referat bolzmanova konstatnta

zistorovým přechodem B-C.
Naměřené hodnoty:
1)teplota na počátku t1 =17 °C, teplota na konci t2 = 18 °C, průměrná teplota t = 17,5 °C (= 290,65 K)
A
0,078
0,088
0,097
0,11
0,252
0,568
0,814
1,185
mV
453
455
458
461
482
503
513
522
A
2,63
4,12
6,01
8,89
12,78
15,41
18,23
23,5
mV
543
555
565
575
585
590
595
602
2)teplota na počátku t1 =36 °C, teplota na konci t2 = 35,5 °C, průměrná teplota t = 35,75 °C (= 308,9 K)
A
0,068
0,107
0,134
0,19
0,275
0,4
0,655
0,894
1,294
mV
400
413
420
430
440
450
461
470
480
A
1,85
2,7
3,87
5,86
7,12
11,6
15,85
19,61
29,8
mV
490
500
510
520
530
540
550
560
570
3)teplota na počátku t1 =23,5 °C, teplota na konci t2 = 23,5 °C, průměrná teplota t = 23,5 °C (= 296,65 K)
A
0,021
0,03
0,04
0,059
0,078
0,131
0,153
0,297
0,442
0,569
mV
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
A
0,92
1,28
2
2,7
4,1
5,9
8,4
12,2
17,2
24,6
mV
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
Zpracování hodnot (metodou postupných čtverců):
1) Vypočtené hodnoty pro T = 290,65 K:
Regresní parametry:
, kde je průměrná hodnota napětí
Pravděpodobná chyba aritmetického průměru:
J(K-1
A
=4,9(10-36 C,
ation.3=1 (C
Hodnota Boltzmannovy konstanty: J(K-1
Chyba měření Boltzmannovy konstanty: == J(K-1
Hodnota závěrného proudu: A
Výsledné hodnoty: k = (1,4392 ( 0,0050)(10-23 J(K-1
I0 = (9,1250 ( 0,0064) (10-12 A
2). Vypočtené hodnoty pro T = 308,9 K:
Použijeme stejné vztahy a výpočty jako v 1).
Výsledné hodnoty: k = (1,4310 ( 0,0079) (10-23 J(K-1
I0 = (3,420 ( 0,330) (10-8 A
3). Vypočtené hodnoty pro T = 296,65 K:
Použijeme stejné vztahy a výpočty jako v 1).
Výsledné hodnoty: k = (1,4250 ( 0,0075) (10-23 J(K-1
I0 = (5,020 ( 0,50) (10-9 A
Průměrná hodnota Boltzmannovy konstanty ze tří měření:
J(K-1
Pravděpodobná chyba aritmetického průměru:
J(K-1
Konečná hodnota Boltzmannovy konstanty: k = (1,4317 ( 0,0027) (10-23 J(K-1
Tabulková hodnota Boltzmannovy konstanty: k = (1,380658 ( 0,000012) (10-23 J(K-1
Graf:
Závěr:
Hodnota Boltzmannovy konstanty zjištěná z hodnot pro různé teploty: k = (1,4317 ( 0,0027) (10-23 J(K-1. Odchylka od tabulkové hodnoty k = (1,380658 ( 0,000012) (10-23 J(K-1 činí 0,0510(10-23 J(K-1.
Z grafu je zřejmé, že se zvyšující se teplotou dochází dříve k vedení proudu PN přechodem, pro nižší teploty je k protlačení stejného proudu potřeba většího napětí. Koncentrace volných nosičů v přechodu je očividně závislá na teplotě.
Chyby byly způsobeny nepřesností měřících přístrojů (voltmetru, ampérmetru a teploměru), malým rozestupem měřených teplot (v návodu byl doporučen rozestup teplot přibližně 10 °C, my jsme použili rozestup mnohem menší) a možná i malým počtem hodnot odečtených v oblasti kolena VA charakteristiky.
Kontrolní otázky:
Co je to vlastní a nevlastní polovodič ?
Vlastní polovodič je materiál, který má valenční a vodivostní energetickou hladinu od sebe vzdálenou tak, že se za určitých podmínek chová jako izolant. Pokud dojde ke změně těchto podmínek (ozářením, přiložením napětí apod.) začne se chovat jako vodič. Nevlastní polovodič je materiál u kterého je vodivosti dosáhnuto přidáním nečistot., které zmenší rozdíl vodivostní a valenční hladiny.
Jaký je vztah mezi Avogadrovým číslem, univerzální plynovou konstantou a Boltzmannovou konstantou?
Platí : [J(K-1; J(K-1; - ]
Co je to Fermiho hladina ?
Fermiho hladina je energetická hladina ležící v oblasti zakázaného pásu, přičemž polovodiče typu N a P mají tyto hladiny díky příměsím rozdílné.
Co je to závěrný proud PN přechodu ?
Závěrný proud PN přechodu je nepatrný proud procházející přechodem při přiložení záporného napětí. Tento proud se objevuje v důsledku výskytu malého množství děr v N polovodiči a malého množství elektronů v P polovodiči.
Závisí koncentrace volných nosičů náboje u vlastních polovodičů na teplotě ?
Ano. Pokud zvětšujeme teplotu, získávají elektrony větší kinetickou energii, a tudíž je pravděpodobnější že překonají vazebné síly a odpoutají se od atomu.
Petr Hašlar, sk. 204, haslap2@fel.cvut.cz DATE \@ "d.M.yyyy" 17.11.2002

strana  PAGE 8


 EMBED Word.Picture.8




Úkol měření
Stanovení Boltzmannovy konstanty pomocí voltampérové charakteristiky PN přechodu.
Určete závěrný proud PN přechodu pro tři různé teploty.
Pomocí vztahu pro popis voltampérové charakteristiky PN přechodu a naměřených hodnot vyneste do grafu pro tři různé pracovní teploty vypočtené voltampérové charakteristiky měřeného přechodu.
Určete chybu měření Boltzmannovy konstanty a porovnejte výsledek s tabulkovou hodnotou.
Obecná část
Ke stanovení Boltzmannovy konstanty použijeme specifických vlastností polovodičů. Polovodiče jsou pevné krystalické látky, jejichž elektrickou vodivost lze výrazně ovlivnit vnějšími účinky. Šířka zakázaného pásu je u nich menší než 2eV a při nízkých teplotách je jejich elektrická vodivost téměř nulová jako u dialektrik. Při pokojových teplotách má však část elektronů valenčního pásu vlivem tepelného pohybu dostatečnou energii, aby mohla překonat zakázaný pás a dostat se do vodivostního, v němž se stávají nositele elektrického proudu. Čisté polovodiče u nichž dochází ke zvýšení elektrické vodivosti vnějšími vlivy jako je ohřátí atd., se nazývají vlastní polovodiče.
Dalším, v praxi užívaným typem polovodičů jsou nevlastní (příměsové) polovodiče. U nichž se zvýšení elektrické vodivosti dosahuje uměle vytvářením poruch krystalové struktury přimísením cizích prvků. Příkladem může být krystal křemíku, v němž je jeden mřížkový atom nahrazen atomem arzénu. Protože atom arzénu je pětimocný a atom křemíku je čtyřmocný, neúčastní se pátý valenční elektron arzénu kovalentní vazby a je ke svému atomu pouze slabě vázán, a tak může být snadno vnějšími vlivy excitován do vodivostního pásu. Atom arzénu se v krystalové mříži stává dárcem jednoho elektronu (tzv. donor). Polovodiče obsahující donory jsou označovány jako polovodiče typu N.
Nahradíme-li v mřížce krystalu jeden atom atomem galia, který je trojmocný, zůstane jeden valenční elektron sousedního křemíku bez kovalentní vazby. Dodáním malé energie jeden z valenčních atomů křemíku byl převzat galiem. Tak vznikne v místě cizího atomu záporný iont a z atomu křemíku vznikne odtržením elektron iont kladný. Oba tyto ionty jsou pevně vázány na svá místa v krystalové mřížce a nemohou se tak účastnit vedení elektrického proudu. Na prázdné místo elektronu atomu křemíku může přejít některý valenční elektron ze sousedního atomu křemíku, čímž se prázdné místo přenese na sousední atom křemíku. Na prázdném místě po elektronu vzniká převaha kladného náboje, a proto můžeme prázdná místa považovat za kladně nabité díry, které s v případě vnějšího elektrického pole pohybují ve směru intenzity. Takový polovodič má tzv. děrovou vodivost a patří k polovodičům typu P. Příměsové atomy nazýváme akceptory, protože přijímají a vážou valenční elektrony.
Z teorie energetických pásů krystalů pevných látek, jenž vychází z aproximace téměř volného elektronu vyplívá, že kinetická energie téměř volného elektronu v závislosti na jeho vlnovém čísle k má následující tvar
( 1.0 )
kde m* je efektivní hmotnost a , kde h je Planckova konstanta. Obsahuje-li daný krystal N atomů, pak vlnové číslo nabývá následujících hodnot :
, n = 1, 2, 3, ...,
kde a je tzv. mřížková konstanta. Vzhledem k tomu, že N je velmi velké, řekněme 1020, můžeme vlnová čísla považovat za téměř spojitá. Avšak pro hodnoty vlnového čísla , kde n je celé číslo, je kinetická energie téměř volného elektronu nespojitá, tj. těmto hodnotám vlnového čísla odpovídají zakázané energetické pásy. Zakřivení tohoto průběhu je dáno druhou derivací funkce ( 1.0 ), tj.
. ( 1.1.)
Ze vztahu ( 1.1 ) je zřejmé, že míra zakřivení průběhu E(k) efektivní hmotnost m* elektronů.
Vlastní polovodiče
Pro vysvětlené mechanismu elektrické vodivosti polovodičů mají zásadní význam valenční a vodivostní energetický pás. Je-li mezi nimi šířka zakázaného pásu (E, pak pro vlastní polovodiče můžeme určit pro koncentraci téměř volných elektronů n a děr p následující vztah:
kde k je Boltzmannova konstanta, T je absolutní teplota, mn resp. mp je efektivní hmotnost elektronu ve vodivostním pásu, resp. efektivní hmotnost díry ve valenčním pásu.
Nevlastní polovodiče
V nevlastních polovodičích je počet elektronů a děr roven Nd-Na, kde Nd a Na je počet donorů a akceptorů v daném polovodičovém krystalu.
Přechod PN
Při styku polovodičů typu P s polovodičem typu N, které díky příměsím mají rozdílné Fermiho hladiny EF dochází k difůzi elektronů z polovodiče typu N do polovodiče typu P. Difůze probíhá dokud se nevyrovnají Fermiho hladiny obou typů polovodičů, tj. navodí se ustálený stav. Difůze elektronů z polovodiče typu N ( má vyšší Fermiho hladinu ) zapříčiní vznik povrchové vrstvy nevykompenzovaného náboje iontů, v polovodiči typu N kladných iontů a v polovodiči typu P záporných iontů. Tímto na rozhraní obou polovodičů vznikne prostorový náboj, který vytvoří elektrické pole ( potenciálovou bariéru ), jenž označíme Ek, které zabrání difundování dalších elektronů. Vzniklá přechodová oblast má podstatně menší koncentraci volných nosičů náboje, a proto i podstatně větší elektrický odpor, než zbytek polovodiče. jakmile na PN přechod přiložíme vnější elektrické napětí, můžeme očekávat, že se prakticky celé „soustředí“ na tuto přechodovou oblast. V případě, že má polaritu shodnou s polaritou pole Ek, elektrony a díry jsou ještě silněji „vytlačovány“ od středu PN přechodu k okrajům. Šířka oblasti zvětšeného odporu se tak ještě zvětší a elektrický odpor vzroste, takže PN přechodem může téct jen nepatrný proud. Říkáme, že v tomto případě jde o nepropustný směr.
Vnější pole s opačnou polaritou zeslabuje Ek a po dosažení určité kritické hodnoty ho úplně vykompenzuje. Volné nosiče náboje opět vyplní prostor PN přechodu, Takže jeho odpor klesne na úroveň ostatních oblastí polovodiče. Při takovéto polaritě přechod PN propouští el. proud ( propustný směr ).
Prostorový náboj PN přechodu VA charakteristika PN přechodu
Na první pohled se může zdát, že čím větší je závěrné napětí, tím menší proud může PN přechodem protékat. Je tomu skutečně tak, pokud máme na mysli jen elektrony v oblasti N a díry v oblasti P, tj. majoritní nosiče náboje. V polovodiči typu N je však vždy přítomná i určitá koncentrace volných děr a naopak, v polovodiči typu P určitá koncentrace volných elektronů. Tyto minoritní nosiče náboje se v oblasti PN přechodu chovají opačně než nosiče majoritní. Jakmile je pro majoritní nosiče přechod polarizovaný v nepropustném (závěrném ) směru, je pro ně uzavřený, avšak pro minoritní nosiče je naopak úplně otevřený. Už při poměrně malém závěrném napětí přecházejí všechny minoritní nosiče pře PN přechod a vytváří v něm určitý nasycený závěrný proud. Tyto kvalitativní úvahy ilustruje graf VA charakteristiky PN přechodu.
Některá výše uvedená tvrzení můžeme, za jistých zjednodušujících předpokladů, popsat i pomocí jednoduché teorie. Poměr koncentrací v daném místě x můžeme pomocí Maxwellovy-Boltzmannovy rozdělovací funkce vyjádřit následovně
EMBED Equation.2 , ( 1.2 )
kde je potenciál N-oblasti vzhledem k P-oblasti ( potenciálová bariéra ). Podle vztahu ( 1.2 ) je v bodě , který leží na hranici PN přechodu v oblasti polovodiče typu P, koncentrace elektronů vyjádřená vztahem
.(1.3)
V případě že má levá strana PN přechodu vzhledem k bodu potenciál , tedy tento bod vzhledem k levé straně má potenciál -, je v něm koncentrace elektronů -krát větší než koncentrace elektronů v vlevo od PN přechodu. Proto když vnějším zdrojem změníme potenciál levé strany PN přechodu z hodnoty na hodnotu -U, kde U je napětí vnějšího zdroje, změní se v bodě xp koncentrace elektronů z hodnoty nop(xp) na hodnotu np(xp), kterou určuje vzorec :
, (1.4)
který po vyloučení potenciálu ( pomocí vztahu (1.2) má následující tvar :
, (1.5)
V dostatečné vzdálenosti od PN přechodu se však už koncentrace elektronů vlivem vnějšího napětí nemění, proto platí podmínka : .
Při hledání proudu jenž teče PN přechodem, vyjdeme z následujících zjednodušujících předpokladů, které jsou v praxi splněny :
Uvnitř PN přechodu nosiče náboje vzájemně nerekombinují, Proto celkovou hustotu proudu přes PN přechod můžeme vyjádřit vztahem :
(1.6)
V oblasti x xn a x xp je už elektrické pole poměrně slabé, protože vzhledem na podstatně větší odpor PN přechodu se celé vnější napětí soustředí v něm. Gradienty koncentrací nosičů náboje jsou však v těchto oblastech značné, proto můžeme ohmické složky proudů vzhledem na difúzní zanedbat.
Polarita pole Ek je taková, že pokud U je větnší něž , znemožňuje přechod nosičů náboje přes PN přechod, proto prakticky celý proud přes přechod je tvořen jen elektrony z oblasti polovodiče typu P a dírami z oblasti typu N.
Za těchto předpokladů lze rozložení koncentrace (např. elektronů) v oblasti typu P lze vyjádřit následovně :
, (1.7)
kde veličina Ln=(Un.k.tn.T)/e)1/2, ve které tn značí dobu života elektronu (dobu, za kterou zrekombinuje), se nazývá difuzní vzdálenost. Řešením rovnice (1.7) dostaneme následující funkci :
(1.8)
podle které pro hustotu elektronového proudu v bodě x=xp platí :
(1.9)
Analogický výraz bychom odvodili i pro děrovou vodivost proudu v bodě x=xp.
Takže pro celkový proud přes přechod PN je určený vztahem :
(1.10)
kde Lp=(Up.k.tp.T)/e)1/2 a tp je doba života děr. Integrací vztahu přes plochu protékanou proudem dostaneme výraz pro celkový proud :
(1.11)
který můžeme dále zjednodušit, vezmeme-li v úvahu, že proud Io představuje velmi malou hodnotu :
(1.12)
Postup měření
Obecná část
K měření Boltzmannovy konstanty použijeme vztahu pro voltampérovou charakteristiku PN přechodu (1.12). Zlogaritmováním tohoto vztahu dostaneme :
(1.13)
Tato rovnice představuje rovnici přímky v případě, že přirozený logaritmus proudu lnI chápeme jako funkční hodnotu lineární funkce eU/kT+lnIo, lnIo představuje konstantu a s=e/kT směrnici této přímky. Známe-li směrnici přímky a teplotu, ke které se vztahuje, pak snadno můžeme určit Boltzmannovu konstantu k=e/Ts. K tomu, abychom mohli stanovit směrnici přímky, je nutné změřit VA charakteristiku PN přechodu při dané teplotě T. Samotné měření je možné uskutečnit dvěma způsoby.
Měření VA charakteristiky je možné provést přímo na zvolené diodě. Pro minimalizaci chyby měření je nutné zvolit zapojení, které je uvedeno na obrázku 1. Navíc je nezbytné k měření napětí U na diodě použít voltmetru s dostatečně velikým vnitřním odporem.
Další z možností jak měřit VA charakteristiku je použití tranzistoru v zapojení se společnou bází, viz. obrázek 2. Při malém úbytku napětí na použitém ampérmetru je napětí mezi kolektorem a bází UKB = 0. Pak zbytkový proud IKB0 = 0 a pro kolektorový proud Ik lze psát
,
kde je zesilovací činitel a IE je emitorový proud. V případě, že je splněna podmínka je mnohem větší než 1, pak IK= IE. Emitorový proud tedy prochází měřeným PN přechodem báze-emitor, avšak z oblasti báze pokračuje dále do kolektoru, kde je měřen. Ampérmetr tak není zapojen v sérii s měřeným přechodem a neovlivňuje napětí naměřené na přechodu.
Metoda nejmenších čtverců:
Tato metoda se používá při měření dvou fyzikálních veličin, které jsou spolu svázané nějakou funkční závislostí. V našem případě jde o závislost proudu I (respektive jeho přirozeného logaritmu ln (I) na napětí U: ln I = f(U). Tato funkce se nazývá regresní funkce a je jednoznačně určena svými parametry. Metoda nejmenších čtverců spočívá v nalezení takových parametrů, aby součet čtverců odchylek vypočtených hodnot od hodnot naměřených byl co nejmenší. Naše závislost je lineární: ln I = s.U + ln I0, takže budeme hledat parametry s a lnI0. Pro tyto parametry lze odvodit následující vztahy:
, ,
kde jsou aritmetické průměry měřených hodnot. Pro jejich chyby platí
, , kde .
Chybu aritmetického průměru Boltzmanovy konstanty vypočítáme podle vztahu
.
Postup
Měření provedeme pro tři různé teploty PN přechodu (tranzistoru), které budou od sebe dostatečně vzdáleny. Zvolené pracovní teploty PN přechodu budou zajištěny pomocí tepelných lázní, do kterých bude měřený PN přechod vložen.
Zapojíme měřený PN přechod podle příslušného schématu a vložíme do teplotní lázně.
Po vyrovnání teploty mezi použitým PN přechodem a teplotní lázní odečteme pomocí teploměru teplotu lázně a započneme s vlastním měřením VA charakteristiky. Na konci měření opět odečteme teplotu lázně a z obou teplot určíme aritmetický průměr.
Naměřené hodnoty zpracujeme pomocí metody nejmenších čtverců a z nalezené směrnice s přímky určíme hodnotu Boltzmannovy konstanty k. Rovněž pomocí této metody určíme hodnotu závěrného proudu Io.
Měření opakujeme stejným způsobem pro další dvě teploty.
Ze získaných tří hodnot Boltzmannovy konstanty stanovíme aritmetický průměr, který porovnáme s tabulkovou hodnotou.
Pomocí vztahu (1.12) a naměřených veličin zaneseme do grafu průběhy VA charakteristik (i pro závěrný směr) měřeného PN přechodu pro všechny tři použité pracovní teploty přechodu a navzájem je porovnáme.
Použité přístroje
Ampérmetr, voltmetr, tranzistor, teploměr, teplotní lázeň
Použitá literatura
[1] Bednařík M., Koníček P., Jiříček O., : Fyzika I a II Laboratorní cvičení skriptum FEL ČVUT, 1999
Schéma
dioda
tranzistor
Naměřené hodnoty, výpočty, výsledky
1
0,440
0,06
0,434
0,06
0,397
0,06
2
0,486
0,21
0,467
0,20
0,426
0,18
3
0,514
0,62
0,496
0,62
0,447
0,41
4
0,523
0,88
0,506
0,90
0,460
0,65
5
0,526
1,00
0,520
1,54
0,468
0,89
6
0,544
1,99
0,532
2,48
0,472
1,02
7
0,554
2,99
0,545
4,04
0,482
1,50
8
0,562
4,02
0,551
5,05
0,490
1,99
9
0,572
6,01
0,556
6,03
0,496
2,50
10
0,580
8,04
0,563
8,01
0,502
3,08
11
0,586
10,05
0,569
10,04
0,509
3,98
12
0,591
12,09
0,574
12,05
0,521
6,08
13
0,595
14,04
0,579
14,02
0,529
7,98
14
0,599
16,20
0,582
15,90
0,536
10,23
15
0,601
17,70
0,589
20,10
0,541
12,09
16
0,605
20,00
0,592
22,60
0,545
14,01
17
0,608
22,00
0,594
24,10
0,549
16,06
18
0,610
23,90
0,554
17,95
19
0,556
20,40
20
0,559
22,30
21
0,561
24,40
1.517E-23
1.440E-23
1.429E-23
1.3E-25
3.4E-26
5.3E-26
4.38E-12
4.66E-12
3.75E-11
7.8E-13
2.3E-13
2.5E-12
1,462E-23
1,846E-25
Výsledky měření:
Použité vztahy jsou uvedeny v kapitole 3.2.
Závěr
Výsledky jsou uvedeny v předchozí kapitole. Tabulková hodnota Boltzmannovy konstanty je . Odchylka vznikla nepřesností naměření VA charakteristiky, měření a udržování teploty lázně během měření.
Kontrolní otázky
Co je to vlastní a nevlastní polovodič?
Vlastní polovodič neobsahuje ve své krystalové mřížce příměsi. Vodivost je způsobena generací páru elektron díra při dodání dostatečného kvanta energie.
Nevlastní polovodič obsahuje příměsi – donory nebo akceptory – dochází buď k uvolnění elektronu od donoru („slabá vazba“) a růstu vodivosti (typ N) nebo „navázání“ elektronu akceptorem a vzniku díry (typ P). Vždy vzniká v mří