Výpisky_1-20(komplet)

AFY2 (BFY 2) - výpisky

2


I. K M I T Y

Kmity = častá forma pohybu (periodické, neperiodické)
také periodická změna stavu (př. denní nebo roční kolísání teploty = teplotní kmity).

zdroj kmitů = oscilátor netlumené
vlastní
tlumené
harmonické (vy)nucené

periodické samobuzené (vlastní zdroj
(kyvadlo) energie – př. el. zvonek)
obecné (píst motoru)
kmity téměř periodické (srdeční sval)

neperiodické (větve stromů ve větru)
…………………………………………………………………………………………………………………………



Př.: kmity pruţiny nebo kyvadla při malé výchylce, el. kmity v LC obvodu (se zanedbatelným R ), rovnoměrný
pohyb kruhový nebo jeho průmět do libovolného průměru, . . . . .





1 hertz, 1 Hz …. 1 kmit za sekundu



- úhlová frekvence ω (úhlový kmitočet):


………………………………………………………………………………………………………………………….



Zdroj kmitů = oscilátor
– podmínky:
1. systém …. jeden rovnováţný stav.
2. po vychýlení vratná síla . . . přímo úměrná výchylce.
(Síly tohoto druhu = direktivní, direkční.)
3. setrvačné vlastnosti systému (u mech. oscilátorů určené hmotností).
1. HARMONICKÝ KMITAVÝ POHYB
fT1

1Hz = 1s-1
Tf  22 

1.1 Pohybová rovnice harmonických kmitů
3


F = - kx = ma
2
2
dt
xda


(1)


….. pohybová rovnice harmonick ých kmitů


mk
= 2 ,



(2)



(3)

………………………………………………………………………………………………………………………….




(2)  (1) 
(4)


vyhovuje

nebo

sint,(cost ) funkce harmonické, kmity harmonické.

Protoţe [sin(t +  )]max = 1, ( resp. [cos(t +  )]max = 1 ) ,
je xmax =  C . . . amplituda výchylky
( A, xm , um , ym , ).
.........................................................................................................................................................................................
Pak

(5)

resp.
(6)

. . . . x(t) = okamţitá výchylka při harmonickém kmitání, (t + ) … fáze  . . . počáteční fáze.
0 xmkx


 =
mk

T = 2
km

1.2 Rovnice pro okamžitou výchylku
x = C sin (t+ )
x = C cos (t+ )
x(t) = xm sin(t + )
x(t) = xm cos(t + )
x + 2 0x
4





Obr. : časový průběh kmitů (okamţitých výchylek):
- horní graf : T = 2T' . počáteční fáze stejné.
- dolní : periody stejné, liší se počáteční fáze.
Úkol: vysvětlete, proč jsou kmity červeného grafu v dolním obr. ve fázi zpožděny,když jejich graf jakoby předbíhal
kmity modrého grafu.
………………………………………………………………………………………………………………………..




Definice: v =
dtdx
=
dtd
{ xm sin(t + )

(7)

 xm = vm . . . . . amplituda rychlosti
v   -  xm ,  xm .
.........................................................................................................................................................................................
.Definice: a =
dtdv
=
dtd
 xm cos(t + )


(8)

2 xm = am . . . . . . amplituda zrychlení
a   -2 xm , 2 xm

1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu
v =  xm cos(t + )
a = - 2 xm sin(t + )
5

.........................................................................................................................................................................................
(5)  (8) 
(9)


(9)  okamţitá výchylka a zrychlení harmonického pohybu . . . ve fázi:
(současně např. maximální hodnoty)
………………………………………………………………………………………………………………………..
Úkol: a) Pomocí rovnic (7), (8) zjistěte, zda jsou či nejsou ve fázi rychlost a zrychlení harmonického pohybu.
b)V případě, že nejsou ve fázi, zjistěte fázové posunutí mezi rychlostí a zrychlením.
c)Vyjádřete grafy fázové posunutí rychlosti a zrychlení.



a) x = xm cos (t+ ) b) v = -  xm sin(t + ) c) a = - 2 x(t)

Obr.: časový průběh výchylky x(t) harmonického pohybu (  = 0), odpovídající rychlosti v(t) a odpovídajícího
zrychlení a(t).

………………………………………………………………………………………………………………………
Otázky:
Kapitola 16:

a = - 2 x(t)
6



…………………………………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………………………………


……………………………………………………………………………………………..…………………………..
Příklady:
Kapitola 16:

……………………………………………………………………………………………………………………..

7

……………………………………………………………………………………………………………………… ….


……………………………………………………………………………………………………………………….…




… ……………………………………………………………………………………………………………………….
.……………………………………………………………………………………………………………………….






A) Potenciální energie pružné deformace:

Fpruţnosti
Fvnější
0 m x
Δx

(10)
1. Definice :
dW = .F rd  W = 2
1 . rdF

1
rd 2

1.4 Energie harmonických kmitů

Fpruţ = - k x = - kx
8

1r 2r

0
2. Práce vnější síly :
W= x rdF
0 .
 = dxFx pruž
0
= x dxkx
0 .
= k xx
0
2
2


 =
21 kx
2 (11) = potenciální energie deformované pruţiny

3. (5) (11) 
(12)

EP funkcí času, EP změna periodická
......................................................................................................................................................................................
B) Kinetická energie mechanických kmitů:
1. Platí: Ek =
21
m 2v =
21
m 2
dtdx

2.
dtdx
= ? ….. z (5)

(13)

3. Také Ek periodickou funkcí času.

EP = max.  Ek = 0, a naopak. (Vysvětlete.)
………………………………………………………… …………………………………………………………….
C) Energie mechanických harmonických kmitů:
E = EP + Ek = …….

(14)
Závěr:
1. E … nezávislá na čase. E = konstanta pohybu.
2. V kaţdém okamţiku:
(15)

- podobný vztah pro všechny druhy kmitů.
(15) = zákon zachování energie harm. kmitů.
…………………………………………………………………………………………………………………………
Ek =
21
m 22mx 2cos (t + )
E =
2121 22 mxm
k 2mx
Ek + Ep = E = konst.
Ep =
21
m 22mx 2sin (t + )
9



Obr.: průběh mechanické energie potenciální, kinetické a celkové, lineárního harmonického oscilátoru
v závislosti a) na čase, b) na výchylce.
…………………………………………………………………………………………………………………………
Úkol: a) Formou souvislého výkladu vysvětlete, jak spolu souvisí potenciální energie, kinetická energie a celková
energie mechanických harmonických kmitů.
b) Po dobu jedné periody T sledujte kmitající pruţinu od její max. výchylky a určete Ek , Ep a E v těchto
okamţicích: 0,
41
T,
21
T,
43
T a T.
c) Výsledky z části b) tohoto úkolu vyjádřete graficky.
d) Do stejného grafu vyznačte, ve které poloze se nachází volný konec kmitající pruţiny v uvedených
okamţicích.
e) Z obr. určete, kolikrát během jedné periody uvedené energie dosáhnou svého maxima a kolikrát svého minima.
Přitom zároveň zjistěte, v jaké poloze se nachází kmitající pruţina.
f) Z téhoţ obr. zjistěte, zda je moţné, aby se celková energie rovnala pouze okamţité hodnotě energie kinetické,
resp. okamţité hodnotě energie potenciální. V případě, ţe je to moţné, určete, v jaké poloze se v takové
situaci nachází kmitající pruţina.
g) Vyslovte podmínku, za které platí bezezbytku (15). Je tato podmínka reálně splnitelná ?
…………………………………………………………………………………………………………………………


10

………………………………………………………………………………………………………………………….
Příklad: Kapitola 16:

………………………………………………………………………………………………………………………….
Příklad: Kmitavý elektrický obvod se skládá z cívky o indukčnosti L a z rovinného nabitého
kondenzátoru, jehoţ desky mají plošný obsah S. Desky jsou navzájem odděleny parafinovým papírem o
permitivitě , tloušťky h. Vypočítejte periodu elektrických kmitů tohoto obvodu.
( Ztráty energie neuvaţujte.)
…………………………………………………… ……………………………………………………………………………..
pokračování: Fyzika 2 – soubor 02 (Kyvadla)
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 11 (celkem
3)
11




vratnou silou = tíhová síla
…………………………………………………………………………………………………………………



- volně otáčivé . . . vodorovná osa (neprochází těţištěm)


0


ℓ
F
T
h
 2GF
1GF GF

Z obr. 
1GF = - mg sin ( Proč minus? . . .)
1GF vyvolává vratný silový moment (def.: M
 =  x 1GF )
M = ℓ sin900 1GF

(16)

(16) - mírou otáčivého účinku síly 1GF
 pohyb těţiště po kruhovém oblouku = část otáčivého pohybu kolem pevné osy .

Pohybová rovnice otáčivého pohybu:

(17)


 =
2
2
dtd
, J = J(m, ℓ)


(18)

(16)  (18) 
- ℓ mg sin = J
2
2
dtd
.


(19)

2. KYVADLA
2.1 Kyvadlo fyzické
M = - ℓ mg sin
M = J
M = J
022   Jmgdtd 
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 12 (celkem
3)
12

(19) = diferenciální pohybová rovnice fyzického kyvadla.
………………………………………………………………………………………………………………
Porovnáním s (1) a (2) 
2 = Jmg


 (20)



(21)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Celková energie: E = Ek + Ep
kde Ep = mg h,

Ep,max = mg (h)max , (h)max  2ℓ......( zdůvodněte )

V okamţiku, kdy Ep = Ep,max , je Ek = 0, a naopak.
…………………………………………………………………………………………………………………




Def.: hmotný bod ( m ) na nehmotném závěsu ( L )

Prakticky: malá těţká kulička na hedvábném vláknu ( r  L )



L



m . . . (r)

Platí (19), (20) a (21).
Pro hmotný bod: J = mL2 . . . . . také pro r  L .
Proto:

Lgdtd 22
 = 0 . . . pohyb. rovnice mat. kyvadla


(22)




(23)



f =
Jmg21

T = 2
mgJ

2.2 Kyvadlo matematické










f =
Lg21

T = 2
gL

FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 13 (celkem
3)
13


Užitečnost pojmu „matematické kyvadlo“: vytvořena představa tzv. redukované délky ℓ fyzického kyvadla
= délka takového mat. kyvadla, které má stejnou dobu kmitu jako dané kyvadlo fyzické.
Porovnáním (21) a (23) 
ℓ = mLJ
(Reverzní kyvadlo – měření tíhového zrychlení.)
…………………………………………………………………………………………………………………...


……………………………………………………………………………………………………… …
- pokračování: Fyzika 2 - soubor 03 (Tlumené kmity)