Materiály ke zkoušce

Reálná čísla:se vyjádří jako limita u posloupnosti racionálních čísel
Algebraická čísla: kořeny polynomů stupně s celočíselnými koeficienty
Transcendentní čísla:na co nejsou algebraická (zlomek pro √3, 3p2=q2)
Komplexní čísla:uspořádaná dvojice čísel reálných na kterých je definována rovnost a operace sčítání a násobení
Rovina:souřadnicový systém na přímce => nechť je dána přímka p na ní dané body O,J tak, že délka úsečky OJ je def. jako 1. Potom souřadnice bodu A leží na polopřímce OJ nebo délkou v opačném případě. Bod O rozumíme jako počátek souřadnicové osy - bod J je jednotkovým bodem; Nechť jsou v rovině dány 2 na sebe kolmé souřadnicové osy se společným počátkem O, značení Ox,Oy a nechť Ax,Ay jsou průsečíky rovnoběžek s osami procházející bodem A A1=[x] A2=[y]
Kartézský součin:bodu A je uspořádaná dvojice A=[x,y]
Prostor: Nechť jsou dány v prostoru 3 na sebe kolmé přímky se společným počátkem a jednotkovými body, pak bod A=[x,y,z] rozumíme průsečíky roviny s osami x,y,z, kde indexi značí rovnoběžnost s danou osou
Orientovaná úsečka:je zde určeno, který bod je počátkem a který koncem
Geometrický vektor:množina všech orientovaných úseček,které jsou stejně dlouhé rovnoběžné a souhlasně orientované
Přímka:rovnoběžný vektor je směrový,kolmý normálový, k=m/n je směrnice
Vektorový prostor:neprázdná množina nad tělesem T, jestli je určen prvek součtu a opačný vektor
Lineární závislost: lineárně závislý vektor je pokud existuje netriviální lineární kombinace (λ1v+λ2v+… =0) v opačném případě jsou lineárně nezávislé
Podprostor:nenulový vektorový prostor patřící do jiného prostoru
Lineární obal:množina lineární kombinace vektorů
Báze:lineárně nezávislá množina generátorů
Dimenze:počet prvků báze
Definice: Nechť C je těleso komplexních čísel, nechť a0, a1, …. an C.
Funkce p:CC definovaná předpisem se nazývá polynom stupně n.
Čísla a0, a1, …. an se nazývají koeficienty polynomu.
Definice: Číslo c C se nazývá kořen polynomu p(x), jestliže p(c) = 0.
Definice: Uspořádané schéma reálných čísel
a11, a12, ....., a1n
a21, a22, ....., a2n
.........................
am1, am2, ....., amn se nazývá matice typu m x n ( m, n ( N je pevně dané).
Definice: Nechť A, B jsou matice typu m x n. Říkáme, že matice A, B jsou si rovny a píšeme A = B, jestliže pro všechna i = 1, ....., m a j = 1, ....., n je aij = bij.
Definice: Matice O typu m x n, pro jejíž prvky platí oij = 0 (i = 1, ....., m( j = 1, ....., n), se nazývá nulová matice.
Definice: Nechť A je matice typu m x n, B je matice typu n x p. Matice X typu m x p, pro jejíž prvky platí xij = (nk=1 aik * bkj (i = 1,....., m, j = 1,....., p), se nazývá součin matic A, B a značí se A * B.
Definice: Matice A typu n x n se nazývá čtvercová matice řádu n.
Definice: Čtvercová matice J řádu n, pro jejíž prvky platí
jik = 1 pro i = k,
jik = 0 pro i ( k(i = 1,....., n, k = 1,....., n), se nazývá jednotková matice řádu n.
Definice: Čtvercová matice D řádu n, pro jejíž prvky platí
dij = 0 pro i ( j (i = 1,....., n, j = 1,....., n), se nazývá diagonální.
Definice: Nechť A je čtvercová matice. Matice A se nazývá symetrická, jestliže A = AT.
Definice: Nechť A je matice typu m x n. Matice AT, která vznikne z A tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme
jejich pořadí nazývá matice transponovaná k matici A.
Definice: Nechť A je čtvercová matice. Matice X, pro kterou platí AX = J, se nazývá inverzní matice k matici A.
Definice: Nechť A=[aij] je matice typu m/n nad tělesem T.
Lineární obal všech řádků matice A se nazývá řádkový prostor matice A.
Lineární obal všech sloupců matice A se nazývá sloupcový prostor matice A.
Dimenze řádkového prostoru matice A se nazývá řádková hodnost matice A.
Dimenze sloupcového prostoru matice A se nazývá sloupcová hodnost matice.A.
Definice: Matice A se nazývá regulární, jestliže je čtvercová a rovná-li se její hodnost řádu matice.
V opačném případě se nazývá singulární.
Definice: Matice typu m x n se nazývá trojúhelníková, když m ( n a pro i = 1, ....., m je aii ( 0 a aij = 0 pro j ( i.
Definice: Nechť množina M = (1, 2, ....., n(, n ( N je pevně dané. Pak prosté zobrazení M na M se nazývá permutace množiny M.
Definice: Dvojice ki , kj se nazývá inverze v permutaci (k) = k1, k2, ....., kn , jestliže i ( j a ki ( kj .
Definice: Nechť A = (aij( je čtvercová matice rádu n.
Reálné číslo
det A = ((k) (-1)( a1k1 a2k2 ..... ankn ,
kde ((k) značí součet přes všechny permutace (k) = k1, k2, ....., kn čísel 1, 2, ....., n a ( je
počet inverzí v permutaci (k),
se nazývá determinant matice A.
Definice: Nechť A=[aij] je čtvercová matice řádu n, nechť i, j {1, 2, … n}.
Potom Aij bude značit matici řádu n-1, který vznikne z matice A tím, že vyškrtneme i-tý řádek a j-tý sloupec.
Prvek Aij=(-1)i+j det Aij nazýváme algebraickým doplňkem matice A k místu (i,j).
Definice: Nechť reálné funkce jedné reálné proměnné f1, f2, ....., fn mají v intervalu J derivace až do
řádu (n-1). Determinantf1(x), f2(x), ......, fn(x)
W(x) =f1´(x), f2´(x), ......, fn´(x)
..................................................
f1(n-1)(x), f2(n-1)(x), ......, fn(n-1)(x) se nazývá Wronského determinant
Definice: Neprázdná množina L se nazývá lineární vektorový prostor nad tělesem T, pokud
je splněno následujících deset podmínek
1/ pro každé dva prvky u, v  L je jednoznačně určen prvek u + v  L nazývaný součet
prvků u, v
2/ pro každý prvek u L a pro každý prvek T je jednoznačně určen prvek u L
nazývaný násobek prvku u prvkem z tělesa T
3/ u +v = v + u pro každé dva prvky u, v  L (komutativita)
4/ (u + v) + w = u + (v + w) pro každé tři prvky u, v, w L (asociativita)
5/ existuje prvek 0 L takový, že pro každý prvek u L platí u + 0 = 0 + u = u
6/ pro každý prvek u L existuje prvek –u L takový, že u + (-u) = (-u) + u = 0)
7/ (u + v) = u + ion.3 v pro každé dva prvky u, v  L a pro prvek T
8/ (+ )u = u + u pro každý prvek u L a pro každé dva prvky , T
9/ ()u = ( u) pro každý prvek u L a pro každé dva prvky , T
10/ 1u = u pro každý prvek u L.
Definice: Řekneme, že neprázdná množina L’ lineárního vektorového prostoru L nad tělesem
T je podprostor prostoru L, jestliže platí následující dvě podmínky:
1/ x + y L’ pro každé x, y L’
2/ x L’ pro každý prvek x L’ a pro každé T .
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem T, nechť v1, v2, … vn L, nechť
1, 2, … n T.
Prvek 1v1 + 2 v2 + … + n vn L se nazývá lineární kombinace prvků v 
s koeficienty .
Lineární kombinace se nazývá netriviální, jestliže existuje i {1, 2, … n} takové, že .
Lineární kombinace se nazývá triviální, jestliže .
Prvky v1, v2, …vn se nazývají lineárně nezávislé, pokud je každá jejich netriviální
lineární kombinace nenulový prvek.
Prvky v1, v2, …vn se nazývají lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální
lineární kombinace, která se rovná nule
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor, nechť M je podmnožina prostoru L.
Průnik všech podprostorů prostoru L obsahujících množinu M se nazývá lineární obal
množiny M.
Definice: Řekneme, že množina M je množinou generátorů lineárního vektorového prostoru L,
jestliže lineární obal množiny M je celý prostor L.
Definice: Nechť L je konečně generovaný lineární vektorový prostor nad tělesem T.
Lineárně nezávislá generující množina prostoru L se nazývá báze prostoru L.
Definice: Počet vektoru v libovolné bázi lineárního prostoru L se nazývá dimenze (nebo hodnost)
lineárního prostoru L a značí se h (L ).
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory nad tělesem T, nechť L: U V je
zobrazení z množiny U do množiny V.
Zobrazení L se nazývá lineární, jestliže pro každé x,y U a pro každé T platí
1/ L(x + y) = L(x) + L(y)
2/ L(x) = L(x)
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory, nechť L: U V je lineární zobrazení.
Množina všech prvků prostoru U, které se zobrazením L zobrazí do prvku 0, se nazývá
jádro zobrazení L a značí se KerL.
Množina obrazů všech prvků prostoru U se nazývá obraz zobrazení L a značí se ImL.
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory, nechť L: U V je lineární zobrazení.
Potom zobrazení L se nazývá
1/ monomorfismus – pro každé x, y U, x y je L(x) L(y)
2/ epimorfismus – pro každé y V existuje x U tak, že L(x) = y
3/ izomorfismus – je-li zobrazení mono- i epimorfní zároveň.
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory, nechť L: U V je lineární zobrazení.
Potom platí
1/ L je monomorfismus právě tehdy, když KerL = 0
2/ L je epimorfismus právě tehdy, když ImL = V
3/ L je izomorfismus právě tehdy, když KerL = 0 a ImL = V.
Definice: Nechť U je lineární vektorový prostor konečné dimenze n, nechť f1, f2, … fn a g1,
g2, … gn jsou dvě báze prostoru U.
Pro libovolný prvek x U označme souřadnice prvku x v bázi f1, f2, … fn a
souřadnice prvku x v bázi g1, g2, … gn .
Označíme-li T = [ … ] matici přechodu od báze f1, f2, … fn k bázi
g1, g2, … gn , potom platí
1/ T je regulární matice
2/ T = pro každé x U
3/ T-1 je matice přechodu od báze f1, f2, … fn k bázi g1, g2, … gn
4/ T-1 = pro každé x U .
Definice: Nechť a1, ....., an a b jsou reálná čísla (n ( N je rovněž dané).
Rovnice tvaru a1 x1 + a2 x2 + ..... + an xn = b se nazývá lineární rovnice o n neznámých x1, ....., xn.
Definice: Matice
a11, a12, ....., a1n
A = a21, a22, ....., a2n
.........................
am1, am2, ....., amn
se nazývá matice soustavy
a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2n xn = b2 ,
....................................................
am1 x1 + am2 x2 + ..... + amn xn = bm .
Matice
a11, a12, ....., a1n b1
Ar = a21, a22, ....., a2n b2
........................ ......
am1, am2, ....., amn bm
se nazývá rozšířená matice soustavy
a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2n xn = b2 ,
....................................................
am1 x1 + am2 x2 + ..... + amn xn = bm .
Definice: Soustava lineárních rovnic se nazývá homogenní (zkrácená), jestliže
b1 = ..... = bm = 0.
Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n, potom se det (I-A) nazývá charakteristický
polynom matice A.
Kořeny tohoto polynomu nazýváme vlastní čísla matice A.
Jestliže je vlastní číslo matice A, potom nenulový vektor h takový, že (I-A)h = 0,
se nazývá vlastní vektor matice A.
Množina všech vlastních vektorů matice A se nazývá spektrum matice A.
Definice: Řekneme, že čtvercové matice A a B řádu n jsou podobné, jestliže existuje regulární
Matice řádu n tak, že A = TBT-1.
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor.
Potom lineární zobrazení L do sebe, se nazývá lineární operátor.
Definice: Nechť čtvercová matice A řádu n má navzájem různá vlastní čísla , , … .
Ke každému vlastnímu číslu zvolme vektor hi.
Potom A = TJT-1, kde matice J = diag[, , …] a matice T má sloupce h1, h2, … hn.
Matice J se nazývá Jordanův kanonický tvar matice A.
Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n, nechť je vlastní číslo matice A.
Uspořádaná k-tice vektorů h1, h2, …hk se nazývá řetězec zobecněných vektorů matice
A, jestliže platí
(I-A) h1 = 0 pro h10
(I-A) h2 = - h1

(I-A) h3 = - h2
…
(I-A) hk = - hk-1
číslo k se nazývá počet vektorů v řetězci, tzn. délka řetězce.
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R.
Potom se zobrazení L x L R nazývá skalární součin, jsou-li splněny následující
podmínky
1/ (x, x) 0 pro každé x L
2/ (x, y) = (y, x) pro každé x, y L
3/ (x, y) = (x ,y) pro každé x, y L a pro každé R
4/ (x + z, y) = (x, y) + (z, y) pro každé x, y, z L.
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných, nebo komplexních
čísel.
Reálná funkce v: L R se nazývá norma značící se , jestliže platí
1/ v(x) 0 pro každé x L
2/ v(x) = v(x) pro každé x L a pro každé R
3/ v(x + y) v(x) + v(y) pro každé x, y L.
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných, nebo komplexních
čísel, v němž je definována norma.
Pro každé dva prvky x, y L číslo (x,y) = nazýváme vzdálenost prvků
x, y.
Definice: Nechť L je euklidovský, nebo unitární prostor a nechť x, y L.
Řekneme, že prvky x, y jsou ortogonální (kolmé), jestliže
(x ,y) = 0.
Neplatí-li tato podmínka, pak jsou prvky ortonormální.
Definice: Nechť L je euklidovský, nebo unitární prostor dimenze n.
Každá množina n prvků prostoru L, které jsou nenulové a navzájem ortogonální, se
nazývá báze prostoru L.
Definice: Báze lineárního prostoru L, jejíž vektory jsou ortogonální, se nazývá ortogonální báze.
Báze lineárního prostoru L, jejíž vektory jsou ortogonální a normované, se nazývá
ortonormální báze.
Definice: Nechť L je nenulový, euklidovský prostor konečné dimenze, nechť L1 je nenulový
podprostor prostoru L, nechť v  L, v  L1.
Prvek v0 se nazývá ortogonální průmět prvku v do prostoru L1, jestliže v0 L1 a
(v-v0) L1.
Definice: Nechť jsou dány prvky b1, b2, … bn. Grammova matice G je taková matice, která je vytvořena ze skalárních součinů
těchto prvků
Definice: Nechť f je reálná funkce (n+1) reálných proměnných, definovaná a spojitá v (a,b) x G, kde G = (a1, b1) x (a2, b2) x ..... x (an, bn), a, b, ai, bi (R.
Diferenciální rovnicí n-tého řádu (n(N) rozumíme rovnici y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)), kde x je proměnná a y(x) je neznámá funkce.
Rešením diferenciální rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) rozumíme reálnou funkci jedné
reálné proměnné y = ( (x) definovanou v jistém otevřeném intervalu I ( (a,b) tak, aby pro
každé x( I platilo ( (n)(x) = f (x, ( (x), (´(x),....., ((n-1)(x)). Interval I se nazývá definiční
obor funkce y.
Definice: Úloha nalézt řešení ( rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) tak,aby platilo
( (x0) = y0, (´ (x0) = y1, (´´ (x0) = y2, ....., ((n-1) (x0) = yn-1, kde (x0, y0, y1,....., yn-1) ( I x (a1,b1) x (a2,b2) x ..... x (an,bn) jsou reálné konstanty, se nazývá počáteční úloha pro rovnici y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)). Podmínky ( (x0) = y0, (´ (x0) = y1, (´´ (x0) = y2, ....., ((n-1) (x0) = yn-1 se nazývají počáteční podmínky.
Definice: Jestliže všechna řešení diferenciální rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) můžeme vyjádřit ve
tvaru y = ( (x, c1, ....., cn), ci (R, i = 1,....., n, pak y nazýváme obecné řešení rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)).
Libovolné řešení při pevně zvolených konstantách ci, i = 1,....., n se nazývá partikulární
řešení rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)).
Definice: Nechť I je otevřený interval. Řekneme, že diferenciální rovnice n-tého řádu y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) je lineární,
existují-li reální funkce jedné reálné proměnné p1, p2,....., pn, q definované a spojité na intervalu I tak , že platí
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = q(x).
(Jestliže q(x) = 0 (x(I, rovnice y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = q(x) se nazývá
homogenní. Jestliže funkce p1,....., pn, q jsou konstantní v I, rovnice y(n) + p1y(n-1) + ..... +
pn-1y´ + pny = q se nazývá lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty.)
Definice: Rovnici
y´ = f (x,y)
nazveme rovnicí se separovatelnými proměnnými, lze-li funkci f (x,y) napsat ve tvaru
g (x)
f (x,y) = ------ ,
h (y)
kde g(x) je spojitá funkce na intervalu (a,b), h(y) je spojitá funkce na intervalu (c,d) a pro
každé y ((c,d) je h(y) ( 0.
Rovnici y´ = f (x,y) pak lze zapsat ve tvaru
h(y) * y´ = g(x).


1. Polynomy
1.1. Co je polynom
1.2. Základní věta algebry
1.3. Rozklad polynomu
1.1. Co je polynom
Definice: Nechť C je těleso komplexních čísel, nechť a0, a1, …. an C.
Funkce p:CC definovaná předpisem
se
nazývá polynom stupně n.
Čísla a0, a1, …. an se nazývají koeficienty polynomu.
Definice: Číslo c C se nazývá kořen polynomu p(x), jestliže p(c) = 0.
1.2. Základní věta algebry
Věta: Každý polynom stupně alespoň 1 má v komplexním oboru alespoň jeden kořen.

1.3. Rozklad polynomu
Věta (rozklad polynomu na kořenové činitele):
Každý polynom stupně n s komplexními koeficienty

Lze v komplexním oboru vyjádřit ve tvaru

kde c1, c2, … cn jsou kořeny polynomu.
2. Matice
2.1. Základní pojmy
2.2. Součin matic
2.3. Čtvercové matice
2.4. Diagonální matice
2.5. Symetrické matice
2.6. Transponované matice
2.7. Inverzní matice
2.8. Hodnost matic
2.1.Základní pojmy
Definice: Uspořádané schéma reálných čísel
a11, a12, ....., a1n
a21, a22, ....., a2n
.........................
am1, am2, ....., amn
se nazývá matice typu m x n ( m, n ( N je pevně dané).
Definice: Nechť A, B jsou matice typu m x n.
Říkáme, že matice A, B jsou si rovny a píšeme A = B, jestliže pro všechna i = 1, ....., m a
j = 1, ....., n je
aij = bij.
Definice: Matice O typu m x n, pro jejíž prvky platí
oij = 0 (i = 1, ....., m( j = 1, ....., n),
se nazývá nulová matice.
Součin matic
Definice: Nechť A je matice typu m x n, B je matice typu n x p.
Matice X typu m x p, pro jejíž prvky platí
xij = (nk=1 aik * bkj (i = 1,....., m, j = 1,....., p),
se nazývá součin matic A, B a značí se A * B.
Pozn.: 1/ Součin matic A * B je definován pouze v případě, že počet sloupců matice A je
roven počtu řádku matice B. Pokud tato podmínka není splněna, součin matic není
definován.
2/ Násobíme-li matici A typu m x n maticí