Materiály ke zkoušce

polynomu nazýváme vlastní čísla matice A.
Jestliže je vlastní číslo matice A, potom nenulový vektor h takový, že (I-A)h = 0,
se nazývá vlastní vektor matice A.
Množina všech vlastních vektorů matice A se nazývá spektrum matice A.
7.2. Podobnost dvou matic
Definice: Řekneme, že čtvercové matice A a B řádu n jsou podobné, jestliže existuje regulární
Matice řádu n tak, že A = TBT-1.

Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor.
Potom lineární zobrazení L do sebe, se nazývá lineární operátor.
7.3. Jordanův kanonický tvar matice
Definice: Nechť čtvercová matice A řádu n má navzájem různá vlastní čísla , , … .
Ke každému vlastnímu číslu zvolme vektor hi.
Potom A = TJT-1, kde matice J = diag[, , …] a matice T má sloupce h1, h2, … hn.
Matice J se nazývá Jordanův kanonický tvar matice A.
7.4. Řetězec zobecněných vektorů matice
Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n, nechť je vlastní číslo matice A.
Uspořádaná k-tice vektorů h1, h2, …hk se nazývá řetězec zobecněných vektorů matice
A, jestliže platí
(I-A) h1 = 0 pro h10
(I-A) h2 = - h1

(I-A) h3 = - h2
…
(I-A) hk = - hk-1
číslo k se nazývá počet vektorů v řetězci, tzn. délka řetězce.
8. Skalární násobení
8.1. Definice skalárního násobení
8.2. Cauchy – Schwarzova nerovnost
8.3. Norma a vzdálenost prvků
8.4. Ortogonální a ortonormální prvky a báze
8.5. Ortogonální průmět
8.6. Grammova matice
8.1. Definice skalárního násobení
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R.
Potom se zobrazení L x L R nazývá skalární součin, jsou-li splněny následující
podmínky
1/ (x, x) 0 pro každé x L
2/ (x, y) = (y, x) pro každé x, y L
3/ (x, y) = (x ,y) pro každé x, y L a pro každé R
4/ (x + z, y) = (x, y) + (z, y) pro každé x, y, z L.
Pozn.: Lineární vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel se skalárním součinem se
nazývá unitární prostor, nad tělesem reálných čísel potom euklidovský prostor
8.2. Cauchy – Schwarzova nerovnost
Věta: Nechť L je euklidovský prostor, nechť x, y L jsou dva libovolné prvky.
Potom platí
(x ,y)2 (x ,x) (y ,y ).

8.3. Norma a vzdálenost prvků
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných, nebo komplexních
čísel.
Reálná funkce v: L R se nazývá norma značící se , jestliže platí
1/ v(x) 0 pro každé x L
2/ v(x) = v(x) pro každé x L a pro každé R
3/ v(x + y) v(x) + v(y) pro každé x, y L.
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných, nebo komplexních
čísel, v němž je definována norma.
Pro každé dva prvky x, y L číslo (x,y) = nazýváme vzdálenost prvků
x, y.
8.4. Ortogonální a ortonormální prvky a báze
Definice: Nechť L je euklidovský, nebo unitární prostor a nechť x, y L.
Řekneme, že prvky x, y jsou ortogonální (kolmé), jestliže
(x ,y) = 0.
Neplatí-li tato podmínka, pak jsou prvky ortonormální.
Definice: Nechť L je euklidovský, nebo unitární prostor dimenze n.
Každá množina n prvků prostoru L, které jsou nenulové a navzájem ortogonální, se
nazývá báze prostoru L.
Definice: Báze lineárního prostoru L, jejíž vektory jsou ortogonální, se nazývá ortogonální báze.
Báze lineárního prostoru L, jejíž vektory jsou ortogonální a normované, se nazývá
ortonormální báze.
8.5. Ortogonální průmět
Definice: Nechť L je nenulový, euklidovský prostor konečné dimenze, nechť L1 je nenulový
podprostor prostoru L, nechť v  L, v  L1.
Prvek v0 se nazývá ortogonální průmět prvku v do prostoru L1, jestliže v0 L1 a
(v-v0) L1.
8.6. Grammova matice
Definice: Nechť jsou dány prvky b1, b2, … bn.
Grammova matice G je taková matice, která je vytvořena ze skalárních součinů
těchto prvků
Věta: Nechť L je lineární euklidovský prostor a nechť jsou dány prvky b1, b2, … bn.
Pro Grammovu matici G platí
1/ G je symetrická matice
2/ G je regulární právě tehdy, když b1, b2, … bn jsou lineárně nezávislé.
9. Bilineární a kvadratické formy
9.1. Definice bilineárních forem
9.2. Definice kvadratických forem
9.3. Inercie matice
9.4. Sylvesterovo kritérium
9.1. Definice bilineárních forem
Definice: Nechť L je reálný lineární vektorový prostor, tzn prostor nad tělesem
reálných čísel.
Zobrazení : LxL R se nazývá bilineární forma na L, jestliže pro každé
x, y, z L a pro každé R platí:
1/ (x + z, y) = (x,y) + (z,y)
2/ (x,y) = (x,y)
3/ (x, y +z) = (x,y) + (x,z)
4/ (x, y) = (x,y).
Definice: Nechť A, B jsou reálné čtvercové matice řádu n.
Řekneme, že matice A, B jsou kongruentní, jestliže existuje regulární matice
T taková, že
B = TTAT .
Definice: Bilineární forma na reálném lineárním vektorovém prostoru L se nazývá symetrická,
jestliže platí
(x,y) = (y,x) pro každé x, y L.
9.2. Definice kvadratických forem
Definice: Nechť je symetrická bilineární forma na reálném lineárním vektorovém prostoru
konečné dimenze n.
Zobrazení : L R definované předpisem
(x) = (x,x)
se nazývá kvadratická forma.
9.3. Inercie matice
Definice: Nechť A je reálná symetrická matice řádu n.
Označme

1/ k – počet kladných vlastních čísel matice A
2/ z – počet záporných vlastních čísel matice A
3/ d- násobnost vlastního čísla 0 matice A.
Potom se trojice čísel (k,z,d) nazývá inercie matice A a značí se in(A).

Věta: Nechť A, B jsou reálné symetrické matice řádu n.
Potom matice A, B jsou kongruentní právě tehdy, když in(A) = in(B).
Definice: Kvadratická forma k se nazývá
1/ pozitivně definitní, jestliže (x) ( 0 pro všechny x L
2/ negativně definitní, jestliže (x) ( 0 pro všechny x L
3/ pozitivně semidefinitní, jestliže (x) ( 0 pro všechny x L
a existuje x 0, x L takový, že (x) = 0,
4/ negativně semidefinitní, jestliže (x) ( 0 pro všechny x L
a existuje x 0, x L takový, že (x) = 0,
5/ indefinitní, jestliže existují vektory x, y L takové, že (x) ( 0 a (y) ( 0.
9.4. Sylvesterovo kritérium
Věta: Nechť je kvadratická forma na reálné m vektorovém prostoru L konečné dimenze n a
nechť A je matice kvadratické formy.
Potom kvadratická forma je pozitivně definitní právě tehdy, když jsou všechny hlavní
minory matice A kladné.
10. Diferenciální rovnice
10.1. Diferenciální rovnice n-tého řádu
10.2. Diferenciální rovnice 1. řádu
10.3. Lineární diferenciální rovnice (1. řádu)
10.4. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
10.1.Diferenciální rovnice n-tého rádu
Definice: Nechť f je reálná funkce (n+1) reálných proměnných, definovaná a spojitá v (a,b) x G, kde G = (a1, b1) x (a2, b2) x ..... x (an, bn), a, b, ai, bi (R.
Diferenciální rovnicí n-tého řádu (n(N) rozumíme rovnici
y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)),
kde x je proměnná a y(x) je neznámá funkce.
Rešením diferenciální rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) rozumíme reálnou funkci jedné
reálné proměnné y = ( (x) definovanou v jistém otevřeném intervalu I ( (a,b) tak, aby pro
každé x( I platilo ( (n)(x) = f (x, ( (x), (´(x),....., ((n-1)(x)). Interval I se nazývá definiční
obor funkce y.
Definice: Úloha nalézt řešení ( rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) tak, aby platilo
( (x0) = y0, (´ (x0) = y1, (´´ (x0) = y2, ....., ((n-1) (x0) = yn-1,
kde (x0, y0, y1,....., yn-1) ( I x (a1,b1) x (a2,b2) x ..... x (an,bn) jsou reálné konstanty,
se nazývá počáteční úloha pro rovnici y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)).
Podmínky ( (x0) = y0, (´ (x0) = y1, (´´ (x0) = y2, ....., ((n-1) (x0) = yn-1 se nazývají počáteční
podmínky.
Definice: Jestliže všechna řešení diferenciální rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) můžeme vyjádřit ve
tvaru
y = ( (x, c1, ....., cn), ci (R, i = 1,....., n,
pak y nazýváme obecné řešení rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)).
Libovolné řešení při pevně zvolených konstantách ci, i = 1,....., n se nazývá partikulární
řešení rovnice y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)).
Definice: Nechť I je otevřený interval.
Řekneme, že diferenciální rovnice n-tého řádu y(n) = f (x,y,y´,.....,y(n-1)) je lineární,
existují-li reální funkce jedné reálné proměnné p1, p2,....., pn, q definované a spojité na
intervalu I tak , že platí
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = q(x).
(Jestliže q(x) = 0 (x(I, rovnice y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = q(x) se nazývá
homogenní. Jestliže funkce p1,....., pn, q jsou konstantní v I, rovnice y(n) + p1y(n-1) + ..... +
pn-1y´ + pny = q se nazývá lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními

koeficienty.)
Věta: Obecné řešení lineární diferenciální rovnice s pravou stranou se rovná součtu obecného řešení
příslušné zkrácené rovnice a partikulárního řešení rovnice s pravou stranou.
10.2.Diferenciální rovnice prvního řádu
Definice: Rovnici
y´ = f (x,y)
nazveme rovnicí se separovatelnými proměnnými, lze-li funkci f (x,y) napsat ve tvaru
g (x)
f (x,y) = ------ ,
h (y)
kde g(x) je spojitá funkce na intervalu (a,b), h(y) je spojitá funkce na intervalu (c,d) a pro
každé y ((c,d) je h(y) ( 0.
Rovnici y´ = f (x,y) pak lze zapsat ve tvaru
h(y) * y´ = g(x).
10.3.Lineární diferenciální rovnice (1. řádu)
Věta (o existenci a jednoznačnosti): Nechť p a q jsou spojité funkce v intervalu (a,b), x0 ( (a,b).
Existuje právě jedno řešení rovnice
y´ + py = q
vyhovující počáteční podmínce y(x0) = y0.
10.4.Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
Věta (o existenci a jednoznačnosti řešení rovnice L(y) = q):
Nechť p1, p2, ....., pn, q jsou reálné funkce, spojité na intervalu (a,b) a nechť(1, (2, ....., (n jsou
libovolné reálné konstanty.
Potom existuje na intervalu (a,b) právě jedno řešení ( diferenciální rovnice L(y) = q, které
vyhovuje počátečním podmínkám
((x0) = (1, (´(x0) = (2, ....., ((n-1)(x0) = (n
kde x0 ( (a,b).
Věta: Nechť funkce (1, (2, ....., (n jsou řešení rovnice L(y) = 0 na intervalu (a,b).
Funkce (1, (2, ....., (n jsou lineárně nezávislé na intervalu (a,b) právě tehdy, je-li W((1, (2, .....,
(n)(x) ( 0 pro každé x ( (a,b).
Věta: Nechťy1, ....., yn je n libovolných partikulárních řešení rovnice
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = 0.
Potom libovolná funkce y, která je jejich lineární kombinací je také řešením rovnice
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = 0.
Věta: Nechť y1, .....yn jsou lineárně nezávislá partikulární řešení rovnice
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = 0.
Pak funkce
y = c1 y1 + c2 y2 + ..... + cn yn, ci (R
je obecným řešením rovnice
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = 0.
Věta: Množina všech řešení rovnice
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = 0
tvoří lineární prostor dimenze n.
Věta: Komplexní funkce y(x) = u(x) + iv(x) je řešením rovnice
y(n) + p1(x)y(n-1) + ..... + pn-1(x)y´ + pn(x)y = 0
právě tehdy, jestliže je řešením její reálná i imaginární část.

M je mnoz vek mnoz všech jejich lin kombinaci ne naz lineatni obalmnoz Mkonecna mnozMse naz mnoz generatoruv prostoruVjestlize v=M Vobsahuje mnoz generatoru,je konecne generovanyLin nezavisl mnoz generator-baze vektror prostoruKomplex prostor se skalar soucin-unitarni prostRealny(nadR)-euklidovsky prostBaze prostV tvorena navz ortogo vek-ortogonalni bazejestli mají prvke velikost 1-ortonormalni bMat typum m/a nadTje soubor mn prvku zT usporadaných do mradku nsloupcuTransponovana matjestli(a+Tij=aji) Aje mat m/a,Bmat typu n/m pak A*Bje matC m/p AB spolu komutuji když AB=BA Aje ctver mat pak kmocninouje (A-k=AA+(k-1))Permutaceje bijekce konecne mnoz na sebe inverzni v permutpje 2ce cisel p(i) p(j)-suda permutjestli sudy počet inv znamenko permutp je+pro sudou –pro lichou.Aje ctver mat pak detA(A)je cislo=sum op a1p1-anpnLaplaceuv rozvojAje ctver mat pakdetA=sum aijAijGausova eliminaceB vznikne z A prohozenim 2radku-detA=-detB,2radky stejne(lin zavisle)detA=0,Bvznik z Avynasobenim 1radku cislem-detB=cdetA Obecna rov kuzelosecky:a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33 jestli ma stred soumernosti pak stredovaMonz bodu vyhovujici a11x2+a22y2+a33z+
2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44-kvadraticka plochamatAje v stupnovitem tvaru,když každý radek zacina vetsim poctem0nez predchoz.Ama hodnostr(A)=k když obsahuje kLNZ a k+1vniradek jeLZ.matA-1 takova ze(A-1
A=AA-1=I pak A jeregularníjinakiregulara mat A-1je inverznípokudA/I dokud I/A-1-GaussJordan eliminacni metodapokudB=AnaA-Bje adjungovanak mat A Aijje algebraicky doplnekk aij.Aje regular-A-1=1/det(A)*AnaA.jestliAx=b je soustava rov pakAx=o-homog soustava k dané sous.Reseni ve tvarux=xp+xo Orotgonalní prumetje definovan jednoznacne(a unaleziV) je//v-u//=//v-vo//Vje euklidov,prostUje podprost,mnozU vek kolmich na U-ortogonalní doplnekUV vek prostL:UdoV-lin zobrazeniL(x+y)=L(x)+L(y);L((x)=(L(x).mnoz všech u
NalezU,takovych zeL(u)=o-JardoKerL mnozvsech vVpro kt.ex uU,zeL(u)=v-obrazImL.matA pak det((I-A)-chrakter polynomjoho korenyvl.cislaz nichžvlvek A=TJT-1matA,(vlcislo,pak usparadana k-tice vek-retezec zobecnenych vl vek
Divergencefce f(x)je divf=df1x/dx+df2x/y+df3x/dzRotaceje vek fce rotf=(df3/ dy-df2/dz)i+(df1/dz-df3/dx)j+(df2/dx-df1/dy)kTecna-limita polohy primky pro t-to(y-yo=k(x-xo)Normalakolma na tecnuAsymptotyk=limf(x)/x,q=limf(x)-kx je přimka,takova ze ex neomezeny oblouk krivky,ze pro posloupnostPm bodu toho obloku,plati limró(Pm,p)=0Dif rov1.radu=f(x,y,y‘)=0 vyjadreni ve tvaru y‘=f(x,
y)Rov tvaru:y‘+p(x)y=q(x)-lin.dif rov.1.radua y‘+p(x)y=oLDR bez prave strany necht fce f1-fn mají derivaci az do radu n-1pak det W(f1-fn)-Wronskiánjestli f1
-fn jsouLZ pak W=0,Fundamantarni systemreseni LDRbezPS rozumime kazdých a LNZreseni této rov.Cauchyovou ulohourozumime reseni soustavy splnujici pocatec.podminky y1(xo)=a1-yn(xo)=an Cauchovy podmin. ttt


Základní věta algebry-každý polynom stupně alespoň 1 má v C aspoň 1kořen;dělení polynomů-nechť p(x), q(x) jsou polynomy,q(x)(0,potom ex.jednoznačně polynomy t(x),r(x),st(p)(st(q)tak,že p(x)=t(x)q(x)+r(x); rozklad polynomu-nechť c1..cs jsou různé kořeny polynomu p(x),nechť k1..ks jsou jejich násobnosti,potom p(x) =an(x-c1)ks(x-c2)ks...(x-cs)ks.;lineárně nezávislá množina generátorů se nazývá báze vektorového prostoru;počet prvků báze se nazývá dimenze vektorového prostoru;nechť (i,j je prvek na místě(i,j).Potom i je jeho řádkový,j sloupcový index.Vektor((i,1, (i,2.. (i,n)nazýváme i-tý řádek,vektor((1,j, (2,j.. (m,j) i-tý sloupec.Je-li m=n, nazývá se matice čtvercová řádu n,jinak obdélníková.Vektor((1,1, (2,1.. (m,n)příp. ((1,1, (2,2.. (m,n)se nazývá hlavní diagonála,pro čtvercovou matici se vektor((1,n, (2,n-1.. (n,1)se nazývá vedlejší diagonála.Řekneme,že AT je matice transponovaná k matici A,jestliže (i,jT=(j,i.Nechť A je čtvercová matice řádu n.Potom determinant matice A je číslo det A=(((()(1,((1).(2,((2)... ,( n,((n);Gausova eliminace-nechť matice B vznikne z A prohozením dvou řádků,potom det A=-det B,má-li matice 2řádky stejné,potom det A=0,má-li matice nulový řádek,potom det A=0,det AB=detA.detB,jsou-li řádky matice LZ,potom detA=0;obecná rovnice kuželosečky- a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0;kvadrika -a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+ +2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0.Řekneme,že matice A má hodnost rovnu k,jestliže obsahuje k LNZ řádků a každý k+1řádků je lineárně nezávislých;řekneme,že matice je ve stupňovitém tvaru,jestliže každý její řádek začíná větším počtem 0,než řádek předchozí;Nechť A je čtvercová matice.Jestliže existuje matice A-1 taková,že A-1A=I,pak se matice A nazývá regulární,jinak singulární.Matice A-1se nazývá inverzní matice k matici A.Homogenní soustava-stupňovitý tvar,první nenulový koeficient v každém řádku se nazývá vedoucí koeficient odpovídající proměnné bazické proměnné,ostatní nebazické. Nebazické proměnné převedeme na pravou stranu jako parametry,vhodnou volbou hodnot parametrů dostaneme potřebný počet LNZ řešení;nehomogenní soustava-Nechť Ax=b je soustava rovnic.Potom soustava Ax=0 e nazývá homogenní soustava příslušná soustavě Ax=b.Řešení soustavy Ax=b vyjádříme ve tvaru x=xp+x0,kde x0 je obecné řešení příslušné homogenní soustavy řešení xp (partikulární řešení) dostaneme,když všechny nebazické proměnné položíme rovny 0.Soustavy s regulární maticí-soustava s regulární maticí Ax=b je jednoznačně řešitelná s řešením x=A-1b. Cramerovo pravidlo-nechť x=(x1..xn)je řešením soustavy Ax=b s reg.maticí.Potom xi=detAi/detA, kde matice Ai vznikne z matice A výměnou i-tého sloupce za sloupec pravých stran.Nechť V je eukleidovský prostor 0(v1≤V jeho podprostoru,nechť v(V,v(V1.Potom vektor v0(V1 takový,že (v-v0)(u,(u(V1 se nazývá ortogonální průmět vektoru v do prostoru V1.Nechť V je eukleidovský prostor ,U jeho podprostor.Množina vektorů kolmých k U se nazývá ortogonální doplněk prostoru U do V. Mějme dva vektorové prostory U,V.L:U(V zobrazení.Toto zobrazení se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus),jestliže (x,y(U,(((R(C) platí L(x+y)=L(x)+L(y).Nechť U,V jsou vektorové prostory, L:U(V lineární zobrazení.Množina všech u(U takových,že L(u)=0 se nazývá jádro zobrazení(Ker L),množina všech v(V,pro které existuje u(U tak,že L(u)=v,se nazývá obraz(Im L). Nechť U,V jsou vektorové prostory,L:U(V lineární zobrazení u1..uk báze prostoru U,v1..vn báze prostoru V.Matice A typu u/k tvořená po sloupcích souřadnicemi vektorů L(u1)..L(uk) v bázi v1..vk se nazývá matice lineárního zobrazení.Nechť L:U(V je identický izomorfismus.f1..fn,g1..gn dvě báze U. Potom matice tohoto zobrazení,kdy vzor je vyjádřen v bázi f a obraz v bázi g,neboli matice,jejíž sloupce jsou souřadnice prvků f v bázi g se nazývá matice přechodu od báze f k bázi g.Nechť A je čtvercová matice řádu n.Potom det((I-A) se nazývá charakteristický polynom matice A,jeho kořeny vlastní čísla.Vektor v takový,že (v=Av se nazývá vlastní vektor matice A.Řekneme,že čtvercové matice řádu n A,B jsou podobné,jestliže ex.reg. matice T tak,že A=TBT-1.Nechť f(x)kde x=(x1..xn) je funkce více proměnných,A=[a1..an]bod a I=(i1..in)jednotkový vektor.Derivací fce f(x) v bodě A ve směru I rozumíme limitu f(A+tI)-f(A)/t.Nechť f(x,y,z)je diferencovatelná fce v bodě A.Gradientem fce f(x) v bodě A rozumíme vektor.Divergencí fce f(x) rozumíme fci