Scriptum matematiky

y
du·
du
dx = e
u·lna = ex lna·lna = ax lna
b) Pro x> 0 je nám vztah již znám.
Je-li x< 0, potom y = ln|x|= ln(−x); y = lnu, u =−x:
dy
dx =
dy
du·
du
dx =
1
u·(−1) =
1
−x·(−1) =
1
x
c) y = xa = ea lnx, y = eu, u = a lnx, x> 0:
dy
dx =
dy
du·
du
dx = e
u·a
x = e
a lnx·a
x = x
a·a
x = a·x
a−1
V následujícím příkladu použijeme odvozené vztahy při výpočtu derivace komplikovaněj-
ších funkcí:
Příklad 3.62: Máme vypočítat fprime, je-li f zadaná předpisem
a) f(x) = 4
radicalBig
x−√1+x2
x+√1+x2, b) f(x) = arctg
cosx
1+sinx c) f(x) = (sinx)
cosx
142 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Řešení: a)
f(x) =
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBigg1
4
; fprime(x) = 14
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBigg−3
4
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBiggprime
=
= 14
bracketleftBigg
x+√1 +x2
x−√1 +x2
bracketrightBigg3
4
·
·(x−(1 +x
2)12)prime (x+ (1 +x2)12)−(x−(1 +x2)12)(x+ (1 +x2)12)prime
(x+√1 +x2)2 =
= 14
bracketleftBigg
x+√1 +x2
x−√1 +x2
bracketrightBigg3
4
·
·(1−
1
2(1 +x
2)−12 2x)(x+ (1 +x2)12)−(x−(1 +x2)12)(1 + 1
2(1 +x
2)−12 2x)
(x+√1 +x2)2 =
po úpravě (1. a 3. závorku v čitateli převedeme na společného jmenovatele, který je roven√
1 +x2, a roznásobíme) dostaneme
=− 12√1 +x2
bracketleftBigg
x+√1 +x2
x−√1 +x2
bracketrightBigg3
4 x−√1 +x2
x+√1 +x2 =−
1
2√1 +x2
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBigg1
4
.
b)
fprime(x) = 1
1 +bracketleftbig cosx1+sinxbracketrightbig2
bracketleftbigg cosx
1 + sinx
bracketrightbiggprime
=
= (1 + sinx)
2
(1 + sinx)2 + cos2x
(cosx)prime(1 + sinx)−cosx(sinx)prime
(1 + sinx)2 =
= 12 + 2sinx [−sinx(1 + sinx)−cos2x] =−12.
c)
f(x) = (sinx)cosx = ecosx lnsinx, fprime(x) = ecosx lnsinx (cosx lnsinx)prime =
= (sinx)cosx
parenleftbigg
−sinx lnsinx+ cosx 1sinx cosx
parenrightbigg
=
= (sinx)cosx−1parenleftbigcos2x−sin2x lnsinxparenrightbig.
Matematika 1 143
Příklad 3.63: Kondenzátor s kapacitou C se vybíjí přes rezistor s odporem R. Máme
najít intenzitu proudu v čase t, jestliže pro náboj na deskách kondenzátoru platí
Q = 0,001e−t/5
kde náboj Q je vyjádřen v coulombech a čas t v sekundách. Máme zjistit, za jak dlouho
klesne intenzita proudu na polovinu své počáteční hodnoty.
Řešení: Intenzita elektrického proudu v ampérech je
i = dQdt = (0,001e−t/5)prime =−0,0002e−t/5
Pro t = 0 je
i0 =−0,0002A =−0,2mA
Čas v sekundách,za který klesne intenzita proudu na polovinu, najdeme z podmínky
i0
2 =−0,0002e
−t/5 neboli 1
2 = e
−t/5.
Tedy t = 5 ln2 .= 3,47s.
Příklad 3.64: Máme najít rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = lnx, jestliže
tečna je rovnoběžná s přímkou x−y+ 5 = 0.
Řešení: Nechť A = [x0,y0] je bod, ve kterém je hledaná tečna rovnoběžná se zadanou
přímkou. Z podmínky rovnoběžnosti plyne pro směrnicik1 tečny a směrnicik2 dané přímky
vztah k1 = k2 (= 1), neboli
(lnx)primex=x0 = 1, tedy 1x
0
= 1.
Odtud je x0 = 1 a y0 = lnx0 = 0.
Rovnice tečny v bodě A = [1,0] je
y−0 = 1(x−1) neboli x−y−1 = 0
a rovnice normály
y−0 =−11(x−1) neboli x+y−1 = 0.
144 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Diferenciál funkce
Definice 3.65: Nechť funkce f je diferencovatelná v bodě x0. Potom funkci fprime(x0)·h
proměnné h∈R nazýváme diferenciálem funkce f v bodě x0 a značíme
df(x0) = fprime(x0)·h.
Je-li funkce f diferencovatelná na intervalu (a,b), potom fprime(x)·h závisí na dvou pro-
měnných x∈ (a,b), h∈ (−∞, +∞). Tento výraz nazýváme diferenciálem funkce a
označujeme df(x), nebo df.
Zvolíme-li speciálně f : f(x) = x, potom df(x) = dx = 1.h.
Výsledku dx = h budeme nadále používat všude. Bude tedy
df(x) = fprime(x)·dx, df(x0) = fprime(x0)·dx.
Odtud lze dělením diferenciálem dx získat již dříve uvedené Leibnizovo vyjádření derivace
funkce
fprime(x) = df(x)dx , fprime(x0) = df(x0)dx .
Přírůstek dx nazýváme přírůstkem argumentu.
Geometrický význam diferenciálu
Obr. 3.47: Geometrický význam diferenci-
álu
Rovnice tečny ke grafu funkce
f v bodě [x0, f(x0)] má tvar:
y−f(x0) = tgα(x−x0) =
= fprime(x0)(x−x0).
Označíme-li tedy
x−x0 =trianglex,
f(x)−f(x0) =trianglef(x),
je geometrický význam diferen-
ciálu
df(x0) = fprime(x0)(x−x0)
„přírůstek po tečněcsquotedblright, tak jak je
znázorněno na obr. 3.47.
Matematika 1 145
Aproximace přírůstku funkce diferenciálem
Přírůstek funkce f v bodě x definujeme vztahem ∆f(x) = f(x+h)−f(x).
Je-li fprime(x)negationslash= 0, potom
lim
h→0
∆f(x)
df(x) = limh→0
f(x+h)−f(x)
fprime(x)·h =
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
fprime(x) = 1.
Proto pro dostatečně malá h je
∆f(x)
df(x) ≈1, tj. ∆f(x)≈df(x)
a můžeme pro malá h přibližně nahradit přírůstek funkce jejím diferenciálem.
Příklad 3.66: S jakou chybou (v procentech) vypočteme objem krychle, jestliže se při
měření strany krychle dopustíme nejvýše 1% chyby?
Řešení: Nechť x značí délku strany krychle a V její objem. Nechť dx značí možnou
chybu v měření x. Relativní chyba dxx je v absolutní hodnotě nejvýše 0,01, tedy
|dx|
x ≤0,01.
DiferenciáldV je odhad chyby při výpočtu objemu, tj. dVV je odhad relativní chyby objemu.
Protože
dV = d(x3) = 3x2dx,
dostaneme
dV
V =
3x2dx
x3 = 3
dx
x .
Tedy relativní chyba objemu je trojnásobek relativní chyby v měření strany, tj. asi 3%.
Neurčité výrazy, L’Hospitalovo pravidlo
V tomto odstavci uvedeme pravidlo, které výrazně zjednoduší počítání limit funkcí v
bodech, kde není možné přímo dosadit – tak zvaných neurčitých výrazů:
Vyšetřujeme-li limitu lim
x→a
f(x)
g(x), kde limx→ag(x) = 0, nemůžeme použít větu o limitě podílu;
je-li navíc limx→af(x) = 0, nejedná se ani o žádnou nevlastní limitu. Přesto uvedený podíl
limitu může mít a to dokonce vlastní. Podobná situace vzniká, jsou-li limity funkcí f,g
nevlastní, nebo vyšetřujeme-li limitu rozdílu dvou funkcí, z nichž má každá nevlastní
limitu∞a podobně. Tyto a jim analogické případy limit nazýváme neurčité výrazy a
dělíme je do několika typů (lim označuje limx→a):
146 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1. Je-li limf(x) = limg(x) = 0, potom lim f(x)g(x) nazýváme neurčitým výrazem typu 00.
2. Je-li limf(x) = limg(x) =±∞, potom lim f(x)g(x) nazýváme neurčitým výrazem typu
∞
∞.
3. Je-li limf(x) = 0,limg(x) =±∞, potom limf(x)·g(x) nazýváme neurčitým výra-
zem typu 0·∞.
4. Je-li limf(x) = limg(x) =∞, potom limf(x)−g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu∞−∞.
5. Je-li limf(x) = 1,limg(x) =∞, potom lim(f(x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu 1∞.
6. Je-li limf(x) =∞,limg(x) = 0, potom lim(f(x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu∞0.
7. Je-li limf(x) = limg(x) = 0, potom lim(f(x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu 00.
Uvedeme metodu na výpočet neurčitých výrazů prvních dvou typů; neurčité výrazy zbý-
vajících typů se vždy snažíme na některý z prvních dvou převést.
Věta 3.67: (První L’Hospitalovo pravidlo)
Nechť funkce f,g jsou diferencovatelné na některémU∗(a) a platí
1) lim
x→af(x) = limx→ag(x) = 0, 2) limx→a
fprime(x)
gprime(x) = b. Potom také limx→a
f(x)
g(x) = b.
Důkaz: Předpokládejme, že a je vlastní, tedy že platí f(a) = g(a) = 0. Potom
limx→a f(x)g(x) = limx→a f(x)−f(a)g(x)−g(a) = limx→a
f(x)−f(a)
x−a
g(x)−g(a)
x−a
=
limx→a f(x)−f(a)x−a
limx→a g(x)−g(a)x−a
= f
prime(a)
gprime(a).
V případě, kdy f(a) nebo g(a) neexistuje (tedy některá z funkcí f, g má v a odstanitelnou singularitu), definiční předpis
změníme tak, že položíme f(a) = g(a) = 0. V případě a = ±∞ použijeme substituci t = 1x a větu o limitě složené funkce.
Věta 3.68: (Druhé L’Hospitalovo pravidlo)
Nechť funkce f,g jsou diferencovatelné na některémU∗(a) a platí
1) lim
x→a
|g(x)|=∞ 2) lim
x→a
fprime(x)
gprime(x) = b. Potom také limx→a
f(x)
g(x) = b.
Příklad 3.69: Vypočteme následující limity:
a) limx→1 ln(2x−1)tg4pix b) limx→∞ lnxx c) limx→∞x1x d) limx→0(cotgx− 1x)
Matematika 1 147
Řešení:
a) limx→1 ln(2x−1)tg4pix =
parenleftbigg0
0
parenrightbigg
= lim
x→1
22x−1
4pi
cos2 4pix
= lim
x→1
cos2 4pix
2pi(2x−1) =
1
2pi.
b) limx→∞ lnxx =
parenleftBig∞
∞
parenrightBig
= limx→∞
1x
1 = 0.
c) limx→∞x1x =parenleftbig∞0parenrightbig= lim
x→∞
e1x lnx = eb,
kde b = limx→∞ lnxx = 0, jak jsme vypočítali v předchozím příkladu. Tedy
lim
x→∞x
1
x = e0 = 1.
d) lim
x→0
parenleftbigg
cotgx−1x
parenrightbigg
= (±∞−(±∞)) = lim
x→0
parenleftbiggcosx
sinx−
1
x
parenrightbigg
=
= lim
x→0
xcosx−sinx
xsinx =
parenleftbigg0
0
parenrightbigg
= limx→0 cosx−xsinx−cosxsinx+xcosx =
= lim
x→0
−xsinx
sinx+xcosx =
parenleftbigg0
0
parenrightbigg
= lim
x→0
−sinx
sinx
x + cosx
= 0.
Na poslední neurčitý výraz jsme L’Hospitalovo pravidlo již nepoužili – výhodnější bylo
dělit čitatele i jmenovatele x.
Závěrem kapitoly o derivaci uvedeme tři důležité věty o funkcích diferencovatelných na
intervalu, které mají značný teoretický, ale i praktický význam:
Věty o přírůstku funkce
Věta 3.70: (Fermatova) Jestliže
a) f je spojitá na〈a,b〉,
b) v bodě ξ∈(a,b) nabývá své největší (nebo nejmenší) hodnoty,
c) existuje fprime(ξ),
pak fprime(ξ) = 0.
Důkaz: Předpokládejme, že f má v ξ maximum, tedy platí
f(x) ≤ f(ξ) ∀x ∈ 〈a,b〉, neboli f(x)−f(ξ) ≤ 0.
Potom pro podíl f(x)−f(ξ)x−ξ platí:
x < ξ ⇒ f(x)−f(ξ)x−ξ ≥ 0, x > ξ ⇒ f(x)−f(ξ)x−ξ ≤ 0.
148 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Tedy
lim
x→ξ−
f(x)−f(ξ)
x−ξ = f
prime−(ξ) ≥ 0, lim
x→ξ+
f(x)−f(ξ)
x−ξ = f
prime+(ξ) ≤ 0.
Protože podle předpokladu existuje fprime(ξ), musí platit
fprime−(ξ) = fprime+(ξ) = fprime(ξ) = 0.
Věta 3.71: (Rolleova) Jestliže
a) f je spojitá na〈a,b〉,
b) f je diferencovatelná na (a,b),
c) platí f(a) = f(b),
pak existuje bod ξ∈(a,b) tak, že fprime(ξ) = 0.
Věta 3.72: (Lagrangeova o přírůstku funkce) Jestliže
a) f je spojitá na〈a,b〉,
b) f je diferencovatelná na (a,b),
pak existuje ξ∈(a,b) takové, že
fprime(ξ) = f(b)−f(a)b−a .
Obr. 3.48: Rolleova věta Obr. 3.49: Lagrangeova věta
Uvedené věty, které se souhrnně nazývají větami o přírůstku funkce, jsou velmi důležité
z teoretického hlediska – pomocí nich se dokazují prakticky všechna důležitá tvrzení o
diferencovatelných funkcích. Důkazy neuvádíme; platnost tvrzení v nich obsažených
názorně ukazují obrázky 3.48 a 3.49.
Důsledek: Funkce f je konstantní na (a,b), právě když fprime(x) = 0 na (a,b).
Matematika 1 149
Shrnutí
V této kapitole jsme definovali základní prostředek diferenciálního počtu – derivaci funkce:
• derivace funkce f v bodě x0: fprime(x0) = limx→x
0
f(x)−f(x0)
x−x0 ,
• derivace zleva (zprava): je definovaná pomocí příslušných jednostranných limit,
• derivace funkce f na intervalu: funkce fprime : x→fprime(x).
Derivace popisuje „rychlost, s jakou se mění daná veličinacsquotedblright, nejen ve fyzice, ale i v chemii,
biologii, ekonomii, managementu,...
Geometrický význam derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce:
• rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x0,f(x0)]: y−f(x0) = fprime(x0)(x−x0),
• rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [x0,f(x0)]: y−f(x0) =− 1fprime(x0) (x−x0).
Dále jsme zavedli pojem diferenciál funkce – lineární část přírůstku funkce:
• diferenciál funkce f v bodě x0 vzhledem k přírůstku h : df(x0) = fprime(x0)h.
Ukázali jsme, jak můžeme využít derivací při výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů (limit,
které nelze vypočítat jako funkční hodnoty) – uvedli jsme
• L’Hospitalovo pravidlo: je-li lim
x→af(x) = limx→ag(x) = 0, resp. je-li limx→af(x) =
lim
x→ag(x) =∞a současně je limx→a
fprime(x)
gprime(x) = b, je také limx→a
f(x)
g(x) = b.
Na závěr kapitoly jsme uvedli tzv. věty o přírůstku funkce:
• Fermatova věta: má-li funkce diferencovatelná na intervalu v nějakém bodě tohoto
intervalu největší resp. nejmenší hodnotu, musí mít v tomto bodě nulovou derivaci,
• Rolleova věta: má-li funkce diferencovatelná na nějakém intervalu v krajních bo-
dech tohoto intervalu nulové hodnoty, musí mít v některém vnitřním bodě tohoto
intervalu nulovou derivaci,
• Lagrangeova věta: pro funkci diferencovatelnou na intervalu (a,b) a spojitou na
〈a,b〉existuje bod ξ∈(a,b) tak, že platí f(b)−f(a) = fprime(ξ)(b−a).
Pomocí pravidel pro počítání s limitami jsme odvodili pravidla pro výpočet derivací a
vztahy pro derivace základních elementárních funkcí; pravidla jsou shrnuty v následujících
tabulkách:
150 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Slovník pro derivace
Vzorce platí všude, kde je definovaná funkce i derivace.
Funkce Derivace Funkce Derivace
c (konst.) 0 x 1
xn nxn−1 xα αxα−1
ex ex ax ax lna
lnx 1x logax 1x lna
sinx cosx cosx −sinx
tgx 1cos2x cotgx − 1sin2x
arcsinx 1√1−x2 arccosx − 1√1−x2
arctgx 11 +x2 arccotgx − 11 +x2
sinhx coshx coshx sinhx
tghx 1cosh2x cotghx − 1sinh2x
Gramatika pro derivace Užitečné vzorce
(af(x) +bg(x))prime = afprime(x) +bgprime(x)
(f(x)g(x))prime = fprime(x)g(x) +f(x)gprime(x)
parenleftbiggf(x)
g(x)
parenrightbiggprime
= f
prime(x)g(x)−f(x)gprime(x)
g2(x)
(f[ϕ(x)])prime = fprime[ϕ(x)]ϕprime(x)
Je-li f(x) > 0, g(x) > 0 platí:
[f(x)]g(x) = eg(x)·lnf(x)
logg(x)f(x) = lnf(x)lng(x)
Matematika 1 151
Otázky a úkoly
1. Co je to derivace funkce a) v bodě, b) na intervalu?
2. Na příkladu funkce f dané předpisem f(x) = x2χ(x) =
braceleftbigg x2 x∈Q
0 xnegationslash∈Q pomocí
definice derivace ukažte, že funkce definovaná na R může mít derivaci pouze v
jednom bodě.
3. Body A = [2,4] a B = [2 + ∆x, 4 + ∆y] paraboly y = x2 prochází sečna. Najděte
směrnici této sečny, jestliže ∆x = 1, ∆x = 0,1, ∆x = 0,01. Najděte též směrnici
tečny paraboly v bodě A.
4. Nechť f je funkce, jejíž hodnota v x je 4x2.
a) Vypočítejte [f(2,1)−f(2)]/0,1.
b) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f znamená celkový zisk jisté
firmy (v milionech dolarů) v prvních x letech činnosti?
c) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f znamená druhou souřadnici
na grafu paraboly y = 4x2 ?
d) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f udává vzdálenost, kterou
urazí pohybující se částice v prvních x sekundách?
e) Jaký je význam hodnotyfprime(2) v případech c),d)? Jak byste tyto pojmy rozšířili
na případ b)?
5. Na obr. 3.50 jsou grafy tří funkcí f1,f2,f3. Pro která čísla a
a) existuje lim
x→af(x), ale f je nespojitá v a?
b) f je v a spojitá, ale není v a diferencovatelná?
Obr. 3.50: Funkce z příkladu 5
6. O funkcích f a g víme, že f(3) = 2, fprime(3) = 4, g(3) = 5, g(5) = 3, gprime(3) = 1 a
gprime(5) = 7. Pro které x můžeme vypočítat (f◦g)prime a čemu je rovna?
7. Nechť g je diferencovatelná funkce taková, že její derivace je rovna 1x3+1. Nechť
h(x) = g(x2). Najděte hprime(x).
152 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
8. V obr. 3.51 jsou v levé části grafy jistých funkcí f1 – f15 a v pravé části grafy jistých
funkcí g1 – g15. Ke každé funkci fi najděte funkci gj tak, aby platilo fprimei = gj.
Obr. 3.51: Funkce a jejich derivace
9. Ukažte, že
a) derivace liché funkce je sudá funkce,
b) derivace sudé funkce je lichá funkce,
c) derivace funkce periodické s periodou p je periodická funkce s periodou p.
Matematika 1 153
10. Dokažte, že bod dotyku tečny k hyperbole o rovnici y = cx půlí úsečku určenou
průsečíky této tečny se souřadnými osami.
11. Odůvodněte, proč nelze použít L’Hospitalovo pravidlo při výpočtu těchto limit:
a) lim
x→0+
x2 sin 1x
sinx b) limx→∞ x−sinxx+ sinx
Cvičení
1. Vypočítejte derivace následujících funkcí (pro zjednodušení uvádíme pouze pravou
stranu definičního předpisu):
a) x3 + 4x3√x+ 4 3√x2− 3x5 + 53√x2 b) 3
radicalBig
x2
radicalbig
x4√x3
c) (x3−2x+ 1)(x4−5x2 + 10) d) (x−1)(x−2)2(x−3)3
e) 3
√x
1− 3√x +
1 +√x
1 +√2x f)
(x+ 1)(x3−2x)
(x2 + 1)(x3−1)
g)
parenleftBig√
x+ 1√x
parenrightBig100
h)
radicalbigg
1−√x
1 +√x
i) 4
radicalBig
(3 + 4 3√2x)3 j) sinx+ cosx2sin2x
k) cosx2cos2x l) 3cotgx+ cotg3x
m) tg 1 +xx n) cotg 5√1 +x5
o) sin(sin(sinx)) p) sin3(cos2(tgx))
q) 43x + 36x4 r) e
√x2+x+1
s) e xlnx t) ln(x+√1 +x2)
u) ln
radicalBig1−sinx
1 + sinx v) arctg x+ 1x−1
w) xex x) (tgx)1/cosx
y) (coshx)lnx z) (lnx)x +xlnx
2. Vypočítejte derivace následujících funkcí a výsledky co nejvíce zjednodušte:
a) xln(x−√x2−1) +√x2−1
b) 13(1 +x2) + 13 ln x31 +x3
c) arctgx2 + ln
radicalBigx−2
x+ 2
154 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
d) 12√2 ln
√2 + 2x2−x
√2 + 2x2 +x + ln(x+√1 +x2)
e) 14 ln 1 +x+x21−x+x2 +
√3
6 arctg x
√3
1−x2
3. Vypočtěte derivace následujících funkcí; v bodech, kde derivace neexistuje, vy-
počtěte derivaci zleva a zprava:
a) |x3| b) radicalbig|x−1| c) ln|3−x|
d) x|x| e) |cosx| f) (−1)[x]
4. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A, je-li
a) f(x) = 3x−22x−3, A = [1,?] b) f(x) = 2√2sinx, A = [pi4,?]
c) f(x) = ln(x+ 1), A = [0,?] d) f(x) = e−x cos2x, A = [0,?]
5. Najděte rovnici tečny a normály k parabole y = x2−2x+ 3, jestliže tečna
a) je rovnoběžná s přímkou 3x−z + 5 = 0,
b) je kolmá na přímku x+z−1 = 0,
c) svírá s přímkou 2x+y−2 = 0 úhel pi4.
6. Vedení vysokého napětí má rozpětí mezi stožáry 80m. Tvar zavěšeného vodiče udává
parabolay = 0,001x2, přičemž její vrchol je stejně vzdálen od obou stožárů. Najděte
úhel mezi vodičem a stožárem.
7. Balon kulového tvaru zmenšuje v důsledku porušení svého obalu svůj průměr o 2cm
za sekundu. Vypočítejte, jakou rychlostí se zmenšuje jeho objem, je-li počáteční
poloměr balonu r = 16m.
8. Jestliže těleso vyhodíme svisle vzhůru s počáteční rychlostí v0 ms−1 je jeho výška
nad povrchem počítaná v metrech daná vztahem s = v0t−4,9t2, kde t je čas
v sekundách. Pro v0 = 100ms−1 určete
a) rychlost v čase t = 2s,
b) rychlost v čase t = 15s,
c) v jakém čase dosáhne těleso největší výšku,
d) jaké největší výšky těleso dosáhne.
9. Vlak vyjíždí z nádaží, přičemž jeho pohyb popisuje rovnice s = at2 +bt+c, kde s
je dráha v km, t čas v hodinách. Po uplynutí jedné minuty vlak dosáhne rychlosti
60km/h. Jakou dráhu urazí, než dosáhne této rychlosti?
10. Na moři křižují dvě lodě svou dráhu pod pravým úhlem. Když je první v průsečíku
drah, druhá je od něj ještě vzdálená 20 km. První loď se pohybuje rychlostí v1 =
30km/h, druhá rychlostí v2 = 50km/h. Vypočtěte
Matematika 1 155
a) rychlost, s jakou se vzdalují,
b) nejmenší vzdálenost.
11. Pouliční lampa visí 6m nad zemí. Člověk vysoký 1,8m kráčí rychlostí 1,6m/s. Zjis-
těte
a) jakou rychlostí se pohybuje stín jeho hlavy,
b) jakou rychlostí se mění délka jeho stínu.
12. Množství elektrického náboje protékající vodičem se mění podle vztahu Q = Q(t),
kde Q je zadané v Coulombech a t v sekundách. Vypočítejte intenzitu elektrického
proudu v čase t0 a zjistěte, kdy se bude rovnat intenzitě i1, je-li
a) Q(t) = 3t2 + 2t+ 2, t0 = 0;1;5s, i1 = 20A;
b) Q(t) = 2te−t, t0 = 0s, i1 = 0A;
c) Q(t) = 0,05t+ 0,04sin(100pit+ 20), t0 = 7,5s, i1 = 0,9A.
13. Indukční cívkou protéká proud i, pro který platí i = 15sin5 3t, kde proud i je
v ampérech a čas t v sekundách. Vypočítejte indukovanou elektromotorickou sílu
ei =−Ldidt v čase t = 2pi/9s, je-li L = 0,03H.
14. K zadaným funkcím f najděte přírůstek funkce ∆f a diferenciál df v čísle x0 pro
daný přírůstek ∆x:
a) f(x) = 3x2, x0 = 1, ∆x = 10−1,
b) f(x) = x3−4x2−10x−12, x0 = 0, ∆x = 0,2,
c) f(x) = arccotgx, x0 = 1, ∆x = 0,3,
d) f(x) = ln√x2−2x, x0 = 3, ∆x =−0,02.
15. Vypočítejte přibližně pomocí diferenciálu následující hodnoty; výsledky porovnejte
s hodnotami nalezenými pomocí kalkulačky:
a) ln25,02, ln24,6, je-li ln25 .= 3,2189,
b) log1001, je-li ln10 .= 2,3026,
c) tg 46◦,
d) arctg1,1,
e) 21,002
16. Vypočtěte, o kolik se změní objem krychle, jestliže se délka její hrany zvětší z 6 cm
na 6,1 cm, a to a) přesně, b) pomocí diferenciálu. Získané výsledky porovnejte.
17. Koule má poloměr r. Najděte přítůstek a diferenciál a) objemu, b) povrchu koule
jako funkci poloměru r pro poloměr r = R a diferenci ∆r.
18. V elektrickém obvodu s konstantním napětím U se změní odpor R o ∆R. Vypočí-
tejte, o kolik se změní proud a) přesně, b) přibližně.
156 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
19. Pomocí L’Hospitalova pravidla vypočítejte následující limity:
a) limx→∞ x3 + 2x2−15x3−x2 + 2 b) limx→−∞ x4 +x2 +x2x3−5x c) limx→∞ x3 +x2−x+ 42x4 +x−9
d) limx→1 x(lnx)2 e) limx→0 x−1x2 f) limx→∞
parenleftBig
(x+ 1)e 1x−1 −x
parenrightBig
g) lim
x→0+
(sinx)lnx h) lim
x→∞
parenleftbig1− 1
x
parenrightbigx i) lim
x→1−
(