Semestrální písemka z ledna 09

a ostatní požadované vlastnosti jsou také splněny.
4. a) Náhodná veličina X je popsána hustotou
f(x) =
braceleftBigg 0 pro x ≤ 2;
k · 1x2 pro x > 2.
– určete hodnotu konstanty k; (4 body)
– najděte vzorec distribuční funkce F(x); (6 bodů)
– vypočtěte pravděpodobnost, že veličinu X naměříme v intervalu 〈3;5〉. (4 body)
Řešení:
1 =
integraldisplay ∞
2
k
x2 dx = k[
−1
x ]
∞
2 = k ·
1
2,
a tedy k = 2. Dalším úkolem je najít distribuční funkci:
F(x) =
braceleftBigg 0 ...x ≤ 2;
integraltextx
2
2
t2dt = 1 −
2
x ...x > 2.
Nyní F(x) použijeme pro výpočet pravděpodobnosti:
P(X ∈ 〈3;5〉) = F(5) − F(3) = 1 − 25 − 1 + 23 .= 0,26667.
b) Jak se vyjádří F(x) u diskrétní veličiny pomocí pravděpodobnostní funkce?
Řešení: F(x) = summationtextk 0 a mezi bodem a a bodem řešení
nastává lokální minimum (doufám, že obrázek podle těchto indicií nakreslíte). Pokud
volíme x0 blízko bodu lokálního minima, x1 se může nacházet výrazně mimo interval
〈a;b〉.
2. a) Vypočtěte integraltext42 arctg x složenou lichoběžníkovou metodou pro m = 4 a odhadněte chybu
tohoto výpočtu podle vzorce
|E| ≤ (b − a)
3
12m2 · max〈a;b〉|f
primeprime(x)|.
(při hledání maxima funkce fprimeprime počítejte s tím, že fprimeprime nabývá svého maxima v některém z
krajních bodů intervalu (nemusíte počítat třetí derivaci))
Řešení: Pro m = 4 máme h = 0,5, a tedy
integraldisplay 4
2
arctg x = 0,5 ·
parenleftbiggarctg2
2 + arctg2,5 + arctg3 + arctg3,5 +
arctg4
2
parenrightbigg
=
= 0,5 · 4,9483156 = 2,4741578.
Dále
fprime(x) = 11 + x2, fprimeprime(x) = −2x(1 + x2)2
a dosazením obou krajních bodů intervalu lze zjistit, že max|fprimeprime| = |fprimeprime(2)| = 0,16. Celkem
tedy pro odhad chyby integrace v našem příkladu platí
|E| ≤ 812 · 42 · 0,16 .= 0,006667.
7
b) Napište vzorec pro řešení počáteční úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu
Eulerovou metodou. Vysvětlete funkce, proměnné a parametry použité ve vzorci.
Řešení: Viz skriptum BMA3.
3. a) Pravděpodobnost správně přeneseného bitu při jistém přenosu dat je 0,8. X = počet
správně přenesených bitů z následujících 10. Určete EX, DX. Následující úkol proveďte
– pomocí binomického rozdělení (8 bodů)
– pomocí normálního rozdělení s korekcí (6 bodů)
Úkol: vyčíslete pravděpodobnost, že při přenesení 10 bitů bude méně než 8 bitů přeneseno
správně.
Řešení: Jedná se o binomické rozdělení pravděpodobnosti, a tedy EX = 8, DX = 1,6 a√
DX = 1,2649. Dále pomocí binomického rozdělení
P(X < 8) = 1 − p(8) − p(9) − p(10) = 1 − 0,810 − 10 · 0,2 · 0,89 − 10 · 92 · 0,22 · 0,88 =
= 0,3222.
Druhý způsob pomocí normálního rozdělení: pravděpodobnost P(X ∈ 〈0;7〉) upravíme
pomocí korekce na
P(X ∈ 〈−0,5;7,5〉) = Φ
parenleftBigg7,5 − 8
1,2649
parenrightBigg
− Φ
parenleftBigg−0,5 − 8
1,2649
parenrightBigg
=
= Φ(−0,40) − Φ(−6,72) = 1 − 0,6554 − 1 + 1 .= 0,3446.
b) Uveďte příklad diskrétní veličiny X, která splňuje následující vlastnosti: platí P(X = 10) =
0,2; F(10) = 0,1; střední hodnota veličiny je rovna 15.
Řešení: Podmínkám zadání vyhovuje např. následující pravděpodobnostní funkce:
xi 9 10 16 k
p(xi) 0,1 0,2 0,4 0,3
Neznámou hodnotu k určíme z podmínky EX = 15 – vychází k = 19. Další požadované
vlastnosti jsou také splněny.
4. a) Náhodná veličina X je popsána hustotou
f(x) =



0 pro x ≤ 0;
k ·
parenleftBig1
2
parenrightBigx
pro x > 0.
– určete hodnotu konstanty k; (4 body)
– najděte vzorec distribuční funkce F(x); (6 bodů)
– vypočtěte pravděpodobnost, že naměříme X > 2; (4 body)
Řešení:
1 =
integraldisplay ∞
0
k ·
parenleftbigg1
2
parenrightbiggx
dx = k
bracketleftBigg 1
ln 12
bracketrightBigg
·
bracketleftbiggparenleftbigg1
2
parenrightbiggxbracketrightbigg∞
0
= kln1 − ln2 · (−1) = kln2,
a tedy k = ln2. Dalším úkolem je najít distribuční funkci:
F(x) =


0 ...x ≤ 0;
integraltextx
0 ln2 ·
parenleftBig1
2
parenrightBigt
dt = 1 −
parenleftBig1
2
parenrightBigx
...x > 0.
Nyní F(x) použijeme pro výpočet pravděpodobnosti:
P(X > 2) = 1 − F(2) = 1 − 1 +
parenleftbigg1
2
parenrightbigg2
= 0,25.
b) Jaké jsou základní vlastnosti distribuční funkce u spojité veličiny?
Řešení: Viz otázky z psti na mé internetové stránce. F(x) je navíc spojitá funkce.
8