Výpisky_1-20(komplet)

.................................................
Vlna libovolným směrem:
- výchylky kmitů . . . u

pak
(40)



(41)

…………………………………………………………………………………………………………………



ym . . . amplituda kmitů,
(t - vx ) . . . fáze vlny (v okamţiku t, v místě x ),  = 2f . . . úhlová frekvence vlny,

f1
= T . . . perioda vlny,  =
fv
= vT , 1 . . . vlnočet, 2 = v = k . . . úhlový vlnočet
2k n 0 . . . vlnový vektor (směr šíření). Také ( k x – ω t) = fáze (42)


Obr.: a) stav vlnění ve směru x v okamžiku t,
b) časový průběh kmitů jediného bodu (např. x1 ), kterým prochází harmonická vlna, během
časového intervalu 3,5 T .

2
2
xy 21v 2
2
ty
1.3 Veličiny charakterizující postupnou harmonickou vlnu
2
2
22
2
2
2
2
2 1
tuvzuyuxu 

u =
2
2
21 tuv 

FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 26 (celkem
3)
26

………………………………………………………………………………………………………………………………....





 . . . . síla napínající vlákno (strunu)
 . . . délková hustota hmotnosti struny


2 . pohyb. zák.: F = m.a ,
a = adostř. = Rv2
z obr. 
2 sin =  ℓ Rv2 , sin   tg 
z obr. 2 tg   R

…………………………………………………………………………………………………………………………………
 =  v 2



(43)

 na struně při konst. napětí - vlny různých frekvencí stejnou fázovou rychlost
…………………………………………………………………………………………………………………
…..




Vlnění . . . přenáší energii , látku ne.
Měřítkem přenosu energie = přenášený výkon P

. . .plošná hustota přenášeného výkonu = 
 cos.dSdP



1.5 Energie a výkon přenášené vlněním
1.4 Rychlost postupné vlny na vlákně
(rychlost šíření příčných kmitů na struně)
v =


FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 27 (celkem
3)
27




v



Sd


……………………………………………………… ………………………………………………………...
(14)  2221
mymE 

Ve spojitém prostředí m   :
2221
myE 
= w = hustota energie vlnění (energie v objemu jednotkové velikosti)

 za 1s plochou 1m2 , kolmou na v , projde energie
E = I = v . w = 2221
myv
= intenzita vlnění

(44)

………………………………………………………
………………………………………………………
…
– rovinné vlny = svazek rovnoběţných paprsků,
jestli zároveň b = 0  každým průřezem téhoţ svazku prochází stejná energie,

(45)

Závěr: Intenzita postupné rovinné vlny v prostředí bez absorpce . . . . konstantní.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………… ……………… …..
- kulové vlny = svazek rozbíhavých paprsků. Plocha vlnoploch roste s r 2. 



(46)

Pz . . . výkon zdroje

Závěr: Intenzita kulových vln klesá se 2. mocninou vzdálenosti . (Platí i v prostředí s b = 0.)
…………………………………………………………………………………………………………………
Energie přenesená vlnou za jednotku času = (střední) výkon Pstř
- podle (44) 

(47)
I = 2221
myv

I = I0 = konst.
I 
2rPz

Pstř = 2221
myv


FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 28 (celkem
3)
28



………………………………………………………………………………… …………………………….




……………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………
Otázky:
Kapitola 17

………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………..
Příklad:
Kapitola 17:

Příklad:
Kapitola 18:
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 29 (celkem
3)
29





…………………………………………………………………………………………………………………
Příklady:
Kapitola 17:

…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………..
- pokračování: FYZ 2 – soubor 06 (Interference vln)




FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 30 (celkem
3)
30




Situace: prostředím současně vlny z více zdrojů kmitání.
. . . skládání kmitů = interference vlnění.

princip nezávislosti šíření vln:





………………………………………………………………………………………………………………….



- okamţitá výchylka (y ) = vektorový součet okamţitých výchylek překrývajících se vln:
....21  yyy 

Jsou-li výchylky vzájemně rovnoběţné
(vlny lineárně polarizované):
y = y1 + y2 + ….
…………………………………………………………………………………………………………………



- nejjednodušší případ:
Skládané vlny jsou –
1. stejného druhu.
2. izochronní (stejné frekvence a stejné vln. délky),
a současně
3. synchronní (v místě skládání časově stálý rozdíl fází).
takové vlny . . . koherentní vlny . . . . (koherentní zdroje).
2. INTERFERENCE VLN

2.1 Princip superpozice
2.2 Interference konstruktivní a destruktivní
Překrývající se vlny se při svém postupu navzájem neovlivňují.
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 31 (celkem
3)
31

Přidáme poţadavek
4. stejný polarizační stav (stejné směry vektorů výchylek skládaných vln):


Obr.: (a) výchozí vlny ve fázi . . . interference úplně konstruktivní
(b) vlny v protifázi . . . interference úplně destruktivní
………………………………………………………………………………………………………………….


Z1 ℓ1 P


Z2 ℓ2

y1 = y1m sin(ωt - kℓ1) . . . podle (42)
y2 = y2m sin(ωt - kℓ2)
....................................………………………………………………………………………………………….
yP = y1 + y2

Označme: 2 ℓ1 = φ1 , 2 ℓ2 = φ2 .

yP = y1m sin(ωt - φ1 )+ y2m sin(ωt - φ2 )

yP = sin ωt(y1m cosφ1 + y2m cosφ2) - cos ωt(y1m sinφ1 + y2m sinφ2)

Označme:
y1m cosφ1 +y2m cosφ2 = ym cosφ (a)
y1m sinφ1 + y2m sinφ2 = ym sinφ (b)
.......................................................................................................................................................................


(a)2 + (b)2 
(48)




ab
 (49)



 (50)

(50) - výsledná vlna opět harmonická, s frekvencí ,
(48) - o amplitudě ym ,
(49) - s fáz. konstantou  .
…………………………………………………………………………………………………………………..
  tgyy yy mm mm  2211 2211 co sco s sinsin
yP = ym sin(t - )
c o s2 212221 mmmm yyyy  (2 - 1) = 2my

FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 32 (celkem
3)
32

( t - 1) - ( t - 2) = (2 - 1) . . . . . . . . fázový rozdíl ().


(51)




.

…………………………………………………………………………………………………………………...
1. jestliţe

(52)


tj.  = 2m  ,

pak ze (48)
tj. co s2 212221 mmmm yyyy  (2 - 1) = 2my  ym = y1m + y2m ( ym maximální).

Podle (44)  intenzita vlnění = maximální,
. . . . úplně konstruktivní interference. . . . . interferenční maximum.
………………………………………………………………………………………………………………
2. jestliţe

(53)

tj.  = (2m + 1) ,

pak
ym = y1m – y2m ( ym minimální ) . . . destruktivní interference.

Při y1m = y2m , ym = 0,
intenzita v P nulová,
. . . . úplně destruktivní interference . . . . interferenční absolutní minimum.
………………………………………………………………………………………………………………..
1. Při ostatních hodnotách  ℓ . . .
. . . částečná interference.
..............................................................................................................................……………………………….
Příklad:
Kapitola 17:

………………………………………………… ……………………………………………………………….
Poznámka 1: I při interferenci - zákon zachování energie. Ale mění se prostorové rozloţení energie vlnění.
V interferenčních maximech energie vlnění nahromaděna, v minimech malá, příp. nulová.

Poznámka 2: Při skládání nekoherentních vlnění rychlá a nepravidelná změna fázového rozdílu. 
interference nepozorovatelná.
…………………………………………………………………………………………………………………...
 = 2 - 1 = 2 (ℓ2 - ℓ1)
fázový rozdíl () = 2 · rozdíl dráhový (ℓ)

Δℓ = 2m2


ℓ = (2m + 1)2
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 33 (celkem
3)
33





Stojaté vlnění . . .
. . . sloţením 2 stejných (stejná f a stejná λ ) protisměrných vlnění, např. vlnění postupující ve směru +x a
totéţ vlnění odraţené ve směru –x. Pro zjednodušení předpokládejme: obě vlnění mají stejně velikou
amplitudu výchylek: y1m = y2m

Pak y1 = y1m sin (kx - t), neboli y1 = y1m sin {k(x - vt)},
a y2 = y1m sin {k(x + vt) + φ} (54), kde φ = vzájemný fázový posun obou vln, ke kterému můţe dojít
vlivem odrazu
………………………………………………………………………………………………………………….
y = y1 + y2 = y1m {sin (kx - t) + sin (kx + ωt + φ)} .
Protoţe sin α + sin β = 2 sin 
 2
. cos 
 2


 (55)

(55) nemá tvar rovnice pro postupnou harmonickou vlnu (38). Nepopisuje tedy postupné vlnění.
…………………………………………………………………………………………………………………...
2y1m sin(kx + 2 ) = ym je amplituda kmitů výsledného vlnění. Je závislá na x , na poloze
kmitající částice, takţe:
1) Jestliţe sin(kx + 2 ) = 0,  ym = 0 a to trvale. Tedy – částice o polohách x, vyhovujících vztahu
(kx + 2 ) = m , m = 0,  1,  2,  . . . jsou trvale v klidu, nekmitají. Taková místa . . . uzly.
 xuzlů = m2 -
k12


(hodnota fázového posunutí  určuje umístění uzlů v bodové řadě x )
 Vzdálenost mezi sousedními uzly = 2 .
2) Jestliţe sin(kx + 2 ) =  1, je ym =  2y1m , je maximální, také trvale.
 xm = (2m + 1)
kk 1212  
,
xm = (2m + 1)
k124 
.
Místa s xm . . . kmitny. Trvale kmitají s maximálními amplitudami.
Vzdálenost mezi sousedními kmitnami = 2 .
…………………………………………………………………………………………………………………...
Př.: Kdyţ bude  = 0, pak xm-tý uzel = m2 , x(m+1)-vý uzel = (m + 1)2
xuzlů = xm+1 - xm = 2 .
Zároveň xm – té kmitny = (2m + 1)4 , x (m+1) – vé kmitny = [2(m + 1) + 1] 4
xkmiten = xm+1 - xm = 2 .
2.3 Stojaté vlny a vlastní kmity
y = 2y1m sin(kx + 2 ) cos (t + 2 )
FYZ 2 – soubor 02 (Kyvadla) - RNDr. Vladimír Zdraţil, Ph.D. Strana 34 (celkem
3)
34

Konkrétně např.: 1. uzel . . . (m = 0) xuzlu = 0, 2. uzel . . . (m = 1) xuzlu = 2 , atd.
1. kmitna . . .(m = 0) xkmitny = 4 , 2. kmitna . . . (m = 1) xkmitny = 34 , atd.

Tedy

(56) . . . … polohy uzlů


a


(57) … polohy kmiten.

Polohy uzlů i kmiten stálé . . . proto stojaté vlnění (stojatá vlna).
……………………………… ………………………………………………………………………………..

Obr.: vznik stojaté vlny (na řádku c) - interferencí . . . . čeho ? (řádky a, b).
Uzly označeny černými tečkami.

V případě postupných vln (a, b ) uzly ani kmitny neexistují.


y