Výpisky_1-20(komplet)

FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 14 (celkem
3)
14





netlumené: celková energie stálá: Ek + EP = E = konst.
Vlastní kmity
tlumené: energie kmitů klesá


3+1 základní vlastnosti reálných oscilátorů: rovnováţný stav + vratná síla
setrvačnost
tlumení.
………………………………………………………………………………………….......................................

přirozené, často neţádoucí, př. tlumení el. kmitů v el. obvodech.

Tlumení
úmyslné, ţádané, př. u automobilů, v oblastech zemětřesení tlumení kmitů budov, . . .
………………………………………………………………...............................................................................

Idealizovaný příklad tlumeného harmonického oscilátoru

b . . . součinitel lineárního odporu, (součinitel útlumu).
………………………………………………………………………………………………………………




2. p. z.: pružnostiF + odporuF = ma
Síla odporu -
- často přímo úměrná rychlosti kmitů.
Fodporu = - bv = - bdtdx .

-kx - bdtdx = m
2
2dtxd

3. TLUMENÉ KMITY
3.1 Pohybová rovnice tlumených kmitů
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 15 (celkem
3)
15


(24)

pohybová rovnice vlastních tlumených kmitů.
……………………………………………………………………..................................................................…
………………….

mk
=  … úhlová frekvence netlumených kmitů
mb2 =  … konstanta útlumu,  při daném b oscilátor s větší setrvačností (m) tlumen méně neţ oscilátor
s menší setrvačností.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................

(25)

. . . úhlová frekvence tlumených kmitů

  = 0, tlumení chybí (netlumené kmity).
  , slabé tlumení (    ).
  , silné tlumení, (nadkritické), počáteční výchylka klesá k nule exponenciálně (aperiodický pohyb).
 = , kritické tlumení, počáteční výchylka exponenciálně k nule rychleji neţ při tlumení nadkritickém
(aperiodický pohyb).
…………………………………………………………………………………………............................... ........


u = výchylka

Obr.: Slabě tlumené kmity -
a) počáteční výchylka u=0, počáteční rychlost nenulová;
b) počáteční výchylka u nenulová, počáteční rychlost nulová.

 dtdxmbdtxd 22 mk x = 0
 = 22   =
2
2
4mbmk 

FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 16 (celkem
3)
16






Obr.: Kritické tlumení (plná čára), nadkritické tlumení (přerušovaná čára).

V praxi kritické tlumení: tlumiče vzduchové, kapalinové, elektromagnetické (např. u automobilů, ruček
ukazatelů měřících přístrojů, dvouramenných analytických vah….).
…………………………………… ……………………………………………………………………………



 Řešení (24) za podmínky   :


(26)
(27)


(27) . . . amplituda tlumených kmitů  amplituda klesá s časem exponenciálně:





3.2 Řešení pohybové rovnice slabě tlumených kmitů
x(t) = xm tmbe2 cos(t + ) xm tmbe2 = xm te.
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 17 (celkem
3)
17

Perioda tlumených kmitů:

(28)


    T  T T = 2
…………………………………………………………………………………………………………………...
Útlum (), definice:

(29)




 = poměr 2 výchylek tlumeného oscilátoru, v časovém odstupu T.

Logaritmický dekrement (), definice:

(30)
…………………………………………………………………………………………………………………..




   . . . lze pouţít (14) . . místo xm dosadit (27)


 (31)


Energie tlumených vlastních kmitů . . .
klesá exponenciálně s časem.
……………………………………………………………………………………………………………….





T = 2 =
222  

 =
)( )(Ttx tx 
= Tmbe 2 = Te.
 = ln  = T = mb2 T
3.3 Energie tlumených kmitů
E  21 k 2mx te .2  21 m2 2mx tmbe
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 18 (celkem
3)
18

Příklad:
Kapitola 16:

………………………………………………………………………………………………………………
Příklad 1: Kmitavý obvod se skládá z kondenzátoru o kapacitě 0,3 F a cívky o indukčnosti 5 mH.
Vypočítejte:
a) Logaritmický dekrement, při kterém amplituda napětí na elektrodách kondenzátoru poklesne za
dobu 10-3s na třetinu.
b) Jak velký je ohmický odpor R obvodu.
………… ………………………………………………………………………………………………………
Příklad 2: Elektrický oscilační obvod je sloţený z kondenzátoru o kapacitě 0,1 F, cívky o indukčnosti
0,5H a odporu 4k. Jestliţe je daný obvod oscilační, stanovte rozdíl mezi periodou jeho elektrických
kmitů a periodou elektrických kmitů obvodu sloţeného z téhoţ kondenzátoru a téţe cívky a
zanedbatelného odporu.
………………………………………………………………………………………………………………
- pokračování: Fyzika 2 – soubor 04 (Nucené kmity)


FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 19 (celkem
3)
19





 Vlastní kmity (netlumené, tlumené)
- jednorázový účinek (vnější) síly.
 Nucené kmity . . . . stálé působení vnější síly (budící síly).

vlastních kmitů nehrazeny
ztráty energie
nucených kmitů hrazeny
………………………………………………………………………………………………………………………………





(32)


budícíF = tF …… síla periodicky časově proměnná ( vysvětlete proč ). …………………………………………………………………………………………………………………...
Periodickou fci  v řadu harmonických (Fourierova řada):
F(t) = C0 + C1 sin(  t + 1 ) + C2 sin( 2 t + 2 ) + . .

 moţnost volby:
F(t) = Fm sin(b t + 0 ), (33)

Fm = amplituda budící síly
b = úhlová frekvence budící síly
0 = počáteční fáze budící síly.
………………………………………………………………………………………………………………………………....
 (33)  (32): Řešení pro nucené kmity ve stacionárním stavu:

(34)


kde

(35)

(35) = amplituda nucených kmitů,

am = mFm ,  = fázové zpoţdění nucených kmitů za budící silou.
………………………………………………………………………………………. .……………………………………….
s vnějším buzením (př.nárazy větru do drátů el. vedení, houpačka, . . . )

Rezonátory
s vnitřním buzením (př. el. zvonek, houpačka, . . . )

Nucené kmity rezonátorů s vnitřním buzením = samobuzené kmity.
4. NUCENÉ KMITY
amFFF b u d íc ío d p o rup ru ž  

4.1 Pohybová rovnice nucených kmitů
xstac =  
22222 4 bb
ma
 
. sin(   0tb )
  22222 4 bb ma   = (xstac)m
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 20 (celkem
3)
20

…………………………………………………………………………………………………………………
…………..




Rezonátory . . . moţnost různých stavů . . . . z nich pouze 3 nejvýznamnější:

1) b   ( = úhlová frekvence vlastních kmitů rezonátoru)
 důsledek:   0 (fázové zpoţdění nucených kmitů za budící silou velmi malé, nucené kmity
téměř ve fázi s budící silou).

2) b  ,    .
Nucené kmity téměř v protifázi s . . . . .
3) b = ,   = 2 .
Rezonance (úhlových) rychlostí.
…………………………………………… ……………………………………………………………………...
 Při b =  z (35)  (xstac)m tím větší, čím menší  .

Amplituda největší?
- najít jako extrém funkce ( xstac )m :
 amplituda nucených kmitů maximální, kdyţ

(36)

Jev (36) …. rezonance amplitudová: rezonance mezi vlastními kmity rezonátoru a kmity vynucenými.
…………………………………………………………………………………………………………………...
(36)  (35)  rezonanční amplituda:


(37)



…………………………………………………………………………………………………………………………………
(37)  kdyţ   0, pak (xstac)m, rez  ∞, tato situace však velmi vzácná, neboť
 = mb2  b  0 (součinitel lineárního odporu)
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Častěji   . Pak (37)  ( xstac )m, rez  2ma

a současně z (36)  b   ,

. . tj. s rezonancí amplitudovou zároveň rezonance úhlových rychlostí.


4.2 Amplituda nucených kmitů. Rezonance








(xstac)m, rez =
222  ma

b = 22 2 
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 21 (celkem
3)
21


Obr.: závislost (xstac )m na b pro 3 různé b .
…………………………………………………………………………………………………………………………………
ţádoucí (př. mezi rezonančními el. obvody)
Rezonanční jevy
neţádoucí (např. u strojů s rotujícími částmi)

Rezonance rychlostí v technické praxi větší význam neţ rezonance amplitudová.
.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
Př.rezonance: - kmitočtoměry,
- kritické otáčky strojních součástí (poškození hřídelů),
- frekvence vlastních kmitů křídel letadel  frekvenci pístu leteckého motoru,
a pod.
………………………………………………………………………………………………………………….

Příklad:
Kapitola 16:


…………………………………………………………………………………………………………………..
- pokračování: FYZ 2 – soubor 05 (Postupné harmonické vlny)






FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 22 (celkem
3)
22




FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 23 (celkem
3)
23


II. V L N Y
Kmity (oscilace) - na místě.
Vlny = šíření kmitů do okolí.
Obecněji: šíření periodických změn stavu látkového prostředí (př. tlakové vlny, teplotní vlny),
nebo silového pole (elektromagnetické vlny, světelné vlny).
……………… ………………………………………………………………………………………………….
VLNY
- mechanické: nešíří se vakuem.
- elektromagnetické: šíření periodických změn E a B , i ve vakuu.

- vlny de Broglieho: vlny materiální, pravděpodobnostní. Jen u mikročástic - elektronů, protonů,
neutronů, atomů, , , , atp.
..............................................................................................................................................................................






Vlnění postupné: neohraničené prostředí.
Vlnění stojaté: prostředí ohraničené.

Na hranicích prostředí
a) úplná absorpce,
b) částečná absorpce, zbytek odražen. Vlna odražená + vlna dopadající = částečně stojaté vlnění.
c) žádná absorpce, vše odraženo. Vlna odražená + dopadající = úplné stojaté vlnění.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Vlny: příčné (transverzální): kmity kolmé k šíření (př. elektromagnetické vlny, světelné vlny).
podélné (longitudinální): kmity rovnoběţné se šířením (zvukové vlny v kapalinách a plynech).
. . . . . . ….. . . . . . . . . . . . . ……. . . . . . . . . . . . . . ….. . . . . . . . . . . . . ……. . . . . . . .
   
zhuštění zředění zhuštění atd.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Mechanické vlny v pevných látkách - podélné i příčné.
Příčné zvukové vlny: např. triangl, nelibozvučný zvuk.

puls = kmit

1. POSTUPNÉ HARMONICKÉ VLNY
1.1 Základní pojmy
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 24 (celkem
3)
24

Podélné vlnění:

…………………………………………………………………………………………………………………
………………

nepolarizované: - kmity nepravidelných směrů . . . . . .

Příčné vlny polarizované: - prostorová symetrie kmitů


lineárně: - kmity vzájemně rovnoběţné ( v jedné rovině) :

y v
Vlny polarizované x

kruhově

elipticky
…………………………………………………………………………………………. ……………………………………
Vlnoplocha – body se stejnou fází
 vlny rovinné, kulové, eliptické nebo jiné.
Čelo vlny, paprsky.
.………………………………………………………………………………………………………………….




Okamţitá výchylka . . . y,
směr šíření kmitů . . . x ,
(fázová) rychlost šíření kmitů . . . v :

rovnice kmitů:
y = ym sin(t + )
nebo y = ym cos( t + ) .


(38)

(38) .vlnová funkce vlny
...........................................................................................................................................................................

2
2
2
2
xxy  {ym sin (t - vx )} = - 2
2
v ym sin (t - vx )


2
2
2
2
tty  {ym sin (t - vx )} = - 
2 y
m sin (t - vx )
1.2 Vlnová (diferenciální) rovnice postupné harmonické
vlny
y = ym sin (t - vx )
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 25 (celkem
3)
25




(39)



(39) . . . vlnová (diferenciální) rovnice, (pohybová rovnice šířících se harm. kmitů)
řešení vln. rovnice (39) je (38), nebo y = ym cos (t - vx ),
..............................................................................................................................