Další příklady Bednařík

osazenívztahu(65)dovztahu(64)dostaneme,že
ω=
12mvd
ML
2
. (66)
Tedyhmotnýstředtyčesebudepohybovatstejnoměrněrychlostí v
s
podélosy y,zatímcotyčbude
současněrotovatúhlovourychlostí ω kolemhmotnéhostředu.
8
Příklad
Většíkapkakulovéhotvaruvzniklaspojenímšestimenšíchkulovýchkapiček,znichžkaždámělapoloměr
r =1,5mmaneslanábojQ =2·10
−10
C.Vypočítejtepotenciál ϕ vzniklékapky,jestližesekapka
nalézávevzduchu(ε
r
similarequal1,ε
0
=8,854·10
−12
F/m)apotenciálvnekonečnumánulovouhodnotu.(7b)
Řešení
Spojenímšestikapičekoobjemu
V =
4
3
πr
3
(67)
vzniknekapkaoobjemu
V
prime
=
4
3
πr
prime3
=6V =
4
3
πr
3
. (68)
Odtudmůžemeurčitpoloměrvzniklékapky
r
prime
=6
1
3
r. (69)
NábojkapkybudeQ
prime
=6Q,takže
ϕ=
1
4πε
0
ε
r
6Q
6
1
3
r
=
1
4π ·8,854·10
−12
·.1
6·2·10
−10
6
1
3
·1,5·10
−3
=3,96·10
3
V. (70)
Příklad
ProjektilohmotnostiM zaletuexplodujeapřiexploziserozdělínatřičásti.Jednačástohmotnosti
m
1
=M/2sepohybujevpůvodnímsměruprojektilu,prostředníčástohmotnostim
3
=M/3zůstáváv
kliduatřetíčástohmotnostim
2
=M/6sepohybujevopačnémsměrunežbylsměrpohybuprojektilu.
Energieuvolněnápřiexplozijerovnapětinásobkukinetickéenergieprojektilupřiexplozi.Jakéjsou
rychlostitěchtotříčástíprojektilu?(7b)
Řešení
NechťrychlostprojektiluohmotnostiM jev.Třičástitohotoprojektilumajítedynásledujícíhmotnosti
arychlosti.
m
1
=M/2,v
1
=k
1
v-vesměrupohybu, k
1
>0
m
2
=M/6,v
2
=−k
2
v-vopačnémsměru,k
2
>0
m
1
=M/3,v
3
=0-vklidu
Zezákonazachováníhybnostiaenergievyplývá
Mv=
M
2
k
1
v −
M
6
k
2
v (71)
E+
1
2
Mv
2
=
1
2
M
2
(k
1
v)
2
+
1
2
M
6
(k
2
v)
2
(72)
Zrovnice(71)vyplývá,že k
2
=3k
1
−6,coždosadímedorovnice(72)
5
parenleftbigg
M
2
v
2
parenrightbigg
+
1
2
Mv
2
=
Mv
2
4
k
2
1
+
Mv
2
12
(3k
1
−6)
2
, (73)
kteráseredukujena
k
2
1
−3k
1
=0 ⇒ k
1
=0ak
1
=3. (74)
9
Pro k
1
=0jek
2
=−6,cožjenekonzistentníspředpokladem,že k
2
>0.Pro k
1
=3jek
2
=3.Takže
prohledanérychlostiplatí
v
1
=3v (75)
v
2
=−3v (76)
v
3
=0 . (77)
Příklad
Spočtětepráci,kteroujenutnovykonatpřipřemístěnítělesaohmotnostimponakloněnérovinědélky
l asklonuα,kdyžsoučiniteltřeníjeµ.Uvažujtepohybnahoruidolů.
Řešení
A
1
=mgl(µcosα+sinα),A
2
=mgl(µcosα −sinα),A=A
1
+A
2
=2mgµlcosα.
Příklad
Spočtětecentrálníizotropnísilovépole(sílu),je-lizadánajehopotenciálníenergieU =
1
2
kr
2
,kdek>0
jekonstantaasouřadnice r=
radicalbig
x
2
+y
2
+z
2
.
Řešení
F=−∇U =−∇
1
2
k(x
2
+y
2
+z
2
)=(−kx,−ky,−kz)=−k(x, y, z)=−kr .
Příklad
Pohyb hmotnéhobodu M jeurčenrovnicemi x = acosωt a y = bsinωt.Určetevelikostrychlosti
hmotnéhobodu.
Řešení
v
x
=˙x=−ωasinωt=−
ωa
b
y, v
y
=˙y=ωbcosωt=
ωb
a
x.
Takže
v=
radicalBig
v
2
x
+v
2
y
=ω
radicalbig
a
2
sin
2
ωt+b
2
cos
2
ωt=
ω
ab
radicalbig
b
4
x
2
+a
4
y
2
.
Příklad
Určetepráci,kterouvznikásilovépoleF=(F
x
,F
y
)=(y,−x)připřemístěnítělesazbodu A =[0,0]
doboduB=[2,4]poparaboley=x
2
.
Řešení
A=
integraldisplay
B
A
F·dr=
integraldisplay
2
0
F
x
dx+
integraldisplay
4
0
F
y
dy=
integraldisplay
2
0
ydx −
integraldisplay
4
0
xdy.
Zaxay dosadímedointegrálůzrovniceparaboly,tj.
A=
integraldisplay
2
0
x
2
dx −
integraldisplay
4
0
√
ydy=
bracketleftbigg
x
3
3
bracketrightbigg
2
0
−
bracketleftbigg
y
3/2
3/2
bracketrightbigg
4
0
=
8
3
−
16
3
=−
8
3
J.
10
Příklad
Vypočítejtemomentysetrvačnostirotačníhoválce,vizobrázek5,vzhledemkjehorotačníose(J
z
)a
vzhledemkosejdoucíjehostředemkolmokrotačníose(J
x
).PoloměrválcejeR,výškajehahustota
válceje ρ.
x
y
z
h
R
Obrázek5:Výpočetmomentůsetrvačnostíprorotačníválec.
Řešení
Hmotuválcerozdělímenatenkésouoséválcovéslupky.Hmotatakovéhoelementujedm = ρh2πrdr.
Promoment J
z
můžemepsát
integraldisplay
r
2
dm=2πρh
integraldisplay
R
0
r
3
dr=2πρh
R
4
4
=
1
2
mR
2
, (78)
kde m=ρV =ρ=πR
2
h.
Moment J
x
vypočtemejako
J
x
=2ρ
integraldisplay h
2
0
integraldisplay
2π
0
integraldisplay
R
0
bracketleftbig
(rsinϕ)
2
+z
2
bracketrightbig
rdrdϕdz=2ρ
integraldisplay h
2
0
integraldisplay
2π
0
parenleftbigg
R
4
4
sin
2
ϕ+
R
2
2
z
2
parenrightbigg
dϕdz=
ρR
integraldisplay h
2
0
integraldisplay
2π
0
bracketleftbigg
R
2
4
(1−cos2ϕ)+z
2
bracketrightbigg
dϕdz=2ρπR
2
integraldisplay h
2
0
parenleftbigg
R
2
4
+z
2
parenrightbigg
dz=
1
4
ρπR
2
h
parenleftbigg
(R
2
+
h
2
3
parenrightbigg
=
1
4
m
parenleftbigg
R
2
+
h
2
3
parenrightbigg
. (79)
Příklad
Setrvačníktvaruválceoprůměru d=0,1mahmotěm=0,5kgjeroztočenprovazemdélky L=0,6
mnavinutýmnaválecanapínanýsilouF =15N.Vypočítejtedosaženouúhlovourychlost ω.
11
Řešení
PrácevykonanásilouF jerovnakinetickéenergiiválce,tj.
FL=
1
2
Jω
2
. (80)
Odtud
ω=
radicalbigg
2FL
J
. (81)
Promomentsetrvačnostiválceplatí,že
J =
1
2
mr
2
=
1
2
m
d
2
4
=
1
8
md
2
. (82)
DosadímezaJ zevztahu(82)dovztahu(81)
ω=
radicalbigg
16FL
md
2
=169,7rad/s. (83)
Příklad
Naleznětezávislostdráhynačasehmotnéhostředuplnéhoválce,kterýsevalíponakloněnérovině,
kterásvíráshorizontálnírovinouúhelα,vizobrázek6.
xx
y
y
s
α
O
r
h+r
Obrázek6:Válecpohybujícíseponakloněnérovině.
Řešení
PříkladmůžemevyřešitpomocíLagrangeovyrovnicedruhéhořádu.Jednáseoúlohusjednímstupněm
volnosti.Jakozobecněnouproměnoupoužijemevzdálenost s,kterouválecurazíponakloněnérovině.
Zobrázku6vyplývajínásledujícípřevodnívztahy
x=scosα, (84)
y=ssinα (85)
a
ω=
˙s
r
, (86)
kde r jepoloměrválce.
Prokinetickouenergiivalícíhoseválceplatí,že
T =
1
2
mv
2
+
1
2
Jω
2
=
1
2
m(˙x
2
+˙y
2
)+
1
2
Jω
2
, (87)
12
kdemomentsetrvačnostiválcekolemrotačníosyje
J =
1
2
mr
2
. (88)
Zderivujemepodlečasuvýrazy(84)a(85)
˙x=˙scosα, (89)
˙y=˙ssinα. (90)
Zevztahů(89),(90),(88)a(86)dosadímedovztahu(87)
T =
1
2
m(˙s
2
cos
2
α+˙s
2
sin
2
α)+
1
2
1
2
mr
2
˙s
2
r
2
=
1
2
m˙s
2
(sin
2
α+cos
2
α)+
1
4
m˙s
2
=
3
4
m˙s
2
. (91)
Propotenciálníenergiidostáváme,že
U =mg(h− y)=mgh − mgssinα, (92)
kde h jepočátečnívýškaválcenadvodorovnourovinou,prokterouplatí,ženanímáválecnulovou
potenciálníenergii.
Lagrangeovafunkcebudemíttvar
L=T − U =
3
4
m˙s
2
− mgh+mgssinα. (93)
Lagrangeovarovnicedruhéhobudemíttvar
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙s
parenrightbigg
−
∂L
∂s
=0. (94)
Platí,že
∂L
∂˙s
=
3
2
m˙s. (95)
Odtud
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙s
parenrightbigg
=
3
2
m¨s. (96)
Dále
∂L
∂s
=mgsinα. (97)
Výrazy(96)a(97)dosadímedoLagrangeovyrovnice(94)
3
2
m¨s −mgsinα=0, (98)
kterouupravímedotvaru
¨s −
2
3
gsinα=0. (99)
Rovnice(99)představujepohybovourovnicivalícíhoseválceponakloněnérovině.
Časovouintegracírovnice(99)dostaneme,že
v(t)=˙s=
2
3
gtsinα+C
1
, (100)
13
kdeC
1
představujeintegračníkonstantu,kterájerovnanulenazákladěpočátečnípodmínkyv(t=0)=
0.
Opětzintegrujemepodlečasurovnici(100)
s(t)=
1
3
gt
2
sinα+C
2
, (101)
kdeC
2
představujeintegračníkonstantu,kterájerovnanulenazákladěpočátečnípodmínkys(t=0)=
0,takžezávislostdráhybudemítkonečnýtvar
s(t)=
1
3
gt
2
sinα. (102)
Příklad
Tělesoohmotnosti m sepohybujevrovině x, y podlerovnic x = Acosωt, y = Bsinωt,kdeA, B a
ω jsoukladnékonstanty.Určetevelikostsíly F působícínatělesoapojakékřivcesebudetototěleso
pohybovat.
Řešení
Propolohovývektorr,vektorrychlostivvektorzrychlení vekaplatí
r=Acosωti+Bsinωtj , (103)
v=
dr
dt
=−Aωsinωti+Bωcosωtj , (104)
a=
dv
dt
=
d
2
r
dt
2
=−Aω
2
cosωti− Bω
2
sinωtj . (105)
Velikostzrychlení a=|a|jerovna
a=
radicalBig
a
2
x
+a
2
y
=
radicalbig
(−Aω
2
cosωt)
2
+(−Bω
2
sinωt)
2
=ω
2
radicalbig
x
2
+y
2
(106)
aprosílupůsobícínauvažovanýboddostáváme,že
F =ma=mω
2
radicalbig
x
2
+y
2
. (107)
Protožeobecněplatí,že
parenleftBig
x
A
parenrightBig
2
+
parenleftBig
y
B
parenrightBig
2
=sin
2
ωt+cos
2
ωt=1, (108)
tudížsetělesopohybujepropřípadA negationslash=B setělesopohybujepoelipse,vizobr.8.
x=Acosϕ, y=Bsinϕ, tanϕ=
B
A
tanωt . (109)
Příklad
Tělesoohmotnostim
1
=0,25kgjeumístěnonavodorovnépodložceajevláknempřipevněnokvolněvi-
sícímutělesuohmotnostim
2
=0,2kgpřespevnoukladku(plnýhomogennídisk)ohmotnostim=0,15
kg.Koeficientsmykovéhotřeníprvníhotělesaopodložkuje µ=0,2.Určetezrychlení a pohybuobou
tělesatahovésílyT
1
aT
2
vevlákně,přičemžzanedbejtehmotnostvláknaatřenípřiotáčeníkolakladky.
14
A
B
ϕ
F
x
y
[x, y]
Obrázek7:Zachycenísituace.
Řešení
Rovnicepopisujícípohyboboutělesakladkymůžemezapsatnásledujícímzpůsobem
m
1
a=T
1
−F
t
, (110)
m
2
a=m
2
g − T
2
, (111)
(T
2
−T
1
)R=Jε , (112)
kde g jetíhovézrychleníaprotřecísílu F
t
,momentsetrvačnostikladky J aúhlovézrychlení εkladky
platí
F
t
=µm
1
g, (113)
J =
mR
2
2
, (114)
ε=
a
R
. (115)
Dosazenímvztahů(113),(114),(115)dopohybovýchrovnic(110),(111)a(112)dostaneme
T
1
=m
1
(µg+a), (116)
T
2
=m
2
(g − a), (117)
2(T
2
−T
1
)=ma . (118)
Vyřešenímsoustavyrovnic(116),(117)a(118)obdržíme
a=
2g(m
2
− µm
1
)
2m
1
+2m
2
+m
=2,8m/s
2