Příklady k procvičení Tkadlec

Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Reálná čísla
1. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin:
a) Z;
b) M = (−1,1) ∪〈3,5〉;
c) M = angbracketleftbig0,√2angbracketrightbig∩Q;
d) M = {1 + 2−n : n ∈ N};
e) M = angbracketleftbig0, 13angbracketrightbig∩{2−n : n ∈ N};
f) M = braceleftbig(−1)n n2−1n2+1 : n ∈ Nbracerightbig.
Výsledky
1. a) maxZ ani minZ neexistují, supZ = +∞, inf Z = −∞;
b) maxM = 5 = supM, minM neexistuje, inf M = −1;
c) maxM neexistuje, supM =√2, minM = 0 = inf M;
d) maxM = 32 = supM, minM neexistuje, inf M = 1;
e) maxM = 14 = supM, minM neexistuje, inf M = 0;
f) maxM ani minM neexistují, supM = 1, inf M = −1.
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Limity posloupností
1. Spočtěte:
a) limn→∞(3n3 − 2n2 + 4n− 1); b) limn→∞(n4 + n3 − 5n2);
c) limn→∞(−n2 + 6n + 2); d) limn→∞(−4n5 + 8n4 + n3);
e) limn→∞(3n − 4 · 2n+3); f) limn→∞parenleftbig2 · (−3)2n−1 − 5 · 7n+2);
g) limn→∞parenleftbig2 · 5n+1 + 3 · (−2)2nparenrightbig; h) limn→∞parenleftbig2 · (−5)n−1 − 5 · 22n+2).
2. Spočtěte:
a) limn→∞ n
2 − 1
n3 ; b) limn→∞
n + 3
n2 + 2n− 1 ;
c) limn→∞ 3n
3 − 2n2 + 1
n3 ; d) limn→∞
2n2 − 3
3n2 −n + 4 ;
e) limn→∞ n
2 + 4n− 1
3n + 1 ; f) limn→∞
2 −n6
1 + 2n2 .
3. Spočtěte:
a) limn→∞ 2 · 3
n + (−1)n
4n ; b) limn→∞
3 · 2n + (−3)n
3n − 22n ;
c) limn→∞ 5 · 3
n − 3 · 2n+2
2n − 2 · 3n ; d) limn→∞
2 · (−5)n + 3 · 4n
2n+3 + (−5)n ;
e) limn→∞ 3
n+1 − (−4)n
2 · 3n + 22n−1 ; f) limn→∞
2 · 5n + (−4)n
2n + 4n .
4. Spočtěte:
a) limn→∞
parenleftbigg n5 + 1
2n5 + 1
parenrightbigg4
; b) limn→∞
parenleftbigg 3n2 −n + 5
2n3 + 5n− 3
parenrightbigg−3
;
c) limn→∞ (n + 2)
2 + (n− 1)3
(2n + 1)3 − (n + 1)2 ; d) limn→∞
√n + 3√n
n +√n ;
e) limn→∞
√4n2 + n−√n2 −n
n .
5. Spočtěte:
a) limn→∞√nparenleftbig√n + 1 −√nparenrightbig; b) limn→∞parenleftbig
radicalbig
n2 + 4n−nparenrightbig;
c) limn→∞(n− 2)parenleftbig
radicalbig
4n2 + 3 − 2nparenrightbig; d) limn→∞√nparenleftbig
radicalbig
n3 + 2n−
radicalbig
n3 − 1parenrightbig.
Výsledky
1. a) +∞; b) +∞; c) −∞; d) −∞; e) +∞; f) −∞; g) +∞;
h) neexistuje.
2. a) 0; b) 0; c) 3; d) 23 ; e) +∞; f) −∞.
3. a) 0; b) 0; c) −52 ; d) 2; e) neexistuje; f) +∞.
4. a) 116 ; b) +∞; c) 18 ; d) 0; e) 1.
5. a) 12 ; b) 2; c) 34 ; d) 1.
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Funkce
1. Určete definiční obor funkce:
a) x
2
x + 1 ; b)
x + 2
x2 −x− 6 ; c)
radicalbig
2 + x−x2 ;
d)
radicalbig
3x−x3 ; e) 1√x2 − 3x + 2 ; f)
radicalbig
x2 − 1 +√1 −x;
g)
radicalbiggx− 2
x + 2 +
radicalbigg1 −x
1 + x ; h)
radicalbig
1 −|x|; i) log2 log3 log4 x;
j) ln(x + 1)2x − 1 ; k) ln|sinx|; l) arcsin
radicalbigg2x + 1
2 ;
m) parenleftbigarctg(x− 1)parenrightbig1/(x−3) ; n) logparenleftbig1 − log(x2 − 4x + 13)parenrightbig.
2. Vyšetřete omezenost funkce:
a) 3x− 2 ; b) x2 + 6x− 4; c) − 2x2 + x + 5; d) 1x2 + 1 .
3. Určete, zda je funkce sudá nebo lichá:
a) 5x−x3 ; b) x4 + 3x2 − 1; c) x2 + 3x− 2;
d) 2x − 2−x ; e) ln 1 −x1 + x ; f) e
x − 1
ex + 1 ;
g) log(
radicalbig
x2 + 1 + x); h) sinxx ; i) 2−x2 ;
j) sinx− cosx; k) 3
radicalbig
(1 −x)2 + 3
radicalbig
(1 + x)2 .
4. Vyšetřete, zda je funkce periodická, a pokud ano, určete její periodu:
a) sin3x; b) 5cos2x; c) 4sinpix;
d) −3cos(4x + 5); e)√tgx; f) tg√x;
g) 2sin3x + 3sin2x; h) sin(5pix + pi4) − cos pi6 − 3pix).
5. Dokažte:
a) sinh(x + y) = sinhx coshy + coshx sinhy;
b) cosh(x + y) = coshx coshy + sinhx sinhy.
Výsledky
1. a) (−∞,−1) ∪ (−1,+∞); b) (−∞,−2) ∪ (−2,3) ∪ (3,+∞); c) 〈−1,2〉;
d) (−∞,−√3〉 ∪ 〈0,√3〉; e) (−∞,1) ∪ (2,+∞); f) (−∞,−1〉 ∪ {1}; g) ∅;
h) 〈−1,1〉; i) (4,+∞); j) (−1,0)∪(0,+∞); k) uniontextk∈Zparenleftbigkpi,(k+1)piparenrightbig; l) 〈−12, 12〉;
m) (1,3) ∪ (3,+∞); n) (1,3).
2. a) není omezená ani zdola, ani shora; b) omezená zdola; c) omezená shora;
d) omezená.
3. a) lichá; b) sudá; c) ani sudá ani lichá; d) lichá; e) lichá; f) lichá; g) lichá;
h) sudá; i) sudá; j) ani sudá ani lichá; k) sudá.
4. a) 23 pi; b) pi; c) 2; d) 12 pi; e) pi; f) není periodická; g) 2pi; h) 2.
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Limity funkcí
1. Spočtěte:
a) limx→+∞ x
2 + 2x− 1
x3 + 3 ; b) limx→−∞
2x3 − 1
x4 + 1 ; c) limx→+∞
4x2 − 2x + 1
2x2 + 3x− 1 ;
d) limx→−∞ 3x
3 − 2x + 5
x3 + x2 + 1 ; e) limx→+∞
x3 + 2x
x2 + 1 ; f) limx→−∞
2x3 + x2 + 1
x2 + x + 3 ;
g) limx→−∞ x
5 + x3 + 2
2x3 − 1 ; h) limx→−∞
1 −x5
1 + x2 .
2. Spočtěte:
a) limx→−1 x
2 + 2x− 1
x2 + 2x− 2 ; b) limx→2
x2 − 3x + 2
x2 + 1 ; c) limx→2
x2 −x− 2
x2 − 3x + 2 ;
d) limx→3 x− 4x2 − 4x + 3 ; e) limx→−1 x + 2x2 + 2x + 1 ; f) limx→1
parenleftbigg 2
x2 − 1 −
1
x− 1
parenrightbigg
.
3. Spočtěte:
a) limx→+∞ x + 1√x− 1 + 2 ; b) limx→+∞ 3x− 2√x2 − 4 − 2 ; c) limx→−∞ 2x + 1√4x2 − 2 + 1 ;
d) limx→6
√x− 2 − 2
x− 6 ; e) limx→−1
x + 1√
x + 2 − 1 ; f) limx→+∞
√x− 1 +√x + 1
x ;
g) limx→+∞
parenleftBigradicalbig
x2 + 2x−x
parenrightBig
; h) limx→−∞
parenleftBigradicalbig
x2 + 2 + x
parenrightBig
; i) limx→−∞
parenleftBigradicalbig
x2 + 2 −x
parenrightBig
.
4. Spočtěte:
a) limx→+∞ x + sinxx + cosx ; b) lim
x→+pi/2
cos2x
1 − sinx ; c) limx→1
1√
1 −x2 ;
d) limx→−∞ arctgxx ; e) limx→+∞(lnx + cosx); f) limx→−∞ x
2 + xsinx
x + 1 ;
g) limx→−∞(4ex − sinx); h) limx→+∞e2x cosx; i) limx→+∞e−2x cos(3x + 1).
5. Spočtěte:
a) limx→−∞ 3
radicalbig
2x2 + 3x− 5; b) limx→1
radicalbiggx + 1
x− 1 ; c) limx→0sin
1
x ;
d) limx→+∞cos 1x ; e) limx→pi ln2(1 + cosx); f) limx→+∞xe1/x ;
g) limx→+∞ 3e
2x
e2x + 1 ; h) limx→+∞arcsin
1 −x
1 + x ; i) limx→2
x−2√x.
6. Spočtěte limity funkce v hraničních bodech definičního oboru:
a) cosx2x − 1 ; b) arctg 1 + x1 −x ; c) (tghx)1/(x−1) .
Výsledky
1. a) 0; b) 0; c) 2; d) 3; e) +∞; f) −∞; g) +∞; h) +∞.
2. a) 23 ; b) 0; c) 3; d) neexistuje, ∓∞ v 3±; e) +∞; f) −12 .
3. a) +∞; b) 3; c) −1; d) 14 ; e) 2; f) 0; g) 1; h) 0; i) +∞;
4. a) 1; b) −∞; c) nelze počítat, +∞ v 1−; d) 0; e) +∞; f) −∞;
g) neexistuje; h) neexistuje; i) 0.
5. a) +∞; b) nelze počítat, +∞ v 1+; c) neexistuje; d) 1; e) +∞; f) +∞;
g) 3; h) −12 pi; i) neexistuje, 0 v 2−, +∞ v 2+.
6. a) neexistuje v −∞, ±∞ v 0±, 0 v +∞;
b) −14 pi v ±∞, ∓12 pi v 1±;
c) +∞ v 0+ a v 1−, 0 v 1+, 1 v +∞.
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Derivace funkce
1. Spočtěte derivaci funkce:
a) 3x2 − 5x + 1; b) 2√x− 1x ; c) 15√x3 + 2x3 ;
d) xx3 + 1 ; e) (x2 + 1)4 ; f)
radicalbig
x3 + 1.
2. Spočtěte derivaci funkce:
a) 4√xcosx; b) ex sinx; c) x2 ex cosx;
d) x· sinx· arctgx; e) e
x
sinx ; f) cotgx.
3. Spočtěte derivaci funkce
a) sin(2x + 5); b) e−3x+1 ; c) 10x ;
d) ln2 x; e) lntgx; f) arccos 2x− 1√3 ;
g)
radicalbig
ln2 x + 1; h) lncoshx; i) lnlnsinx.
4. Spočtěte derivaci funkce:
a) xx ; b) xsinx ; c) xx2 ;
d)
parenleftbigg x
x + 1
parenrightbiggx
; e) (x2 + 1)cospix .
5. Spočtěte derivaci druhého řádu:
a) xex2 ; b) (x2 + 1)arctgx; c) ln(x +
radicalbig
x2 + 1).
6. Vyjádřete derivaci řádu n;
a) eax ; b) xex ; c) xlnx.
Výsledky
1. a) 6x−5; b) x−1/2+x−2; c) −35 x−8/5−6x−4, x negationslash= 0; d) 1−2x3(x3+1)2 ; e) 8x(x2+1)3;
f) 3x22√x3+1 , x negationslash= −1.
2. a) 14 x−3/4 cosx− 4√xsinx; b) ex sinx+ex cosx; c) 2xex cosx+x2 ex cosx−x2 ex sinx;
d) sinxarctgx + xcosxarctgx + xsinxx2+1 ; e) ex(sinx−cosx)sin2 x ; f) − 1sin2 x .
3. a) 2cos(2x + 5); b) −3e−3x+1; c) 10x ln10; d) 2x lnx; e) 1sinx cosx ;
f) −
√2
√1+2x−2x2 ; g) lnx
x
√
ln2 x+1
; h) tghx; i) funkce není definována pro žádné x.
4. a) xx(lnx+1); b) xsinx(cosx·lnx+sinxx ); c) xx2+1(2lnx+1); d) parenleftbig xx+1parenrightbigxparenleftbig 1x+1+ln xx+1parenrightbig;
e) (x2 + 1)cospixparenleftbig−sinpix·pi · ln(x2 + 1) + cospix· 1x2+1 · 2xparenrightbig.
5. a) 2ex2(2x3 + 3x); b) 2xx2+1 + 2arctgx; c) −x√(x2+1)3 .
6. a) an eax; b) ex(x + n); c) (−1)n (n− 2)!x1−n.
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Aplikace derivací
1. Spočtěte
a) limx→0 sin3xsin4x ; b) limx→1 sinpixlnx ; c) limx→0 e
x − e−x
sinx ; d) limx→1
ln2 x
x− 1 ;
e) limx→1 lnx(x− 1)2 ; f) limx→0 sinh2x3x ; g) limx→+∞ lnxx + 2 ; h) limx→+∞ e
2x
5x + 3 ;
i) limx→+∞ e
x
e2x + 1 ; j) limx→0
arcsinx
x ; k) limx→0
x− arctgx
x3 ; l) limx→+∞
lnx√
x .
2. Spočtěte:
a) limx→0 1 − cosxx2 ; b) limx→+∞ x
3 − 2x2
ex ; c) limx→0
coshx− cosx
x2 ;
d) limx→3 ln(x
2 − 8)
x2 − 3x ; e) limx→+∞
ln(x2 − 8)
x2 − 3x ; f) limx→0
lnsin2x
lnsin3x .
3. Spočtěte:
a) limx→0x3 e−x ; b) limx→0xcotgx; c) limx→+∞x(pi − 2arctgx);
d) limx→1(1 −x)tg pix2 ; e) limx→0+xa lnx (a > 0); f) limx→−∞xn e−x (n ∈ N).
4. Spočtěte:
a) limx→0+xx ; b) limx→1x 11−x ; c) lim
x→pi/2
(sinx)tgx ;
d) limx→+∞xx ; e) limx→+∞
parenleftbigg
cos 1x
parenrightbiggx2
; f) limx→0+(cotgx)sinx .
5. Určete rovnice tečny a normály grafu funkce f v bodě A:
a) f(x) = lnx, A = [1,?]; b) f(x) = 2x2 − 1, A = [12,?].
6. Určete Taylorův polynom řádu n f