Materiály ke zkoušce

B typu n x p, je podle definice výsledná
matice A * B typu m x p.
2.3.Čtvercové matice
Definice: Matice A typu n x n se nazývá čtvercová matice řádu n.
Definice: Čtvercová matice J řádu n, pro jejíž prvky platí
jik = 1 pro i = k,
jik = 0 pro i ( k(i = 1,....., n, k = 1,....., n),
se nazývá jednotková matice řádu n.
Pozn.: Jednotková matice J má na hlavní diagonále jedničky a mimo hlavní diagonálu samé
nuly.
2.4. Diagonální matice
Definice: Čtvercová matice D řádu n, pro jejíž prvky platí
dij = 0 pro i ( j (i = 1,....., n, j = 1,....., n),
se nazývá diagonální.
2.5.Symetrické matice
Definice: Nechť A je čtvercová matice.
Matice A se nazývá symetrická, jestliže
A = AT.
Věta (o součtu symetrických matic): Nechť A, B jsou čtvercové matice stejného rádu.
Jsou-li matice A, B symetrické, pak také jejich součet
A + B je symetrická matice.
Věta (o reálném násobku symetrické matice): Nechť A je čtvercová matice, c libovolné reálné
číslo.
Je-li matice A symetrická, pak také jejich reálný
násobek cA je symetrická matice.
2.6.Transponované matice
Definice: Nechť A je matice typu m x n.
Matice AT, která vznikne z A tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme
jejich pořadí nazývá matice transponovaná k matici A.
Věta (o hodnosti transponované matice): Jsou-li A a AT navzájem transponované matice, pak
hodnost matice A je rovna hodnosti matice AT, tj.
h(A) = h(AT).
2.8. Inverzní matice
Definice: Nechť A je čtvercová matice.
Matice X, pro kterou platí
AX = J,
se nazývá inverzní matice k matici A.
Věta (o existenci inverzní matice): Nechť A je čtvercová matice.
Inverzní matice k matici A existuje tehdy a jen tehdy,
když A je regulární.
Věta (o jednoznačnosti inverzní matice): Je-li A regulární matice, pak inverzní matice
k matici A je určena jednoznačně.
Věta (o inverzi součinu matic):
Jsou-li A, B regulární matice stejného řádu, pak jejich součin AB je opět regulární matice a
platí
(AB)-1 = B-1 A-1.
Věta (o navzájem inverzních maticích):
Je-li A regulární matice, pak matice k ní inverzní A-1 je opět regulární a platí
(A-1)-1 = A.
2.9. Hodnost matic
Definice: Nechť A=[aij] je matice typu m/n nad tělesem T.
Lineární obal všech řádků matice A se nazývá řádkový prostor matice A.
Lineární obal všech sloupců matice A se nazývá sloupcový prostor matice A.
Dimenze řádkového prostoru matice A se nazývá řádková hodnost matice A.
Dimenze sloupcového prostoru matice A se nazývá sloupcová hodnost matice.A.
Věta: Řádková hodnost matice ve stupňovitém tvaru je rovna počtu nenulových řádků.
Definice: Matice A se nazývá regulární, jestliže je čtvercová a rovná-li se její hodnost řádu matice.
V opačném případě se nazývá singulární.
Věta (o maximální hodnosti matice): Je-li A matice typu m x n, pak pro její hodnost platí
h(A) ( min ( m,n (.
Definice: Matice typu m x n se nazývá trojúhelníková, když m ( n a pro i = 1, ....., m je
aii ( 0 a aij = 0 pro j ( i.
Věta (o hodnosti trojúhelníkové matice): Je-li A( trojúhelníková matice typu m x n, pak její
hodnost je rovna počtu řádků matice A( ,
tj.
h(A() = m.
3. Determinanty
3.1.Definice determinantu
3.2.Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)
3.3.Řádkové (sloupcové) úpravy determinantu
3.4.Další věty o determinantech
3.5.Užití determinantu
3.1.Definice determinantu
Definice: Nechť množina M = (1, 2, ....., n(, n ( N je pevně dané.
Pak prosté zobrazení M na M se nazývá permutace množiny M.
Definice: Dvojice ki , kj se nazývá inverze v permutaci (k) = k1, k2, ....., kn , jestliže i ( j a ki ( kj .
Definice: Nechť A = (aij( je čtvercová matice rádu n.
Reálné číslo
det A = ((k) (-1)( a1k1 a2k2 ..... ankn ,
kde ((k) značí součet přes všechny permutace (k) = k1, k2, ....., kn čísel 1, 2, ....., n a ( je
počet inverzí v permutaci (k),
se nazývá determinant matice A.
3.2.Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)
Věta: Nechť A=[aij] je čtvercová matice řádu n, nechť i je číslo zvoleného řádku,
i {1, 2, … n}.
Potom

Pozn.: Tato věta se používá často v zobecněném tvaru – tzv. Laplaceova věta
Definice: Nechť A=[aij] je čtvercová matice řádu n, nechť i, j {1, 2, … n}.
Potom Aij bude značit matici řádu n-1, který vznikne z matice A tím, že
vyškrtneme i-tý řádek a j-tý sloupec.
Prvek Aij=(-1)i+j det Aij nazýváme algebraickým doplňkem matice A k místu (i,j).


3.3.Řádkové (sloupcové) úpravy determinantu
Věta (o determinantu transponované matice): Jsou-li A a AT navzájem transponované čtvercové
matice, pak determinant matice A je roven

determinantu matice AT, tj.
det A = det AT.
Věta (o elementárních úpravách):
Následující úpravy matice A typu m/n nad tělesem T nazýváme úpravami
elementárními
1/ vyměnění dvou řádků, nebo sloupců, matice
2/ vynásobení řádku, nebo sloupce, matice nenulovým prvkem z tělesa T
3/ přičtením k-násobku j-tého řádku, nebo sloupce, k řádku, nebo sloupci, i-tému.
Věta (o determinantu trojúhelníkové matice): Nechť A = (aij( je čtvercová matice rádu n.
Je-li matice A trojúhelníková, pak její determinant
je roven součinu prvku na hlavní diagonále, tj.
det A = a11 a22 ..... ann .
3.4.Další věty o determinantech
Věta (o determinantu regulární matice): Nechť A je čtvercová matice.
Matice A je regulární právě tehdy, když její
determinant je různý od nuly, tj.
det A ( 0.
Věta (o hodnosti matice):
Nechť A je nenulová matice typu m x n.
Matice A má hodnost h tehdy a jen tehdy, když lze z ní vybrat alespoň jeden nenulový
determinant rádu h a všechny determinanty řádu většího než h vybrané z matice A (pokud
existují) jsou rovny nule.
Věta (o součinu determinantu): Jestliže A a B jsou čtvercové matice stejného řádu, potom
det (A B) = det A det B.
Věta (o determinantu inverzní matice): Je-li A regulární matice, potom
det A-1 = 1 / det A.(nebo det A = 1 / det A-1)
3.5.Užití determinantu
Věta (Cramerovo pravidlo):
Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x1, ....., xn.
Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, které se dá zapsat
ve tvaru
det Aj
xj = -------- (j = 1, ....., n),
det A
kde Aj je matice, která vznikne z matice soustavy A po náhradě j-tého sloupce sloupcem
pravých stran rovnic soustavy.
Věta (o inverzní matici):
Je-li A = (aij( regulární matice rádu n, potom inverzní matice k matici A se dá zapsat ve tvaru
A11, A12, ....., A1n T
1A21, A22, ....., A2n
A-1 = -------- .......................... ,
det A An1, An2, ....., Ann
kde Aij je algebraický doplněk prvku aij.
Definice: Nechť reálné funkce jedné reálné proměnné f1, f2, ....., fn mají v intervalu J derivace až do
řádu (n-1).
Determinant
f1(x), f2(x), ......, fn(x)
W(x) =f1´(x), f2´(x), ......, fn´(x)
..................................................
f1(n-1)(x), f2(n-1)(x), ......, fn(n-1)(x)
se nazývá Wronského determinant neboli wronskián funkcí f1, f2, ....., fn.
Věta (o wronskiánu):
Nechť reálné funkce jedné reálné proměnné f1, f2, ....., fn mají v intervalu J derivace až do rádu
(n-1).
Jestliže jejich wronskián W(x) ( 0 alespoň v jednom bode x ( J, pak jsou funkce f1, f2, ....., fn
v intervalu J lineáně nezávislé.
4. Lineární (vektorové) prostory
4.1. Definice lineárního prostoru
4.2. Podprostor lineárního prostoru
4.3. Lineární závislost a nezávislost vektoru
4.4. Generovaný lineární prostor
4.5. Báze lineárního prostoru
4.6. Dimenze lineárního prostoru
4.1.Definice lineárního prostoru
Definice: Neprázdná množina L se nazývá lineární vektorový prostor nad tělesem T, pokud
je splněno následujících deset podmínek
1/ pro každé dva prvky u, v  L je jednoznačně určen prvek u + v  L nazývaný součet
prvků u, v
2/ pro každý prvek u L a pro každý prvek T je jednoznačně určen prvek u L
nazývaný násobek prvku u prvkem z tělesa T
3/ u +v = v + u pro každé dva prvky u, v  L (komutativita)
4/ (u + v) + w = u + (v + w) pro každé tři prvky u, v, w L (asociativita)
5/ existuje prvek 0 BED Equation.3 L takový, že pro každý prvek u L platí u + 0 = 0 + u = u
6/ pro každý prvek u L existuje prvek –u L takový, že u + (-u) = (-u) + u = 0)
7/ (u + v) = u + v pro každé dva prvky u, v  L a pro prvek T
8/ (.3 + )u = u + u pro každý prvek u L a pro každé dva prvky , T
9/ (MBED Equation.3 )u = (u) pro každý prvek u L a pro každé dva prvky , T
10/ 1u = u pro každý prvek u L.
4.2.Podprostor lineárního prostoru
Definice: Řekneme, že neprázdná množina L’ lineárního vektorového prostoru L nad tělesem
T je podprostor prostoru L, jestliže platí následující dvě podmínky:
1/ x + y L’ pro každé x, y L’
2/ x L’ pro každý prvek x L’ a pro každé T .
Věta:Podprostor L0 lineárního prostoru L je rovněž lineární prostor.
4.3. Lineární závislost a nezávislost vektoru
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor nad tělesem T, nechť v1, v2, … vn L, nechť
1, 2, … n T.
Prvek 1v1 + 2 v2 + … + BED Equation.3 n vn L se nazývá lineární kombinace prvků v 
s koeficienty .
Lineární kombinace se nazývá netriviální, jestliže existuje i {1, 2, … n} takové,

že .
Lineární kombinace se nazývá triviální, jestliže .
Prvky v1, v2, …vn se nazývají lineárně nezávislé, pokud je každá jejich netriviální
lineární kombinace nenulový prvek.
Prvky v1, v2, …vn se nazývají lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální
lineární kombinace, která se rovná nule
Definice: Nechť L je lineární vektorový prostor, nechť M je podmnožina prostoru L.
Průnik všech podprostorů prostoru L obsahujících množinu M se nazývá lineární obal
množiny M.
4.4.Generovaný lineární prostor
Definice: Řekneme, že množina M je množinou generátorů lineárního vektorového prostoru L,
jestliže lineární obal množiny M je celý prostor L.
Pozn.: Existuje.li konečná generující množina M, pak říkáme, že je prostor L konečně
generovaný.
4.5.Báze lineárního prostoru
Definice: Nechť L je konečně generovaný lineární vektorový prostor nad tělesem T.
Lineárně nezávislá generující množina prostoru L se nazývá báze prostoru L.
Věta (Steinitova věta):
Nechť L je nenulový lineární vektorový prostor nad tělesem T, nechť M = {g1, g2, … gn}
je množina generátorů prostoru L, nechť N = {b1, b2, … bn} je množina lineárně
nezávislých prvků prostoru L.
Pak některé množiny M lze nahradit prvky množiny N tak, že vzniklá množina generuje
prostor L.

4.6.Dimenze lineárního prostoru
Definice: Počet vektoru v libovolné bázi lineárního prostoru L se nazývá dimenze (nebo hodnost)
lineárního prostoru L a značí se h (L ).
Věta (o hodnosti podprostoru): Jestliže L0 je podprostor lineárního prostoru L, potom
h (L0) ( h(L).
Rovnost h(L0) = h(L) platí tehdy a jen tehdy, když L0 = L.

Věta (o hodnosti lineárního obalu):
Jestliže x1,....., xr jsou vektory z lineárního prostoru L, pak platí
h (( x1,....., xr () ( min ( h(L), r (.
Rovnost h (( x1,....., xr () = min ( h(L), r ( platí tehdy a jen tehdy, když ( x1,....., xr ( = L, to je,
když x1, ....., xr tvoří bázi.
5. Lineární zobrazení
5.1. Definice lineárního zobrazení
5.2. Jádro a obraz lineárního zobrazení
5.3. Matice přechodu
5.1. Definice lineárního zobrazení
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory nad tělesem T, nechť L: U V je
zobrazení z množiny U do množiny V.
Zobrazení L se nazývá lineární, jestliže pro každé x,y U a pro každé T platí
1/ L(x + y) = L(x) + L(y)
2/ L(uation.3 x) = L(x)
5.2. Jádro a obraz lineárního zobrazení
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory, nechť L: U V je lineární zobrazení.
Množina všech prvků prostoru U, které se zobrazením L zobrazí do prvku 0, se nazývá
jádro zobrazení L a značí se KerL.
Množina obrazů všech prvků prostoru U se nazývá obraz zobrazení L a značí se ImL.
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory, nechť L: U V je lineární zobrazení.
Potom zobrazení L se nazývá
1/ monomorfismus – pro každé x, y U, x y je L(x) quation.3 L(y)
2/ epimorfismus – pro každé y V existuje x U tak, že L(x) = y
3/ izomorfismus – je-li zobrazení mono- i epimorfní zároveň.
Definice: Nechť U, V jsou lineární vektorové prostory, nechť L: U V je lineární zobrazení.
Potom platí
1/ L je monomorfismus právě tehdy, když KerL = 0
2/ L je epimorfismus právě tehdy, když ImL = V
3/ L je izomorfismus právě tehdy, když KerL = 0 a ImL = V.
5.3. Matice přechodu
Definice: Nechť U je lineární vektorový prostor konečné dimenze n, nechť f1, f2, … fn a g1,
g2, … gn jsou dvě báze prostoru U.
Pro libovolný prvek x U označme souřadnice prvku x v bázi f1, f2, … fn a
souřadnice prvku x v bázi g1, g2, … gn .

Označíme-li T = [ … ] matici přechodu od báze f1, f2, … fn k bázi
g1, g2, … gn , potom platí
1/ T je regulární matice
2/ T = pro každé x U
3/ T-1 je matice přechodu od báze f1, f2, … fn k bázi g1, g2, … gn
4/ T-1 = pro každé x U .
6. Soustavy lineárních rovnic
6.1.Základní pojmy
6.2.Zápis soustavy lineárních rovnic
6.3.Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
6.4.Homogenní soustavy lineárních rovnic
6.5.Věta o obecném řešení soustavy lineárních rovnic
6.1.Základní pojmy
Definice: Nechť a1, ....., an a b jsou reálná čísla (n ( N je rovněž dané).
Rovnice tvaru
a1 x1 + a2 x2 + ..... + an xn = b
se nazývá lineární rovnice o n neznámých x1, ....., xn.
6.2.Zápis soustavy lineárních rovnic
Definice: Matice
a11, a12, ....., a1n
A = a21, a22, ....., a2n
.........................
am1, am2, ....., amn
se nazývá matice soustavy
a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2n xn = b2 ,
....................................................
am1 x1 + am2 x2 + ..... + amn xn = bm .
Matice
a11, a12, ....., a1n b1
Ar = a21, a22, ....., a2n b2
........................ ......
am1, am2, ....., amn bm
se nazývá rozšířená matice soustavy
a11 x1 + a12 x2 + ..... + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + ..... + a2n xn = b2 ,
....................................................
am1 x1 + am2 x2 + ..... + amn xn = bm .
6.3.Řešitelnost soustavy lineárních rovnic
Věta (Frobeniova): Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy,
když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.
(h = hr)
Věta (Frobeniova věta o počtu řešení):
Nechť existuje soustava lineárních rovnic o n neznámých, h je hodnost matice soustavy a hr je
hodnost rozšířené matice soustavy.
Potom platí
1) soustava nemá řešení ((( h ( hr,
2) soustava má řešení ((( h = hr
a) soustava má právě jedno řešení ((( h = hr = n
b) soustava má nekonečně mnoho řešení ((( h = hr ( n,
přičemž za n - h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní
neznámé jsou určeny jednoznačně.
Homogenní soustavy lineárních rovnic
Definice: Soustava lineárních rovnic se nazývá homogenní (zkrácená), jestliže
b1 = ..... = bm = 0.
Věta (o počtu řešení homogenní soustavy):
Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení (h = hr). Označíme-li h hodnost matice
soustavy, n pocet neznámých, potom platí
a) Jestliže h = n, pak má homogenní soustava jediné řešení x = (0, ....., 0).
b) Jestliže h ( n, pak má homogenní soustava nekonečně mnoho řešení
Věta (o obecném řešení homogenní soustavy):
Obecné řešení homogenní soustavy lineárních rovnic je lineární prostor dimenze n - h
(o hodnosti n - h), kde n je počet neznámých a h je hodnost matice soustavy.
Věta o obecném řešení soustavy lineárních rovnic
Věta (o obecném řešení nehomogenní soustavy):
Nechť nehomogenní soustava lineárních rovnic je řešitelná (h = hr).
Potom platí:
Obecné řešení nehomogenní soustavy je rovno součtu libovolného partikulárního
řešení nehomogenní soustavy a obecného řešení odpovídající homogenní soustavy
.
7. Jordanův tvar matice
7.1. Charakteristický polynom, vlastní čísla
7.2. Podobnost dvou matic
7.3. Jordanův kanonický tvar matice
7.4. Řetězec zobecněných vektorů matice
7.1. Charakteristický polynom, vlastní čísla
Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n, potom se det (I-A) nazývá charakteristický
polynom matice A.
Kořeny tohoto