Scriptum matematiky

Matematika 1
RNDr. Petr Fuchs, Ph.D.
RNDr. Vlasta Krupková, CSc.
ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 1 1
Obsah
1 Úvod 10
1.1 Elementy matematické logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Výroky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Výrokové funkce – predikáty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kvantifikátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Číselné množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Suprémum, infimum, maximum, minimum, ohraničené (omezené) množiny 23
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Funkce, zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Pojem a základní vlastnosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Složená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Funkce prosté a funkce inverzní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Algebraické operace mezi funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Monotonní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Funkce sudé a liché, funkce periodické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Funkce ohraničené . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Otázky a úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Lineární algebra 47
2.1 Aritmetické vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Základní pojmy, aritmetické operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Vektory ve fyzice, geometrická reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Lineární závislost, báze, souřadnice vektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Hodnost systému vektorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Otázky a úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Transponovaná matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Aritmetické operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Násobení matic, inverzní matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Hodnost matice, ekvivalence matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Výpočet inverzní matice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Permutace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Definice determinantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Základní vlastnosti determinantů, výpočet determinantů . . . . . . . . . . 82
Výpočet inverzní matice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4 Soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Maticový zápis soustavy lineárních rovnic, rozšířená matice soustavy . . . . 93
Řešitelnost soustavy, Frobeniova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Homogenní soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Nehomogenní soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Cramerovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Zaokrouhlovací chyby, špatně podmíněné soustavy . . . . . . . . . . . . . . 101
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Diferenciální počet I. 108
3.1 Úvodní poznámky – motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2 Limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Definice limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Limita parciální funkce (relativní limita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Hromadná hodnota posloupnosti, horní a dolní limita . . . . . . . . . . . . 114
Věty o limitách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Věty o nevlastních limitách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Limita složené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Matematika 1 3
3.3 Spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Klasifikace nespojitostí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Funkce spojité na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu . . . . . . . . . . . . . 131
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.4 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Derivace v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Derivace na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Základní pravidla pro derivování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Neurčité výrazy, L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Věty o přírůstku funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Slovník a gramatika pro derivace . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5 Derivace vyšších řádů, Taylorův polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Derivace a diferenciály vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Linearizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Aproximace funkce Taylorovým polynomem . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Taylorovy formule pro některé funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.6 Extrémy, průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Lokální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Absolutní (globální) extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body . . . . . . . . . . . . . . . 171
Asymptoty grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Vyšetření průběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4 Integrální počet I. 187
4.1 Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Primitivní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.2 Integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Integrace per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Metoda substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Integrace racionálních lomených funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Integrace některých iracionálních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Integrace trigonometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Vzorce pro výpočet neurčitých integrálů . . . . . . . . . . . . 209
Důležité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Některé typy integrálů řešitelné metodou per partes . . . . 209
Některé doporučené substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Otázky a úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.3 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Dělení intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Integrální součet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Určitý (Riemannův) integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Vlastnosti určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Odhad určitého integrálu, věta o střední hodnotě . . . . . . . . . . . . . . 220
Funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Newton-Leibnizova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Metoda per partes pro učité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Metoda substituce pro určité integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.4 Aplikace určitého integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Obsah rovinné oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Objem rotačního tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Délka rovinné křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Otázky a úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.5 Nevlastní integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Integrály z neohraničených funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Obecná definice nevlastního integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5 Nekonečné řady 238
5.1 Číselné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Matematika 1 5
Vlastnosti číselných řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Kriteria konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Absolutní konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Přerovnání řad, násobení řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Numerická sumace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.2 Mocninné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Poloměr konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Derivace a integrace mocninných řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Taylorovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Taylorovy (Maclaurinovy) řady některých elementárních
funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6 Diferenciální počet II. 270
6.1 Funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Pojem funkce dvou a více proměnných, definiční obory, graf . . . . . . . . 270
Složená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Kvadratické plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.2 Limita, spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.3 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Geometrický význam parciálních derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Směrová derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Geometrický význam gradientu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Diferenciál funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.4 Derivace a diferenciály vyšších řádů, Taylorova věta . . . . . . . . . . . . . 301
Diferenciál k-tého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Aproximace funkce Taylorovým polynomem . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.5 Extrémy funkcí více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Lokální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Nutná podmínka pro extrém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Postačující podmínka pro extrém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Vázané a absolutní extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Otázky a úkoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Matematika 1 7
Seznam obrázků
1.1 y = sgn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 y = [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Složená funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 arcsinsinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 y = x2,y =√x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 y = ex,y = lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 y = sinx,y =arcsinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 y = cosx,y =arccosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9 y =tgx,y =arctgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 y =cotgx,y =arccotgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.11 f(x)=5−√x, f−1(x)=(x−5)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.12 Sudá funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.13 Lichá funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.14 Periodické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .