Příklady k procvičení Tkadlec

unkce f v bodě a:
a) f(x) = 11 −x , a = 0, n = 3; b) f(x) = arctgx, a = 0, n = 3;
c) f(x) = ln(1 + x), a = 0, n = 4; d) f(x) = k√1 + x (k ∈ N), a = 0, n = 1;
e) f(x) = sinx, a = pi4 , n = 3; f) f(x) = x2 ex+1 , a = −1, n = 3.
Výsledky
1. a) 34 ; b) −pi; c) 2; d) 0; e) neexistuje, ±∞ v 1±; f) 23 ; g) 0; h) +∞;
i) 0; j) 1; k) 13 ; l) 0.
2. a) 12 ; b) 0; c) 1; d) 2; e) 0; f) nelze počítat, 1 v 0+.
3. a) 0; b) 1; c) 2; d) 2pi ; e) 0; f) ∞ pro n sudé, −∞ pro n liché.
4. a) 1; b) 1e ; c) 1; d) +∞; e) e−1/2; f) 1.
5. a) tečna: y = x−1, normála: y = −x+1; b) tečna: y = 2x− 32 , normála: y = −12 x− 14 .
6. a) 1 + x + x2 + x3; b) x − 13 x3; c) x − 12 x2 + 13 x3 − 14 x4; d) 1 + 1k x;
e)
√2
2 +
√2
2 (x−
pi
4)−
√2
4 (x−
pi
4)
2 −√2
12 (x−
pi
4)
3; f) 1−(x+1)− 1
2 (x+1)
2 + 1
6 (x+1)
3.
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Průběh funkce
1. Určete maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce:
a) f(x) = 2x + 1x + 5 ; b) f(x) = x + 1x ; c) f(x) = xx2 + 1 ;
d) f(x) = x2 ex ; e) f(x) = lnx + 1x ; f) f(x) = xlnx;
g) f(x) = ln 1 + x1 −x ; h) f(x) = x− sinx; i) f(x) = e−|x|;
j) f(x) = x3 e−|x|; k) f(x) = 3
radicalbig
1 −x2 ; l) f(x) = (x− 1)|x + 3|.
2. Určete maximum a minimum funkce:
a) f(x) = x3 − 12x + 4, x ∈ 〈−3,3〉; b) f(x) = 2x3 + 3x2 + 1, x ∈ 〈−2,1〉;
c) f(x) = x4 − 8x2 + 3, x ∈ 〈−1,3〉; d) f(x) = x3 − 3x2 + 2, x ∈ 〈−2,3〉;
e) f(x) = arccos 1x , x ∈ 〈1,+∞〉; f) f(x) = xln2 x, x ∈ (0,1〉;
g) f(x) = x + e−x , x ∈ (−∞,+∞); h) f(x) = xe−x , x ∈ (0,+∞);
i) f(x) = xx2 − 1 , x ∈ (−1,1); j) f(x) = xx2 + 1 , x ∈ (−∞,+∞).
3. a) Určete rozměry obdélníku s největším obsahem vepsaného do půlkruhu o poloměru r.
b) Určete rozměry kvádru se čtvercovou podstavou, který má při objemu V nejmenší
povrch.
c) Určete rozměry válce s největším objemem vepsaného do koule o poloměru r.
d) Určete rozměry válce s největším obsahem pláště vepsaného do koule o poloměru r.
4. Určete intervaly konvexity a konkavity a body inflexe funkce:
a) 2x4 − 3x2 + 2x + 2; b) x5 − 10x2 + x + 3; c) x4 + x2 + ex ;
d) xex ; e) (x2 + 1)ex ; f) x + sinx;
g) xx2 + 1 ; h) |x− 1|x2 ; i) 3√x + 3.
5. Určete asymptoty grafu funkce:
a) 2x + 13x− 1 ; b) x + 1x2 + 3x + 2 ; c) x
2 − 2x
x + 1 ; d)
x3 + 1
x− 1 ;
e) x + e−x ; f) xlnx; g) arctg x + 1x− 1 ; h) ln 1 −x1 + x ;
i) ex cosx; j) ln(3e2x − 1).
Výsledky
1. a) na (−∞,−5) a (−5,+∞) rostoucí, lokální extrémy nemá; b) na (−∞,−1〉
a 〈1,+∞) rostoucí, na 〈−1,0) a (0,1〉 klesající, f(−1) = −2 ostré lokální maximum,
f(1) = 2 ostré lokální minimum; c) na (−∞,−1〉 a 〈1,+∞) klesající, na 〈−1,1〉
rostoucí, f(−1) = −12 ostré lokální minimum, f(1) = 12 ostré lokální maximum; d) na
(−∞,−2〉 a 〈0,+∞) rostoucí, na 〈−2,0〉 klesající, f(−2) = 4e−2 ostré lokální maximum,
f(0) = 0 ostré lokální minimum; e) na (0,1〉 klesající, na 〈1,+∞) rostoucí, f(1) = 1
ostré lokální minimum; f) na (0,e−1〉 klesající, na 〈e−1,+∞) rostoucí, f(e−1) = −e−1
ostré lokální minimum; g) na (−1,1) rostoucí, lokální extrémy nemá; h) na
R rostoucí, lokální extrémy nemá; i) na (−∞,0〉 rostoucí, na 〈0,+∞) klesající,
f(0) = 1 ostré lokální maximum; j) na (−∞,−3〉 a 〈3,+∞) klesající, na 〈−3,3〉
rostoucí, f(−3) = −27e−3 ostré lokální minimum, f(3) = 27e−3 ostré lokální maximum;
k) na (−∞,0〉 rostoucí, na 〈0,+∞) klesající, f(0) = 1 ostré lokální maximum; l) na
(−∞,−3〉 a 〈−1,+∞) rostoucí, na 〈−3,−1) klesající, f(−3) = 0 ostré lokální maximum,
f(−1) = −4 ostré lokální minimum.
2. a) maxf = f(−2) = 20, minf = f(2) = −12; b) maxf = f(1) = 6, minf = f(−2) =
= −3; c) maxf = f(3) = 12, minf = f(2) = −13; d) maxf = f(0) = f(3) = 2,
minf = f(−2) = −18; e) maxf neexistuje, minf = f(1) = 0; f) maxf =
= f(e−2) = 4e−2, minf = f(1) = 0; g) maxf neexistuje, minf = f(0) = 1;
h) maxf = f(1) = e−1, minf neexistuje; i) maxf neexistuje, minf neexistuje;
j) maxf = f(1) = 12 , minf = f(−1) = −12 .
3. a) strany √2r a
√2
2 r, obsah r
2; b) krychle s hranami 3√V , obsah povrchu 6 3√V 2;
c) poloměr podstavy radicalbig2/3r, výška 2√3 r, objem 4pi3√3 r3; d) poloměr podstavy
√2
2 r,
výška √2r, obsah pláště 2pir2;
4. a) na (−∞,−12〉 a 〈12,+∞) konvexní, na 〈−12, 12〉 konkávní, inflexe v −12 a 12 ; b) na
(−∞,1〉 konkávní, na 〈1,+∞) konvexní, inflexe v 1; c) na R konvexní, body inflexe
nemá; d) na (−∞,−2〉 konkávní, na 〈−2,+∞) konvexní, inflexe v −2; e) na
(−∞,−3〉 a 〈1,+∞) konvexní, na 〈−3,1〉 konkávní, inflexe v −3 a −1; f) na
〈0 + 2kpi,pi + 2kpi〉 (k ∈ Z) konkávní, na 〈pi + 2kpi,2pi + 2kpi〉 (k ∈ Z) konvexní, inflexe
v kpi (k ∈ Z); g) na (−∞,−√3〉 a 〈0,√3〉 konkávní, na 〈−√3,0〉 a 〈√3,+∞) konvexní,
inflexe v ±√3 a 0; h) na (−∞,0), (0,1〉 a 〈3,+∞) konvexní, na 〈1,3〉 konkávní,
inflexe v 3; i) na (−∞,−3〉 konvexní, na 〈−3,+∞) konkávní, inflexe v −3.
5. a) x = 13 , y = 23 v ±∞; b) x = −2, y = 0 v ±∞; c) x = −1, y = x − 3 v ±∞;
d) x = 1; e) y = x v +∞; f) nemá; g) y = pi4 v ±∞; h) x = ±1; i) y = 0
v −∞; j) x = −12 ln3, y = 2x + ln3 v +∞.
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Neurčitý integrál
1. Spočtěte (využijte linearitu a tabulkové integrály):
a)
integraldisplay
(x3 − 2x2 − 3) dx; b)
integraldisplay x3 −x + 4
x2 dx; c)
integraldisplay 2x− 5
x5 dx;
d)
integraldisplay
4√x dx; e)
integraldisplay
5√x3 dx; f)
integraldisplay dx
3√x ;
g)
integraldisplay
(3ex + 4sinx) dx; h)
integraldisplay
2cosx dx; i)
integraldisplay 2x2 + 5
x2 + 1 dx.
2. Spočtěte (využijte lineární substituce):
a)
integraldisplay
(3x− 4)6 dx; b)
integraldisplay dx
3x− 1 ; c)
integraldisplay dx
(2x + 1)5 ;
d)
integraldisplay
4√2 −x dx; e)
integraldisplay
2cos3x dx; f)
integraldisplay parenleftbig
3sin x3 − cos x2parenrightbig dx;
g)
integraldisplay
(5e2x + 3e−x) dx; h)
integraldisplay
(3x + 3 · 2−2x) dx.
3. Spočtěte (využijte vyjádření pomocí dvojnásobného argumentu):
a)
integraldisplay
sin2 x dx; b)
integraldisplay
cos2 x dx.
4. Spočtěte (využijte metodu per partes):
a)
integraldisplay
(x− 2)sin2x dx; b)
integraldisplay
(x + 1)cos x3 dx; c)
integraldisplay
(3x− 1)e3x dx;
d)
integraldisplay
(x +√x)lnx dx; e)
integraldisplay lnx
x2 dx; f)
integraldisplay
(x2 −x)sin x2 dx;
g)
integraldisplay
(x2 + x + 1)e−x dx; h)
integraldisplay
ln2 x dx; i)
integraldisplay
xln3 x dx.
5. Spočtěte (využijte metodu per partes a řešte rovnici):
a)
integraldisplay
e2x cos x3 dx; b)
integraldisplay
e−x sin2x dx; c)
integraldisplay lnx
x dx.
6. Spočtěte pomocí vhodné substituce:
a)
integraldisplay x + 1
x2 + 2x + 4 dx; b)
integraldisplay 2x2
x3 − 1 dx; c)
integraldisplay
cotg2x dx;
d)
integraldisplay
2x(x2 − 1)4 dx; e)
integraldisplay
xex2+1 dx; f)
integraldisplay
x
radicalbig
1 −x2 dx;
g)
integraldisplay
6x2
radicalbig
1 + x3 dx; h)
integraldisplay x2
√x3 + 8 dx; i)
integraldisplay 4x + 4
3√x2 + 2x + 2 dx;
j)
integraldisplay
sin7 x· cosx dx; k)
integraldisplay
sinx· cos4 x dx; l)
integraldisplay ln3 x
x dx.
Výsledky
1. a) 14 x4 − 23 x3 − 3x + c, x ∈ R; b) 12 x2 − ln|x|− 4x + c, x ∈ (−∞,0), x ∈ (0,+∞);
c) − 23x3 + 54x4 +c, x ∈ (−∞,0), x ∈ (0,+∞); d) 45 4√x5+c, x ∈ (0,+∞); e) 58 5√x8+c,
x ∈ R; f) 32 3√x2 + c, x ∈ (−∞,0), x ∈ (0,+∞); g) 3ex − 4cosx + c, x ∈ R;
h) −2sinx + c, x ∈ R; i) 2x + 3arctgx + c, x ∈ R.
2. a) 121 (3x − 4)7 + c, x ∈ R; b) 13 ln|3x − 1| + c, x ∈ (−∞, 13), x ∈ (13,+∞);
c) −18(2x+1)4 + c, x ∈ (−∞,−12), x ∈ (12,+∞); d) −45 4radicalbig(2 −x)5 + c, x ∈ (−∞,2);
e) 23 sin3x+c, x ∈ R; f) −9cos x3 −2sin x2 +c, x ∈ R; g) 52 e2x −3e−x +c, x ∈ R;
h) 1ln3 3x − 32ln2 2−2x + c, x ∈ R.
3. a) 12 (x− 12 sin2x) + c, x ∈ R; b) 12 (x + 12 sin2x) + c, x ∈ R.
4. a) −12 (x − 2)cos2x + 14 sin2x + c, x ∈ R; b) 3(x + 1)sin x3 + 9cos x3 + c, x ∈ R;
c) 13 (3x − 2)e3x + c, x ∈ R; d) (12 x2 + 23√x3 )lnx − 14 x2 − 49√x3 + c, x ∈ (0,+∞);
e) −1x (lnx + 1) + c, x ∈ (0,+∞); f) −2(x2 − x − 8)cos x2 + 4(2x − 1)sin x2 + c,
x ∈ R; g) −(x2 + 3x + 4)e−x + c, x ∈ R; h) x(ln2 x−2lnx + 2) + c, x ∈ (0,+∞);
i) x2 (12 ln3 x− 34 ln2 x + 34 lnx− 38) + c, x ∈ (0,+∞).
5. a) 337 (sin x3 + 6cos x3)e2x + c, x ∈ R; b) −15 (sin2x + 2cos2x)e−x + c, x ∈ R;
c) 12 ln2 x + c, x ∈ (0,+∞).
6. a) 12 ln(x2 + 2x + 4) + c, x ∈ R; b) 23 ln|x3 − 1| + c, x ∈ (−∞,1), x ∈ (1,+∞);
c) 12 ln|sin2x| + c, x ∈ (0 + k pi2, pi2 + kpi2), k ∈ Z; d) 15 (x2 − 1)5 + c, x ∈ R;
e) 12 ex2+1 + c, x ∈ R; f) −13radicalbig(1 −x2)3 + c, x ∈ (−1,1); g) 43radicalbig(x3 + 1)3 + c,
x ∈ (−1,+∞); h) 23√x3 + 8 + c, x ∈ (−2,+∞); i) 3 3radicalbig(x2 + 2x + 2)2 + c, x ∈ R;
j) 18 sin8 x + c, x ∈ R; k) −15 cos5 x + c, x ∈ R; l) 14 ln4 x + c, x ∈ (0,+∞).
Matematika 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 27.1.2006)
Integrace racionálních funkcí a dalších typů funkcí
1. Spočtěte:
a)
integraldisplay x3 − 2x + 5
x2 −x− 2 dx; b)
integraldisplay 2x + 1
(x− 1)(x2 + 3x + 2) dx;
c)
integraldisplay x2 + 7x + 1
(x− 1)(x2 + x− 2) dx; d)
integraldisplay dx
(x + 2)(x2 + 4x + 4) ;
e)
integraldisplay 3x− 2
x4 −x3 dx; f)
integraldisplay x4 + x3 +