Další příklady Bednařík

Příklad
Podjakýmúhlem α jenutnovrhnoutkouli,abydopadlaconejdálenanakloněnourovinusesklonem
β?(Odporvzduchuzenedbejte)
x
y
v
0
α
β
D
O
Obrázek1:Vrhnanakloněnourovinu.
Řešení
Pohybjemožnérozložit,takžepohybsedějepodlenásledujícíchrovnic
x=v
0
tcosα, (1)
y=v
0
tsinα −
1
2
gt
2
. (2)
KuledopadnedoboduD nanakloněnourovinuvpřípadě,žebudeplatitrovnice
y=xtanβ. (3)
Dosadímezay dorovnice(2)zrovnice(3),apakprookamžikdopadumůžemepsát
t
d
=
2v
0
g
(sinα −tanβcosα)(4)
Pro x-ovousouřadniciboduD dostáváme
x
d
=
2v
2
0
g
(sinαcosα −tanβcos
2
α). (5)
Hledámeextrémfunkce x
d
(α)podleúhluα,tj.
dx
d
dα
=
2v
2
0
g
(cos2α −tanβsin2α)=0. (6)
Odtud
cos2α −tanβsin2α=0, (7)
takžeúpravouvztahu(7)dostávámepodmínku(tutopodmínkumůžemejižbrátjakořešeníúlohy)
tan2α=−cotanβ. (8)
Zpodmínky(8)dostáváme,že
α=
π
4
+
β
2
. (9)
1
Příklad
Zochozuvěžeovýšce h bylystejnýmdělemvystřelenydvěkoule,jednapodúhlem α
1
adruhápod
úhlem α
2
.Oběvystřelenékouledopadlydostejnéhomísta.Určetevzdálenost d místadopaduobou
koulíodpatyvěžeapočátečnírychlost v
0
koulí,vizobrázek2.
h
d
Obrázek2:Koulevystřelenézochozuvěže.
Řešení
Nechť t
1
a t
2
jsoudobyletukaždézkoulí.Vzhledemktomu,žekoulemajídopadnoutzestejnéhodo
stejnéhomísta,můžemenapsatnásledujícíčtyřirovnice
d=v
0
t
1
cosα
1
, (10)
d=v
0
t
2
cosα
2
, (11)
0=h+v
0
t
1
sinα
1
−
1
2
gt
2
1
, (12)
0=h+v
0
t
2
sinα
2
−
1
2
gt
2
2
, (13)
kdeneznáméjsout
1
,t
2
,v
0
ad.
Řešenímtétosoustavydostáváme
d=htan(α
1
+α
2
)av
2
0
=
gh
2
sin(α
1
+α
2
)tan(α
1
+α
2
)
cosα
1
cosα
2
. (14)
Příklad
Částiceohmotnostim=2kgsepohybujevčasovězávislémsilovémpoli
F=(24t
2
,3t−16,−12t) (15)
Počátečnípodmínkyjsou
r(t=0)=r
0
=(3,−1,4), (16)
v(t=0)=v
0
=(6,15,−8). (17)
Určete:
1.Kinetickouenergiivčaset=1sat=2s.
2.Práci,kterouvykonápole,abypřemístiločásticizmístar
1
=r(t=1s)domístar
2
=r(t=2s).
2
Řešení
1.Jelikožplatí,žeF=ma=m(dv/dt),potom
v(t)=
integraldisplay
F
m
dt+v
0
. (18)
Dosazenímvztahů(15)a(17)dorovnosti(18)anáslednouintegracídostaneme
v(t)=
parenleftbigg
4t
3
,
3
4
t
2
−8t,−3t
2
parenrightbigg
+(6,15,−8). (19)
Zevztahu(19)prozvolenéčasyurčíme,že
v(t=1s)=
parenleftbigg
10,7
31
4
,−11
parenrightbigg
m/s, (20)
v(t=2s)=(38,2,−20) m/s. (21)
Kinetickáenergie
T =
1
2
mv
2
=
1
2
mv
2
. (22)
Dosazenímrychlostí(20)a(21)dovztahu(22)dostáváme
T
1
=0,281 kJ,T
2
=1,848 kJ. (23)
2.Práce,kterouvykonápolejerovnarozdílukinetickýchenergií(23)
A=T
2
−T
1
=1,848−0,281=1,567 kJ. (24)
Příklad
Závažíohmotnosti m
1
jezavěšenonakonciprovazu.Nadruhémkonciprovazujezavěšenčlověko
hmotnosti m
2
,kterýšplhásměremvzhůru,vizobrázek3.Jehozrychlenívzhledemkpevněuchycené
kladcejea.Určetezrychlenízávaží a
Z
anapětílanaT (sílanapínajícílano).
m
1
m
2
e
T
T
Obrázek3:Kladkasezávažímašplhajícímčlověkem.
3
Řešení
Pohybovárovnicečlověka
−m
2
· ae=m
2
ge− Te . (25)
Pohybovárovnicezávaží
−m
1
· a
Z
e=m
1
ge− Te . (26)
Pohybovérovnice(25)a(26)představujísoustavudvourovnicprodvěneznámé T a a
Z
.Řešením
soustavydostaneme,že
T =m
2
(a+g), (27)
a
Z
=g −
T
m
1
=g −
m
2
m
1
(a+g)=
(m
1
− m
2
)g − m
2
a
m
1
. (28)
Příklad
Tělesoohmotnostim=2·10
4
gkonáharmonickékmitypodélosy x.Propočátečnípodmínky
x
0
=x(t=0)=400cm,v
0
=v(t=0)=−150cm.s
−1
,a
0
=a(t=0)=−1000cm.s
−2
nalezněte
1.polohuvčaset,
2.amplitudu D,perioduT akmitočetvibracíf,
3.vratnousílu,kterápůsobívčaset=π/10s.
Řešení
1. Pohybovárovniceuvažovanéhotělesaje
F
v
=ma . (29)
ProvratnousíluF
v
platí,že
F
v
=−kx , (30)
odtud
k=−
F
v
x
=−
ma
x
. (31)
Provlastníkruhovýkmitočetplatí,že
ω
2
0
=
k
m
. (32)
Dosazenímzevztahu(31)dorovnice(32)dostaneme
ω
2
0
=−
a
x
=−
a
0
x
0
=2,5s
−2
(33)
neboli
ω
0
=
1
2
√
10s
−1
. (34)
Pohybovárovnicenetlumenéhoharmonickéhooscilátoruje
¨x+ω
2
0
x=0, (35)
4
jejížobecnéřešenímůžemevyjádřitjako
x(t)=Acosω
0
t+Bsinω
0
t, (36)
kde AaB jsouintegračníkonstanty,kteréurčímezokrajovýchpodmínekvzadání,tj.
x
0
=A=4m. (37)
Derivacívýchylky(35)podlečasudostaneme,že
v(t)≡ ˙x(t)=−ω
0
Asinω
0
t+ω
0
Bcosω
0
t, (38)
takže
v
0
=ω
0
B ⇒ B=
v
0
ω
0
=
−1,5
2,5
=−0,6m.s
−1
. (39)
Přepíšemeřešení(36)dotvaru
x(t)=Dsin(ω
0
t −ϕ), (40)
kde
D=
√
A
2
+B
2
=
radicalBigg
x
2
0
+
v
2
0
ω
2
0
=4,044m,ϕ=arctan
A
B
=arctan
x
0
ω
0
v
0
=−1,422. (41)
Dosazenímdovztahu(40)hodnoty(34)a(41)dostanemevyjádřeníčasovézávislostivýchylky
nebolipolohyvčaset
x(t)=4,044sin
parenleftbigg
1
2
√
10t+1,422
parenrightbigg
. (42)
2.Amplituda D=4,044m,periodaakmitočetvychází
T =
2π
ω
0
=3,97s,f=
1
T
=0,252Hz.
3.Provratnousíludostáváme,že
F
v
=m¨x=−mDω
2
0
sin(ω
0
t −ϕ)=−20·4,044·2,5sin
parenleftbigg
1
2
√
10t+1,422
parenrightbigg
=
−202,2sin
parenleftbigg
1
2
√
10t+1,422
parenrightbigg
. (43)
Takže
F
v
parenleftBig
t=
π
10
parenrightBig
=202,2sin
parenleftbigg
1
2
√
10
π
10
+1,422
parenrightbigg
=−190,08N. (44)
Příklad
Závažíohmotnostim=20gjezavěšenonanehmotnoupružinu,kterásetímtoprodloužío6cm.
1.Určetepolohuzávažívlibovolnémčasovémokamžiku,jestliževčase t =0sbylapružinase
závažímnataženao2cmapakuvolněna.
2.Nalezněteamplitudu D,perioduT akmitočetvibracíf.
5
Řešení
1. Pohybovárovniceuvažovanéhotělesaje
F
v
=−mg . (45)
ProvratnousíluF
v
platí,že
F
v
=−kx , (46)
odtud
k=−
F
v
x
=
mg
x
. (47)
Provlastníkruhovýkmitočetplatí,že
ω
2
0
=
k
m
. (48)
Dosazenímzevztahu(47)dorovnice(48)dostaneme
ω
2
0
=
g
x
=
9,81
0,06
=163,5s
−2
(49)
neboli
ω
0
=12,8s
−1
. (50)
Pohybovárovnicenetlumenéhoharmonickéhooscilátoruje
¨x+ω
2
0
x=0, (51)
jejížobecnéřešenímůžemevyjádřitjako
x(t)=Acosω
0
t+Bsinω
0
t, (52)
kde AaB jsouintegračníkonstanty,kteréurčímezokrajovýchpodmínek.
x(t=0)=−0,02 ⇒ A=−0,02m. (53)
Derivacívýchylky(51)podlečasudostaneme,že
v(t)≡ ˙x(t)=−ω
0
Asinω
0
t+ω
0
Bcosω
0
t. (54)
Protožev(t=0)=0m/s,takplatí
v(t=0)=0=ω
0
B ⇒ B=0m.s
−1
. (55)
Takžezeznalostiintegračníchkonstantdostanemezřešení(52)rovnicivýchylky
x(t)=Acosω
0
t=−0.02cos(12,8t). (56)
2.Proamplitudu,perioduakmitočetdostáváme
D=0,02m,T=
2π
ω
0
=0,491s,f=
1
T
=2,035Hz.
6
Příklad
Vodivákuličkaopoloměru r
1
=3mmjenabitavolnýmnábojemplošnéhustoty σ
1
=−2·10
−3
C.m
−2
anadruhékuličceopoloměrur
2
=2mmjevolnýnábojoplošnéhustotěσ
2
=5·10
−2
C.m
−2
.
Stanovte
1.VelikostsílyF
1
,kterounasebekuličkypůsobí(vzdálenostjejichstředůjer=1m,prostředímá
relativnípermitivitu ε
r
=2).
2.VelikostsílyF
2
,kteroubykuličkynasebepůsobily,kdybychomjepoelektrickémdotykuumístili
vtomtéžprostředínapůvodnímísto.
(ε
0
=8,854·10
−12
F/m)
Řešení
Elektrostatickésilovépůsobenímezinabitýmitělesykulovéhotvarujestejnéjakomezibodovýmináboji
umístěnýmivestředukoulí.
1.Celkovýnábojprvníkapičkyje
Q
1
=
integraldisplay
S
σ
1
dS=σ
1
4πr
2
1
=−2,262·10
−7
C (57)
acelkovýnábojdruhékapičkyje
Q
2
=
integraldisplay
S
σ
2
dS=σ
2
4πr
2
2
=2,513·10
−6
C. (58)
Přitažlivásíla
F
1
=
1
4πε
0
ε
r
Q
1
Q
2
r
2
=
1
4π8,854·10
−12
. ·2
−2,262·10
−7
·2,513·10
−6
1
2
=2,554·10
−3
N. (59)
2.PodotykukuličekaopětovnémrozděleníbudemítkaždázuličekstejnýnábojQ=(Q
1
+Q
2
)/2=
1,1435·10
−6
C.
Odpudivásíla
F
2
=
1
4πε
0
ε
r
Q ·Q
r
2
=
1
4π8,854·10
−12
. ·2
1,1435·10
−6
·1,1435·10
−6
1
2
=5,88·10
−3
N. (60)
Příklad
Jakoupráci A vykonásílahomogenníhoelektrickéhopolepřiposunutíbodovéhonáboje Q=5mCo
dráhus=0,15mvesměruskloněnémoúhelα=45
◦
odsměrutohotopole,jehožintenzitamávelikost
E =2·10
5
V/m.
Řešení
Prácejedánavztahem
A=Fscosα=EQssin
parenleftBig
π
4
parenrightBig
=2·10
5
·5·10
−3
·0,15·
√
2
2
=106,1J.
7
m
v
O
x
y
L
2
L
2
S
d
Obrázek4:Hokejovýpuknárážínatyč.
Příklad
TenkátyčohmotnostiM adélkyLsenacházínarovinnépodložceležícívrovině(x, y).Třenímezityčí
apodložkouzanedbáme.Hokejovýpukhmotnosti m arychlostiv narazídokonalepružně(přisrážce
nedocházíkeztrátěmechanickéenergie)dotyčepodúhlem90
◦
vevzdálenosti d odjejíhohmotného
středu.Ponárazujepukvklidu.Popištepohybtyče.
Řešení
Ponárazupukubudetyčkonatjakposuvný,takotáčivýpohyb.Zezákonazachováníhybnostiplatí,že
P
s
=Mv
s
=mv , (61)
kdeP
s
,jehybnosthmotnéhostředuav
s
jehorychlost,vjevelikostrychlostipukuamjejehohmotnost.
Zevztahu(61)vyplývá,že
v
s
=
mv
M
. (62)
Zezákonazachovánímomentuhybnostiplatí,že
L
bardbl
s
=J
s
ω=mvd . (63)
Odtud
ω=
mvd
J
s
, (64)
kdepromomentsetrvačnostivzhledemkosekolmékrovině(x, y)aprocházejícíhmotnýmstředem,
kterýjepronížeuvedenývýpočetumístěndopočátkusouřadnic,dostáváme,že
J
s
=
integraldisplay
m
r
2
dm=
integraldisplayintegraldisplayintegraldisplay
V
ρr
2
dV =Sρ
integraldisplay
L/2
−L/2
x
2
dx=Sρ
bracketleftbigg
x
3
3
bracketrightbigg
L/2
−L/2
=
=V
bracehtipdownleftbracehtipuprightbracehtipupleftbracehtipdownright
SL ρ
bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
=M
L
2
12
=
1
12
ML
2
. (65)
Takžepod