- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
na test
ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálgenerují vektorový prostor V, stane lineárně nezávislá.
Báze vektorového prostoru
Nechť M je lineárně nezávislá množina generátorů vektorového prostoru V. Pak říkáme, že množina M je bází vektorového prostoru V.
Nechť vektory x1, x2, …, xn tvoří bázi vektorového prostoru V. Pak každý vektor y € V lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů x1, x2, …, xn. Existuje tedy jediná n-tice reálných čísel (c1, c2, … , cn) taková, že
y = c1.x1 + c2.x2 + … + cn.xn
Koeficienty c1, c2, …, cn této lineární kombinace nazýváme někdy souřadnicemi vektoru y vzhledem k bázi x1, x2, …, xn.
Lze snadno ukázat, že bázi vektorového prostoru Rn tvoří například vektory e1 = (1, 0, 0, … , 0), e2 = (0, 1, 0, … , 0), … , en=(0, 0, … , 0, 1). Libovolný vektor x = (x1, x2, … , xn) € Rn lze totiž vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů e1, e2, … , en,
x = x1.e1 + x2.e2 + … + xn.en.
Vektory e1, e2, … , en tedy generují Rn . Navíc jsou lineárně nezávislé, protože jejich lineární kombinace je rovna nulovému vektoru, c1.e1 + c2.e2 + … + cn.en = o, tj. c1.(1, 0, … , 0) + c2.(0, 1, 0, … , 0) + … + cn.(0, 0, … , 0, 1) = (0, 0, … , 0), tedy (c1, c2, … , cn) = (0, 0, … , 0) pouze tehdy, je-li c1 = 0, c2 = 0, … , cn = 0.
Bázi e1, e2, … , en nazýváme základní (kanonickou) bází vektorového prostoru Rn . Vzhledem k tomu, že tuto (a tedy i každou jinou) bázi Rn tvoří n vektorů, je dim Rn = n.
Steinitzova věta
Nechť x1, x2, …, xm jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V; nechť y1, y2, … , yn jsou další vektory z V takové, že každý vektor xi je lineární kombinací vektorů y1, y2, … , yn, tj. xi € L({ y1, y2, … , yn }), i = 1, 2, … , m.
Potom platí m ≤ n.
Důsledkem Steinitzovy věty je věta, která charakterizuje všechny báze téhož vektorového prostoru V.
Důsledkem Steinitzovy věty je také následující tvrzení:
Nechť V je vektorový prostor dimenze n a nechť x1, x2, …, xm jsou vektory z V. Je-li m > n, pak jsou vektory x1, x2, …, xm lineárně závislé.
Z této věty vyplývá, že báze vektorového prostoru V je největší lineárně nezávislá skupina vektorů ve V. Platí však také:
Nechť V je vektorový prostor dimenze n, pak každá skupina n lineárně nezávislých vektorů x1, x2, …, xn z V tvoří bázi vektorového prostoru V.
Dimenze vektorového prostoru
Počet vektorů v bázi vektorového prostoru V nazveme dimenzí tohoto prostoru a značíme dim V.
Dále definujeme dim { o } = 0.
Pojem dimenze vektorového prostoru V byl definován pouze pro konečně generované vektorové prostory (jak již bylo výše v tomto odstavci uvedeno). Pro tyto vektorové prostory platí, že dim V € N.
Nechť V je vektorový prostor dimenze n, x1, x2, …, xm lineárně nezávislé vektory z V. Je-li m < n, pak lze vektory x1, x2, …, xm doplnit na bázi V; to znamená, že existují vektory xm+1, … , xn € V takové, že x1, x2, …, xm , xm+1, … , xn je báze vektorového prostoru V.
Nechť S je podprostor vektorového prostoru V. Potom platí dim S ≤ dim V, přičemž rovnost platí právě když S=V.
Aritmetický vektorový prostor
Nechť n € N. Označme Rn množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Tedy Rn = { (x1, x2, …, xn); x1, x2, …, xn € R }. Řekneme, že dvě uspořádané n-tice (x1, x2, …, xn) a (y1, y2, … , yn) z Rn jsou si rovny právě tehdy, když x1 = y1, x2 = y2, … , xn = yn.
Zaveďme operaci sčítání prvků množiny Rn předpisem (x1, x2, …, xn) + (y1, y2, … , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, … , xn + yn)
a operaci násobení prvků množiny Rn reálným číslem r € R r.(x1, x2, … , xn) = (r.x1, r.x2, … , r.xn).
Množinu Rn s těmito dvěma operacemi nazveme aritmetickým vektorovým prostorem Rn. Prvky Rn, tedy uspořádané n-tice reálných čísel, nazveme aritmetickými vektory.
Skalární součin
Nechť x = (x1, x2, … , xn) a y = (y1, y2, … , yn) jsou dva vektory z Rn . Skalárním součinem x.y nazveme reálné číslo
x.y = x1.y1 + x2.y2 + … + xn.yn
Nechť x, y, z jsou libovolné vektory z Rn , r € R libovolné reálné číslo. Pak platí:
x.y = y.x (komutativita)
(x + y).z = x.z + y.z (distributivní zákon pro skalární součin)
r.(x.y) = (r.x).y
x.x ≥ 0, přitom x.x = 0 právě tehdy je-li x=0 => pokud je vektor nenulový a vynásobím ho sama sebou, vždy bude > 0
Vlastnost 4) zaručuje x.x ≥ 0 a tím umožňuje zobecnění pojmu velikosti vektoru, kterou známe z prostorů R2 a R3.
Z vlastnosti 4) vyplývá, že |x| ≠ 0 ( x ≠ o.
Norma vektoru
Nechť x € Rn . Reálné číslo |x| = √x.x nazveme velikostí (normou) vektoru x. Vektor x se nazývá jednotk
Vloženo: 11.03.2011
Velikost: 82,50 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum
Reference vyučujících předmětu ESE06E - Matematické metody pro statistiku a operační výzkum
Podobné materiály
- ESE15Z - Statistika I. - PAA - Neparametrické testy 1
- ESE17E - Statistika II. - PAA - Statistické testy
- AAE01E - Obecná fytotechnika - Testy (2)
- AAE01E - Obecná fytotechnika - Testy
- AGE01E - Chov zvířat I. - Otázky z testu
- AGE01E - Chov zvířat I. - Test
- AGE01E - Chov zvířat I. - Testy
- ASE03E - Chov zvířat II. - Zk. testy
- EAE03E - Matematika pro ekonomy - Test
- EAE03E - Matematika pro ekonomy - Zkouškové testy
- EEE02E - Ekonomika agrárního sektoru PaA - Testové otázky
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Otázky na zápočtový a zkouškový test
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Testy
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Testy
- EPE09E - Psychologie a etika v podnikání - 1. test
- EPE09E - Psychologie a etika v podnikání - 2. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - 1. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - 2. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - 3. test
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - Zadání zk. testu
- ESE15Z - Statistika I. - PAA - Neparametrické testy2
- ETE08E - Informatika I. - Testy
- ETE08E - Informatika I. - Zk. testy
- ETE09E - Informatika II. - Testy
- ETE09E - Informatika II. - Zk. test
- ETE41E - ICT pro manažery - Testy
- EUE06E - Finance a úvěr - Varianty testů
- EUE08E - Zemědělské zbožíznalství - Testové otázky
- EUE20E - Potravinářské zbožíznalství - Test - skladování a konzervace
- EUE21Z - Teorie účetnictví - PAA, INFO - Test
- EUE22E - Účetnictví pro podnikatele - PaE - Testy
- EUE22E - Účetnictví pro podnikatele - PaE - Zkouškové testy
- EUE33E - Základy účetnictví - VSRR - Zk. testy
- EHE23E - Sociologie ve veřejné správě VSRR - zkouškové testy
- EEE08E - Ekonomika podniků I. PaE - Zápočtový test
- EUE33E - Základy účetnictví - VSRR - testové otázky
- ERE73E - Management PAE KS - Varianty zápočtového testu 2009
- EUE74E - Daňová soustava DS - Testové otázky
- EUE81E - Velkoobchod a maloobchod DS - Testové otázky
- EEE35Z - Ekonomika veřejného sektoru PaA - Varianty testů
- EUE75E - Finance a úvěr - DS - Varianty testů
- TAE02E - Matematika II - vzorové testy
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test C
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test E
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test D
- EAE38E - Mathematics for Economists II - Test B
- EUE42E - Fundamentals of Accounting - Test
- EHE14Z - Sociální ekologie - PEF - nějaký pojmy a vytvořený test
- EUE14E - Obchodní nauka - nějaký testy
- DERX03Y - Řízení (management a marketing) - Testy
- AAE01E - obecná fytotechnika - zápočtové testy
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - otázky k zápočtovým testům
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - teorie k testu
- ESA03E - Statistika a biometrika - test
- ESA03E - Statistika a biometrika - úvod do testování statistických hypotéz
- EJA05E - Základy právních nauk - otázky na zápočový test
- EJA05E - Základy právních nauk - test
- EJA05E - Základy právních nauk - test
- EJA05E - Základy právních nauk - Test I.
- EUE71E - Obchodní nauka DS - Varianty testů 2009
- EUE71E - Obchodní nauka DS - Varianty testů
- AAE01E - obecná fytotechnika - otázky zápočtový test
- ABE01E - Základy fytotechniky - fyto - testy
- ABE01E - Základy fytotechniky - zkouškové testy
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Makro testy
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Testy na makro
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Fototest
- EHE12E - Politologie - PAA - testy ze cvičebnice
- EHE10E - Politologie - PaE - Otázky zápočtových testů
- ESE15Z - Statistika I. - PAA - 1. zápočtový test
- EPE07E - Psychologie osobnosti, sociální psychologie - Moje varianta testu
- ELX02E - Angličtina - úroveň A2 - 2 testy
- EUE08E - Zemědělské zbožíznalství - test
- EHE55E - Věda, filosofie a společnost - PAE - Test
- ESA03E - Statistika a biometrika - test
- EHE60E - Věda, filosofie a společnost - PAA - Test Polišenský
- ehe55e - Věda, filosofie a společnost - Test Polišenský
- ERE61E - Teorie řízení PAA - Schéma k testu
- ERE39E - Teorie řízení PAE - Schéma k testu
- ETE31E - Web design - test
- ETE31E - Web design - test
- ETE31E - Web design - test
- ETE30Z - Web design - test
- ETE30Z - Web design - Test
- ETE30Z - Web design - test
- ERE02E - Administrativní technika VSRR - test
- EAE01Z - Ekonomicko matematické metody I - self test
- EAE04E - Ekonomicko matematické metody I. - self test
- EAE71E - Ekonomicko matematické metody I. - self test
- EHE19E - Základy politologie Bc. HKS - Výsledky souhrnných testů z Příručky k výuce politologie
- 00000 - Přijímací řízení na magisterské studium - Testy na přijímací magisterské studium pro PaA, PaE (2011)
- 00000 - Přijímací řízení na magisterské studium - Testy na přijímací magisterské studium pro PaA, PaE (2011)
- EAE81Z - Plánování a řízení projektů - DS - Vypracované otázky na zápočtový test
- ELX87E - Němčina A1 - Němčina A1 test
- ELX87E - Němčina A1 - Němčina zápočtové testy
- EUT72E - Obchodní nauka - TF DS - Testy
- EEE45E - Ekonomika agrárního sektoru - testove varianty
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - zkouška - test
- EPEB7E - Sociální komunikace a rétorika - zadání testu na SKaR
- EREH9E - Regionální politika zaměstnanosti VSRR SUT - zadání testu RPZ 3/2015 v KS
- EHETE - Veřejná správa - VSRR Tábor - ZS 14/15 - Zadání testu z VS
Copyright 2024 unium.cz