kterou naplníme vodou přímo z vodovodu až po uvnitř vyznačenou rysku. Jednotlivé teploty lázně volíme tak, aby byl mezi nimi co největší rozdíl, tj. použijeme vodu studenou, vlažnou a horkou. Teplota vody by ale neměla přesáhnout 60˚C.
Zapojíme měřený PN přechod podle schématu (viz výše) a vložíme do teplotní lázně.
Na napájecím zdroji nastavíme „hrubé napětí“ na 30V a „mezní proud“ na 0,2A.
Po vyrovnání teploty mezi lázní a použitým PN přechodem odečteme pomocí teploměru teplotu lázně a započteme s vlastním měřením VA-charakteristiky. Na konci měření opět odečteme teplotu lázně a z obou teplot určíme aritmetický průměr. Měření provádíme pouze v propustném směru v rozsahu proudů cca od 0,05 mA do cca 24 mA.
Toto opakujeme pro další dvě teploty.
3) Použité přístroje:
Ampérmetr, voltmetr, přípravek, teploměr, termoska
4) Tabulka:
I [mA]
0,05
0,1
0,2
0,4
1
3
6
12
24
U t1 [V]
0,4
0,43
0,44
0,462
0,49
0,514
0,53
0,552
0,57
U t2 [V]
0,366
0,384
0,407
0,424
0,449
0,48
0,5
0,519
0,54
U t3 [V]
0,357
0,375
0,391
0,41
0,436
0,467
0,488
0,508
0,529
5) Grafy:
viz příloha
6) Výpočty:
veškeré výpočty byly provedeny pomocí aplikace na katedrálním serveru
7) Závěr:
Průměrná Boltzmannova konstanta:
Tabulková hodnota:
Odchylka:
Odchylka od tabulkové hodnoty je pravděpodobně způsobena nerovnoměrným rozložením teplot, hodnot proudu a celkově v malém množství naměřených hodnot.
8) Kontrolní otázky:
Co to je vlastní a nevlastní polovodič ???
Vlastní: Polovodiče, u kterých dochází ke zvýšení elektrické vodivosti
vnějšími vlivy, jako ohřátí, působení vnějšího elektrického pole,…
Nevlastní: příměrový – polovodiče, u nichž se zvýšení elektrické vodivosti
dosahuje uměle vytvářením poruch krystalové struktury
přimísením cizích prvků, As(donor) , Ga(akceptor) , ….
Jaký je vztah mezi Avogadrovým číslem, univerzální plynovou konstantou a Boltzmannovou konstantou ???
O:
Co je to Fermiho hladina ???
O: ,
kde EC je dolní hladina vodivostního pásu, EV je horní hladina valenčního pásu, m*p je efektivní hmotnost děr, m*n je efektivní hmotnost elektronů, k je Boltzmannova konstanta a T je termodynamická teplota.
Co je to závěrný proud PN přechodu ???
O: Je to minoritní proud nosičů, který prochází přes závěrně polarizovaný
PN přechod.
Závisí koncentrace volných nosičů náboje u vlastních polovodičů na teplotě ???
O: Ano, dle vztahu

Stanovení Boltzmannovy konstanty pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu
Úkol měření:
Určete Boltzmannovu konstantu pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu.
Určete závěrný proud PN přechodu pro tři různé teploty.
Pomocí vztahu pro popis voltampérové charakteristiky PN přechodu a naměřených hodnot vyneste do grafu pro tři různé pracovní teploty vypočtené voltampérové charakteristiky měřeného přechodu.
Určete chybu měření Boltzmannovy konstanty a porovnejte výsledek s tabulkovou hodnotou.
Obecná část:
Ke stanovení Boltzmannovy konstanty použijeme specifických vlastností polovodičů. Polovodiče jsou pevné krystalické látky, jejichž elektrickou vodivost lze výrazně ovlivnit vnějšími účinky. Šířka zakázaného pásu mezi pásem valenčním a vodivostním je u nich menší než 2 eV a při nízkých teplotách je jejich elektrická vodivost téměř nulová jako u dielektrik. Při pokojových teplotách má však část elektronů valenčního pásu vlivem tepelného pohybu dostatečně velkou kinetickou energii, aby mohla překonat zakázaný pás a dostat se do vodivostního pásu, v němž se stávají nositeli el. proudu, je-li v látce elektrické pole. Čisté polovodiče, u nichž dochází ke zvýšení el. vodivosti vnějšími vlivy jako je ohřátí, působení vnějšího el. pole nebo ozáření světlem vhodných vlnových délek, se nazývají vlastní polovodiče.
Dalším v praxi používaným typem polovodičů jsou tzv. nevlastní (příměsové) polovodiče, u nichž se zvýšení el. vodivosti dosahuje uměle vytvářením poruch krystalové struktury přimísením cizích prvků, např. v krystalu Si je jeden mřížkový atom nahrazen atomem arzénu As. Jelikož je arzén pětimocný a atom křemíku čtyřmocný, stává se arzén dárcem – donorem – jednoho elektronu – elektronová vodivost typu N. Naopak nahradíme-li v atomu křemíku jeden atom např. atomem galia Ga, který je trojmocný, zůstane jeden elektron bez kovalentní vazby, stane se akceptorem elektronu. Takto vzniklá „díra“ je ihned zaplněna nejbližším elektronem, který však svým odtržením vyvolá novou „díru“ – tedy se jedná o děrovou vodivost typu P.
Z teorie energetických pásů krystalů pevných látek, jenž vychází z aproximace téměř volného elektronu vyplývá, že kinetická energie téměř volného elektronu v závislosti na jeho vlnovém čísle (na základě korpuskulárně-vlnového dualismu můžeme na elektron pohlížet jako na částicovou vlnu s příslušným vlnovým číslem k) má následující tvar:
, (2.1)
kde m* je efektivní hmotnost a ћ = h / 2π, kde h je Planckova konstanta. Obsahuje-li daný krystal N atomů, pak vlnové číslo nabývá následujících hodnot
, n = 1, 2, 3, …,
kde a je tzv. mřížková konstanta. Vzhledem k tomu, že N je velmi velké, asi 1020, můžeme vlnová čísla považovat za téměř spojitá. Avšak pro hodnoty vlnového čísla k = ± n(π/a), kde n je celé číslo, je kinetická energie téměř volného elektronu nespojitá, tj. těmto hodnotám vlnového čísla odpovídají zakázané energetické pásy, jak je možné vidět z obrázku.
Zakřivení průběhu na tomto obrázku je dáno druhou derivací funkce (2.1), tedy
. (2.2)
Ze vztahu (2.2) je zřejmé, že míra zakřivení průběhu E(k) určuje efektivní hmotnost m* elektronů.
Vlastní polovodiče
Pro vysvětlení mechanismu elektrické vodivosti polovodičů mají zásadní význam valenční a vodivostní energetický pás. Je-li mezi nimi šířka zakázaného pásu ΔE, pak pro vlastní polovodiče můžeme určit pro koncentraci téměř volných elektronů n a děr p následující vztah:
,
kde k je Boltzmannova konstanta, T je absolutní teplota, , resp. je efektivní hmotnost elektronu ve vodivostním pásu, resp. efektivní hmotnost díry ve valenčním pásu. Ze vztahu je patrná teplotní závislost koncentrace volných nosičů náboje na teplotě.
Nevlastní polovodiče
V nevlastních polovodičích je počet elektronů a děr roven (ND - NA(, kde ND a NA je počet donorů a akceptorů v daném polovodičovém krystalu. Ionizační energie Ei, tj. energie nutná k uvolnění elektronu, jenž se nachází v základním energetickém stavu, daného atomu je dána přibližně následujícím vztahem:
,
kde ε0 je permitivita vakua, κ je dielektrická konstanta a me je hmotnost elektronu. Ionizační energie polovodičů dosahuje velmi malých hodnot (řádově 0,01 eV).
PN přechod
Při styku polovodiče typu P s polovodičem typu N, které díky příměsím mají rozdílné Fermiho hladiny dochází k difúzi elektronů z polovodiče typu N do polovodiče typu P. Difúze probíhá dokud se nevyrovnají Fermiho hladiny obou typů polovodičů. Difúze zapříčiní vznik prostorového náboje na rozhraní obou polovodičů, který zabrání dalšímu difundování. Jakmile na PN přechod přiložíme vnější el. napětí, můžeme očekávat, že se prakticky celé soustředí na tuto přechodovou oblast. V případě, že má polaritu stejnou s polaritou pole Ek, elektrony a díry jsou ještě silněji „vytlačovány“ od středu PN přechodu k okrajům – nepropustný směr.
Vnější pole s opačnou polaritou zeslabuje pole Ek a po dosažení určité kritické hodnoty ho úplně vykompenzuje. Volné nosiče náboje vyplní opět prostor PN přechodu, takže jeho odpor klesne na úroveň ostatních oblastí polovodiče – propustný směr.
Na první pohled se může zdát, že čím větší je závěrné napětí, tím menší proud může PN přechodem protékat. Je tomu skutečně tak, pokud máme na mysli jen elektrony v oblasti typu N a díry v oblasti typu P, tj. majoritní nosiče náboje. V polovodiči typu N je však vždy přítomná i určitá koncentrace volných děr a naopak, v polovodiči typu P určitá koncentrace volných elektronů. Tyto minoritní nosiče náboje se v oblasti PN přechodu chovají opačně než nosiče majoritní. Jakmile je pro majoritní nosiče přechod polarizovaný v nepropustném směru, je pro ně uzavřený, avšak pro minoritní nosiče je naopak úplně otevřený. Už při poměrně malém závěrném napětí přecházejí všechny minoritní přes PN přechod a vytvářejí v něm určitý nasycený závěrný proud. Tyto úvahy ilustruje obrázek:
Postup měření:
K měření Boltzmannovy konstanty použijeme vztahu pro VA charakteristiku PN přechodu , která je dána vztahem
.
Zlogaritmováním tohoto vztahu dostaneme následující vztah:
.
Tato rovnice představuje rovnici přímky v případě, že přirozený logaritmus proudu lnI chápeme jako funkční hodnotu lineární funkce eU / kT + lnI0, kde lnI0 představuje konstantu a s = e / kT směrnici této přímky. Známe-li směrnici přímky s a teplotu, ke které se vztahuje, pak snadno můžeme určit vlastní Boltzmannovu konstantu k = e / Ts. K tomu, abychom mohli stanovit směrnici přímky, je nutné změřit VA charakteristiku PN přechodu při dané teplotě T. Samotné měření je možné uskutečnit dvěma způsoby:
Měření VA charakteristiky je možné provést přímo na zvolené diodě. Pro minimalizaci chyby měření je nutné zvolit zapojení, které je uvedeno na obrázku:
Další z možností jak měřit VA charakteristiku je použití tranzistoru v zapojení se společnou bází, které je znázorněno na obrázku:
Při malém úbytku napětí na použitém ampérmetru je napětí mezi kolektorem a bází UKB ( 0 a pro kolektorový proud IK lze psát
,
kde β0 je zesilovací činitel a IE je emitorový proud. V případě, že je splněna podmínka β0 » 1, pak IK ≈ IE. Emitorový proud tedy prochází měřeným PN přechodem báze-emitor, avšak z oblasti báze pokračuje dále do kolektoru, kde je měřen. Ampérmetr tak není zapojen v sérii s měřeným přechodem a neovlivňuje napětí naměřené na přechodu.
Na základě výše uvedeného můžeme vlastní postup měření popsat následovně:
Měření provedeme pro tři různé teploty PN přechodu, které budou od sebe dostatečně vzdáleny, např. 0 °C, 40 °C a 80 °C. Zvolené pracovní teploty PN přechodu budou zajištěny pomocí tepelných lázní, do kterých bude měřený PN přechod vložen.
Zapojíme měřený PN přechod podle příslušného schématu a vložíme do teplotní lázně.
Po vyrovnání teploty mezi lázní a použitým PN přechodem odečteme pomocí teploměru teplotu lázně a započneme s vlastním měřením VA charakteristiky. Na konci měření opět odečteme teplotu lázně a z obou teplot určíme aritmetický průměr.
Naměřené hodnoty zpracujeme pomocí metody nejmenších čtverců a z nalezené směrnice S přímky určíme hodnotu Boltzmannovy konstanty k. Rovněž pomocí této metody určíme závěrný proud I0.
Měření opakujeme stejným způsobem pro další dvě teploty.
Ze získaných tří hodnot Boltzmannovy konstanty určíme aritmetický průměr, který porovnáme s tabulkovou hodnotou.
Pomocí vztahu pro VA charakteristiku PN přechodu a naměřených veličin zaneseme do grafu průběhy VA charakteristik (i pro závěrný směr) měřeného PN přechodu pro všechny tři použité pracovní teploty přechodu a navzájem je porovnáme.
Použité přístroje:
Voltmetr - rozsah 2 V
- přesnost 0,5% z hodnoty ± 1 digit (= 2 mV)
- typ MY64
Ampérmetr - typ MY64
- rozsah 2 mA, 20 mA, 200 mA
- třída přesnosti – 1,5% z hodnoty ± 1 digit – 1 digit = 2 μA pro rozsah 2 mA
– 1 digit = 0,5 mA pro rozsah 20 mA a 200 mA
Stabilizovaný zdroj 30 V / 2 A, rtuťový teploměr (0 ÷ 100 °C, 100 dílků), Dewarova nádoba, vařič pro ohřátí vody na dostatečnou teplotu, PN přechod realizovaný tran