- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
na test
ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálový (normovaný) vektor, jestliže |x| = 1.
Ortogonální vektory
Vektory x, y z vektorového prostoru Rn se nazývají vzájemně ortogonální (kolmé), jestliže x.y = 0.
Vektory x1, x2, … , xk tvoří ortogonální skupinu vektorů, jestliže každé dva různé vektory z této skupiny jsou navzájem ortogonální, tj. jestliže xi.xj = δij |xi|2, kde δij je tzv. Kroneckerův symbol, pro který platí: -> δij = 1 pro i = j
-> δij = 0 pro i ≠ j
Skupina nenulových vzájemně ortogonálních vektorů x1, x2, … , xk je vždy lineárně nezávislá.
Ortonormální báze vektorového prostoru
Báze x1, x2, …, xm podprostoru S vektorového prostoru Rn , m ≤ n, se nazývá ortogonální, jestliže vektory x1, x2, …, xm tvoří ortogonální skupinu vektorů. Jsou-li navíc x1, x2, …, xm jednotkové v., nazýváme tuto bázi ortonormální bází S.
Gramm-Schmidtova ortogonalizace
Každý netriviální (nenulový) podprostor S vektorového prostoru Rn má ortogonální bázi.
Ortogonální doplněk množiny v Rn
Nechť S je podmnožina Rn . Ortogonálním doplňkem množiny S ve vektor. prostoru Rn nazveme množinu všech vektorů
x € Rn , které jsou ortogonální ke všem vektorům množiny S => S = { x € Rn; x.s = 0 pro všechny vektory s € S }.
Ortogonální doplněk S množiny S v Rn je podle definice tvořen těmi vektory z Rn , které jsou ortogonální (kolmé) ke všem vektorům množiny S. Lze poměrně snadno ukázat, že ortogonální doplněk S tvoří podprostor Rn . Uvědomme si také, že { o } = Rn a { Rn } = { o }.
Nechť S je podmnožina Rn . Pak platí, že ortogonální doplněk ortogonálního doplňku množiny S je lineární obal množiny S
=> (S ) = L(S).
Je-li S podprostor Rn , lze s použitím Gramm-Schmidtovi ortogonalizující konstrukce dokázat následující důležitou větu, kterou použijeme při řešení soustavy lineárních rovnic:
Nechť S je podprostor Rn . Potom platí dim S = dim Rn - dim S.
Matice
Matice A typu (m, n) € N, je tabulka reálných čísel uspořádaná do m řádků a n sloupců.
Řekneme, že matice A a B jsou si rovny (A = B), jsou-li to matice stejného typu (m, n), pro jejichž prvky platí aij = bij; i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , n.
Nechť A, B a C jsou matice typu (m, n), r, s € R. Pak platí
A + B = B + A => komutativní zákon
A + (B + C) = (A + B) + C => asociativní zákon
r.(A + B) = r.A + r.B => distributivní zákon
(r + s).A = r.A + s.A => distributivní zákon
r.(s.A) = (r.s).A
Množina Rmxn všech matic typu (m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobní matice reálným číslem tvoří vektorový prostor dimenze mn.
Hodnost matice
Hodností matice A typu (m, n) rozumíme dimenzi podprostoru Rn generovaného řádkovými vektory matice A. Hodnost matice A značíme h(A). Hodnost matice je rovna nejvyššímu počtu lineárně nezávislých řádků, které matice má. Hodnost nulové matice h(O) = 0.
Nalezení hodnosti matice je užitečné i při řešení úloh, ve kterých je třeba rozhodnout o lineární ne/závislosti vektorů nebo ve kterých je třeba nalézt maximální nezávislou podmnožinu vektorů.
Trojúhelníková matice
Řekneme, že matice T typu (m, n) je trojúhelníková matice, jestliže m n a pro prvky matice T platí .
tij = 0 pro j < i a tii ≠ 0 pro i = 1, … , m.
Trojúhelníková matice je tedy matice, která má všechny prvky na hlavní diagonále nenulové a všechny prvky pod hlavní diagonálou jsou nuly. Je-li matice T typu (m, n) trojúhelníková matice, pak h(T) = m.
Transponovaná matice
Nechť A je matice typu (m, n). Transponovanou maticí k matici A nazveme matici AT typu(n, m) pro kterou platí, že i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice AT.
Nechť AT je transponovaná matice k matici A, pak platí h(A) = h(AT).
Z této věty vyplývá, že ekvivalentní úpravy lze použít nejen na řádky, ale také na sloupce matice A, aniž by se změnila hodnost upravené matice. Ekvivalentních úprav sloupcových vektorů je výhodné použít například v těch případech, kdy matici A nelze převést na trojúhelníkovou matici ekvivalentními úpravami řádkových vektorů.
Označme r1, r2, … , rm řádkové vektory, resp. s1, s2, … , sn sloupcové vektory matice A. Označme R(A) podprostor Rn generovaný řádkovými vektory matice A a analogicky označme S(A) podprostor Rm generovaný sloupcovými vektory matice A. Právě uvedená věta tvrdí, že dim R(A) = dim S(A). Prostor R(A) nazýváme řádkovým prostorem a prostor S(A) sloupcovým prostorem matice A.
Vloženo: 11.03.2011
Velikost: 82,50 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum
Reference vyučujících předmětu ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum
Podobné materiály
- ESE15Z - Statistika I. - PAA - Neparametrické testy 1
- ESE17E - Statistika II. - PAA - Statistické testy
- AAE01E - Obecná fytotechnika - Testy (2)
- AAE01E - Obecná fytotechnika - Testy
- AGE01E - Chov zvířat I. - Otázky z testu
- AGE01E - Chov zvířat I. - Test
- AGE01E - Chov zvířat I. - Testy
- ASE03E - Chov zvířat II. - Zk. testy
- EAE03E - Matematika pro ekonomy - Test
- EAE03E - Matematika pro ekonomy - Zkouškové testy
- EEE02E - Ekonomika agrárního sektoru PaA - Testové otázky
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Otázky na zápočtový a zkouškový test
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Testy
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Testy
- EPE09E - Psychologie a etika v podnikání - 1. test
- EPE09E - Psychologie a etika v podnikání - 2. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - 1. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - 2. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - 3. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - Zadání zk. testu
- ESE15Z - Statistika I. - PAA - Neparametrické testy2
- ETE08E - Informatika I. - Testy
- ETE08E - Informatika I. - Zk. testy
- ETE09E - Informatika II. - Testy
- ETE09E - Informatika II. - Zk. test
- ETE41E - ICT pro manažery - Testy
- EUE06E - Finance a úvěr - Varianty testů
- EUE08E - Zemědělské zbožíznalství - Testové otázky
- EUE20E - Potravinářské zbožíznalství - Test - skladování a konzervace
- EUE21Z - Teorie účetnictví - PAA, INFO - Test
- EUE22E - Účetnictví pro podnikatele - PaE - Testy
- EUE22E - Účetnictví pro podnikatele - PaE - Zkouškové testy
- EUE33E - Základy účetnictví - VSRR - Zk. testy
- EHE23E - Sociologie ve veřejné správě VSRR - zkouškové testy
- EEE08E - Ekonomika podniků I. PaE - Zápočtový test
- EUE33E - Základy účetnictví - VSRR - testové otázky
- ERE73E - Management PAE KS - Varianty zápočtového testu 2009
- EUE74E - Daňová soustava DS - Testové otázky
- EUE81E - Velkoobchod a maloobchod DS - Testové otázky
- EEE35Z - Ekonomika veřejného sektoru PaA - Varianty testů
- EUE75E - Finance a úvěr - DS - Varianty testů
- TAE02E - Matematika II - vzorové testy
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test C
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test E
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test D
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test B
- EUE42E - Fundamentals of Accounting - Test
- EHE14Z - Sociální ekologie - PEF - nějaký pojmy a vytvořený test
- EUE14E - Obchodní nauka - nějaký testy
- DERX03Y - Řízení (management a marketing) - Testy
- AAE01E - obecná fytotechnika - zápočtové testy
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - otázky k zápočtovým testům
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - teorie k testu
- ESA03E - Statistika a biometrika - test
- ESA03E - Statistika a biometrika - úvod do testování statistických hypotéz
- EJA05E - Základy právních nauk - otázky na zápočový test
- EJA05E - Základy právních nauk - test
- EJA05E - Základy právních nauk - test
- EJA05E - Základy právních nauk - Test I.
- EUE71E - Obchodní nauka DS - Varianty testů 2009
- EUE71E - Obchodní nauka DS - Varianty testů
- AAE01E - obecná fytotechnika - otázky zápočtový test
- ABE01E - Základy fytotechniky - fyto - testy
- ABE01E - Základy fytotechniky - zkouškové testy
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Makro testy
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Testy na makro
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Fototest
- EHE12E - Politologie - PAA - testy ze cvičebnice
- EHE10E - Politologie - PaE - Otázky zápočtových testů
- ESE15Z - Statistika I. - PAA - 1. zápočtový test
- EPE07E - Psychologie osobnosti, sociální psychologie - Moje varianta testu
- ELX02E - Angličtina - úroveň A2 - 2 testy
- EUE08E - Zemědělské zbožíznalství - test
- EHE55E - Věda, filosofie a společnost - PAE - Test
- ESA03E - Statistika a biometrika - test
- EHE60E - Věda, filosofie a společnost - PAA - Test Polišenský
- ehe55e - Věda, filosofie a společnost - Test Polišenský
- ERE61E - Teorie řízení PAA - Schéma k testu
- ERE39E - Teorie řízení PAE - Schéma k testu
- ETE31E - Web design - test
- ETE31E - Web design - test
- ETE31E - Web design - test
- ETE30Z - Web design - test
- ETE30Z - Web design - Test
- ETE30Z - Web design - test
- ERE02E - Administrativní technika VSRR - test
- EAE01Z - Ekonomicko matematické metody I - self test
- EAE04E - Ekonomicko matematické metody I. - self test
- EAE71E - Ekonomicko matematické metody I. - self test
- EHE19E - Základy politologie Bc. HKS - Výsledky souhrnných testů z Příručky k výuce politologie
- 00000 - Přijímací řízení na magisterské studium - Testy na přijímací magisterské studium pro PaA, PaE (2011)
- 00000 - Přijímací řízení na magisterské studium - Testy na přijímací magisterské studium pro PaA, PaE (2011)
- EAE81Z - Plánování a řízení projektů - DS - Vypracované otázky na zápočtový test
- ELX87E - Němčina A1 - Němčina A1 test
- ELX87E - Němčina A1 - Němčina zápočtové testy
- EUT72E - Obchodní nauka - TF DS - Testy
- EEE45E - Ekonomika agrárního sektoru - testove varianty
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - zkouška - test
- EPEB7E - Sociální komunikace a rétorika - zadání testu na SKaR
- EREH9E - Regionální politika zaměstnanosti VSRR SUT - zadání testu RPZ 3/2015 v KS
- EHETE - Veřejná správa - VSRR Tábor - ZS 14/15 - Zadání testu z VS
Copyright 2024 unium.cz