Scriptum matematiky

. . . . 35
1.15 Grafy mocninných funkcí y = xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.16 Exponenciální funkce f(x) = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.17 Logaritmické funkce f(x) = logax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.18 sinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.19 cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.20 tgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.21 Grafy goniometrických funkcí y = sinx y = cosx . . . . . . . . . . . 39
1.22 Grafy goniometrických funkcí y =tgx y =cotgx . . . . . . . . . . . 40
1.23 arcsinx,arccosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.24 arctg x,arccotg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.25 sinhx,coshx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.26 tgh x,cotgh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.27 Grafy 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.28 Grafy 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.29 Obvod k příkladu 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.30 RL obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.31 i(t) = UR(1−e−(R/L)t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.32 y = x2−1x−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.33 y = 13√x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.34 y = |x|x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.35 K příkladu 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.36 f(x) = sin 1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.37 f(x) = xsin 1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.38 Geometrická představa o limitě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.39 Funkce f z příkladu 3.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.40 f(x) = cosx, f(x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.41 f(x) = cosx−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.42 Geometrický význam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
3.43 Polotečny ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.44 Svislá tečna a polotečna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.45 Graf funkce f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.46 Graf derivace fprime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.47 Geometrický význam diferenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.48 Rolleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.49 Lagrangeova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.50 Funkce z příkladu 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.51 Funkce a jejich derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.52 Linearizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.53 Taylorovy polynomy funkce√1 +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.54 Taylorovy polynomy funkce ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.55 Stacionární body a extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.56 f(x) = x3 + 3x2−9x+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.57 f(x) = 16x6 + 112x4 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.58 f(x) = 13x3−x2−3x na〈−3, 6〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.59 Konvexní a konkávní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.60 f konvexní – fprime roste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.61 f(x) = 3(x−1)3 +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.62 f(x) = e−x2 + 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.63 f(x) = x+ 1x−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.64 Znaménko derivace funkce f(x) = x34−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.65 Znaménko druhé derivace funkce f(x) = x34−x2 . . . . . . . . . . . . . 176
3.66 Graf funkce f(x) = x34−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.67 Znaménko funkce f(x) = 3√x2−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.68 Znaménko derivace funkce f(x) = 3√x2−x . . . . . . . . . . . . . . 178
3.69 Graf funkce f(x) = 3√x2−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.70 Znaménko derivace funkce f(x) = xe1x . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.71 Znaménko druhé derivace funkce f(x) = xe1x . . . . . . . . . . . . . 179
3.72 Graf funkce f(x) = xe1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.73 Dělení intervalu〈0,1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.74 Integrální součet funkce f(x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.75 Integrální součet funkce (x+ 1)sinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.76 Integrální součty funkce f(x) = x4 lnx pro n = [9,16,25,36,49,64] . . 218
4.77 Integrální střední hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.78 f(x) = xx na intervalu〈0,1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.79 Primitivní funkce jako funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.80 K př. 4.48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.81 Cykloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.82 Integrální kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.83 Integrální kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.84 f(x,y) = e−x2−y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.85 f(x,y) = y2−x2, z≥0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Matematika 1 9
6.86 f(x,y) = y2−x2, z≤0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.87 Vrstevnice z = e−x2−y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.88 Vrstevnice z = y2−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.89 lim
(x,y)→(x0,y0)
x = x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.90 x3y−xy3x2+y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.91 (x2 +y2) sin 1xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.92 2xyx2+y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.93 x4y2x8+y4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.94 x2+y2x−y – vrstevnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.95 x2+y2x−y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.96 Parciální derivace podle x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.97 Směrová derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.98 f(x,y) = x2−y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.99 Vrstevnice a gradient funkce f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.100 Geometrický význam diferenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.101 Funkce a Taylorův polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.102 f(x,y) = x3 +y3−3xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.103 x2 +y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.104 x2 +y4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.105 (x−y)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.106 z = xy,x2 +y2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.107 x2−2y2 + 4xy−6x−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1 Úvod
Tento učební text k předmětu Matematika 1 je určen především studentům prvního se-
mestru kombinovaného studia. Tento typ studia je kombinací prezenční a distanční formy,
přičemž těžiště studia je v samostatné práci, pro kterou je nezbytné mít k dispozici dosti
podrobný a srozumitelný studijní materiál. Snažili jsme se proto zavádět pouze skutečně
nezbytné pojmy a postupy potřebné v dalším studiu na FEKT, v mnoha případech uve-
dené motivací. Přitom ale nebylo možné slevit z přesnosti výkladu – proto, i když je to
nepopulární, postupujeme cestou „definice – věta – důkazcsquotedblright. Tato cesta přes veškerou kri-
tiku nematematiků, jíž se jí v současné době dostává, zůstává nejpřehlednější a v podstatě
jedinou možnou formou matematického výkladu. Aby byl usnadněn přechod od teoretic-
kého pochopení výkladu k schopnosti získané vědomosti a dovednosti aplikovat, uvádíme
mnoho ilustrujících řešených příkladů a v závěru každé kapitoly cvičení pro samostudium.
Jak již bylo zmíněno, tento text je určen především pro studenty v kombinovaném studiu,
ale vzhledem k tomu, že osnovy kombinovaného a prezenčního studia jsou stejné, věříme,
že tento text bude plně použitelný i pro studenty studia prezenčního.
Matematika 1 11
V našem kurzu Matematika 1 nebudeme postupovat systematicky od úplného začátku,
ale budeme navazovat na látku ze střední školy. Úvodní kapitola je věnována přehlednému
opakování, popřípadě doplnění nejdůležitějších pojmů, které budeme užívat. Sledujeme i
cíl upřesnit a sjednotit některé názvy a označení.
1.1 Elementy matematické logiky
Výroky
Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme
předmětům jisté vlastnosti nebo jimiž stanovíme vztahy mezi předměty; je to (jazykový)
výraz, o němž má smysl říci, že je pravdivý nebo nepravdivý.
Například „číslo 3 je sudécsquotedblright je nepravdivý výrok, naproti tomu sdělení „přijď brzy domůcsquotedblright,
„číslo Brno je modrécsquotedblright, „sinx> 0csquotedblright výroky nejsou (druhé sdělení je nesmyslná snůška slov,
třetí sdělení je tzv. výroková funkce s proměnnou x).
Výrokům přiřazujeme tzv. pravdivostní hodnoty: je-li výrok pravdivý, má pravdivostní
hodnotu 1, nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu 0.
Složené výroky sestavujeme pomocí výrokotvorných částic – spojek; jsou-li p,q výroky,
definujeme: negace výroku p ¯p, ¬p, pprime opačný výrok
konjunkce výroků p a q p∧q a, současně
disjunkce výroků p a q p∨q nebo (nevylučovací!)
implikace výroků p a q p⇒q z p plyne q *
ekvivalence výroků p a q p⇔q p je ekvivalentní s q **
* p implikuje q, jestliže p pak q, q je nutná podmínka pro p, p je postačující podmínka
pro q,
**pprávě kdyžq,ptehdy a jen tehdy kdyžq,pkdyž a jen kdyžq,pje nutná a postačující
podmínka pro q.
Jednotlivé výrokové spojky mají specifické vlastnosti: například negací pravdivého
výroku získáme výrok nepravdivý a naopak, konjunkce dvou výroků je pravdivá pouze v
případě, jsou-li oba výroky pravdivé atd. Přehledněji vlastnosti jednotlivých výrokových
spojek popíšeme pomocí pravdivostních hodnot:
p ¬p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q
1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Stejně tak pomocí tabulky pravdivostních hodnot nejsnáze zjistíme, při jaké kombinaci
12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
elementárních výroků je pravdivý nebo nepravdivý komplikovanější výrok.
Příklad 1.1: Vyšetříme výrok (p∧q)⇔¬(p⇒¬q).
Řešení: p q ¬q p∧q p⇒¬q ¬(p⇒¬q) (p∧q)⇔¬(p⇒¬q)
1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1
Daný výrok je tedy pravdivý bez ohledu na to, jsou-li výroky p,q pravdivé nebo neprav-
divé.
Složitější výroky jsou někdy nepřehledné vzhledem k vysokému počtu závorek, které udá-
vají pořadí, ve kterém se mají jednotlivé spojky aplikovat; proto užíváme konvenci o
pořadí, jak „silněcsquotedblright spojky vážou elementární výroky. Pořadí je následující:
• negace,
• konjunkce a disjunkce,
• implikace a ekvivalence.
Tedy např. místo
(p∧(q∨r))⇔((p∧q)∨(p∧r))
píšeme
p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r),
a místo
((¬p)∧q)⇒(p∨(¬q))
píšeme
¬p∧q⇒p∨¬q.
Viděli jsme, že některé složené výroky mohou mít takový tvar, že jsou vždy pravdivé
bez ohledu na to, jsou-li jednotlivé elementární výroky, ze kterých je tento složený výrok
sestaven, pravdivé nebo nepravdivé (tedy mají pravdivostní hodnotu 1 při libovolném
vyhodnocení); takové výroky se nazývají tautologie; výrok, který je vždy nepravdivý
(pro libovolné ohodnocení elementárních výroků má pravdivostní hodnotu 0), se nazývá
kontradikce.
Matematika 1 13
Uvedeme si některé další tautologie (jako cvičení prověřte, že se o tautologie skutečně
jedná):
(p⇔q)⇔(p⇒q)∧(q⇒p)
(p⇒q)⇔(¬q⇒¬p)
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
negace implikace ¬(p⇒q)⇔(p∧¬q)
De Morganova pravidla ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q)
¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q)
distributivita p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
dvojí negace p⇔¬(¬p)
zákon vyloučeného třetího p∨¬p
Až na poslední vztah mají všechny uvedené tautologie tvar ekvivalence; výroky napravo
jsou pravdivé právě tehdy, když jsou pravdivé výroky nalevo. Pravdivostní hodnota slo-
ženého výroku se tedy nezmění, nahradíme-li dílčí výrok v něm vystupující výrokem
s ním ekvivalentním (provedeme ekvivalentní úpravu). To nám umožňuje složité výroky
postupně zjednodušovat.
Příklad 1.2: Pomocí výše uvedených ekvivalentních úprav zjednodušíme výrok
¬[(p∧q⇒¬q)∧(p⇒q)]:
¬[(p∧q⇒¬q)∧(p⇒q)] ⇔ (De Morganův vzorec)
⇔ ¬(p∧q⇒¬q)∨¬(p⇒q) ⇔ (negace implikace)
⇔ [(p∧q)∧¬¬q]∨(p∧¬q) ⇔ (dvojí negace)
⇔ (p∧q∧q)∨(p∧¬q) ⇔
⇔ (p∧q)∨(p∧¬q) ⇔ (distributivita)
⇔ p∧(q∨¬q) ⇔
⇔ p
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Výrokové funkce – predikáty
Představme si, že pro x∈R zkoumáme výraz x > 3. Tento výraz není výrok; stane se
jím, až za x dosadíme některé konkrétní reálné číslo, a v závislosti na tom, které číslo
zvolíme, bude pravdivý nebo nepravdivý. Takový výraz se nazývá výroková funkce
(forma), také predikát. Výroková funkce obsahuje proměnné; proměnná se dá chápat
jako prázdné místo, kam lze dosazovat libovolné prvky z určité množiny, např R(C),
která se nazývá přípustný obor dané proměnné. Po dosazení za všechny proměnné se
predikát stane výrokem – buď pravdivým nebo nepravdivým. Prvky množiny, pro něž je
výrok pravdivý, tvoří obor pravdivosti výrokové formy.
Příklad 1.3: x2 ∈N je predikát s přípustným oborem (například) R;
dosadíme-li za x například pi, 8,−32, dostaneme výroky pi2 ∈N, 4∈N, −34 ∈N,
z nichž druhý je pravdivý a první a třetí nepravdivý. Obor pravdivosti tvoří všechna
kladná sudá čísla.
Kvantifikátory
Je-li V predikát obsahující proměnnou x (event. i další) pak výraz
∃x(V) nebo ∃x : V
∀x(V) nebo ∀x : V
chápeme jako tvrzení
existuje x tak, že platí V
pro každé x platí V
Přitom∃se nazývá existenční kvantifikátor,∀se nazývá všeobecný kvantifikátor.
Poznamenejme, že ve výrazech s kvantifikátory často uvádíme přímo přípustný obor pro
proměnnou; píšeme∀x∈M : V(x), ∃x∈M : V(x).
Jestliže predikát V obsahuje jedinou proměnnou x, je ∃x(V) resp. ∀x(V) výrok;
říkáme, že proměnná x je vázaná kvantifikátorem. V opačném případě jde zase o
predikát s tzv. volnou proměnnou a můžeme utvořit nové výrazy (predikáty, výroky)
∀y∃x(V),∃y∃x(V) a podobně.
Příklad 1.4: Máme zjistit, který z následujících predikátů s proměnnou x ∈ R je
pravdivý výrok:
a) x≤2 b) ∀x(x≤2) c) ∃x(x≤2)
d) ∀x(x∈(−∞,2〉⇔x≤2)
Matematika 1 15
Řešení:
a) není výrok (proměnná x je volná);
b) je nepravdivý výrok; lze najít číslo a ∈ R (např. a = 3) tak, že výrok a ≤ 2 je
nepravdivý;
c) je pravdivý výrok; stačí najít jedno konkrétní číslo a ∈ R (např. a = 0) tak, že
výrok a≤2 je pravdivý;
d) jedná se o pravdivý výrok, kterým definujeme interval.
Kvantifikátory tedy můžeme řadit za sebou, přičemž na jejich pořadí záleží. Např.
∀x∈R∃y∈R(x2 = y) je jiný výrok než ∃y∈R∀x∈R(x2 = y)
(první je pravdivý, druhý nepravdivý).
Příklad 1.5: Máme vyšetřit pravdivost následujících výroků pro reálné proměnné
x a y:
a) ∀x∃y(x 0;
• je-li lim
x→af(x) = 0 a|g(x)| 0.
a) Pomocí kalkulačky doplňte tabulku
x 1,0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01
xx
b) Jaká je asi nejmenší hodnota funkce f na intervalu (0,1)?
c) Myslíte, že lim
x→0+
xx existuje? Jestliže ano, čemu je asi rovna?
128 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Cvičení
1. Vypočítejte následující limity:
a) lim
x→4
x2+7x−44
x2−6x+8 b) limx→1
parenleftbig 1
x2−1−
2
x4−1
parenrightbig c) lim
x→0
(1+3x)4−(1+4x)3
x2
d) limx→∞ x2+2x+15x e) limx→∞
parenleftBig
x2+x−1
2x2−x+1
parenrightBig3
f) limx→∞ (4x−1)100(3x+1)200(6x+5)300
2. Vypočítejte
a) limx→−2
√6+x−2
x+2 b) limx→0
parenleftbig√x−2−√xparenrightbig
c) lim
x→∞
parenleftbig 3√1−x3 +xparenrightbig d) lim
x→∞
4√x5+ 5√x3+ 6√x8
3√x4+2
3. Vypočítejte
a) lim
x→0
tg5x
tg6x b) limx→0
cosx−cos3 x
x2
c) lim
x→0
arcsinx
x d) limx→0
sinx
x3
4. Vypočítejte limity zprava a zleva daných funkcí f v bodě a, jestliže
a) f(x) = xe−1/x, a = 0 b) f(x) = 11+e1/x, a = 0
c) f(x) = 21/x+331/x+2, a = 0 d) f(x) = x(x+2)|x+2| , a =−2
e) f(x) = x|tgx|, a = 0 f) f(x) = arctg 11+x, a =−1
5. Vypočítejte limity posloupností
a) lim
n→∞
parenleftbig1 + 1
n+5
parenrightbign+6 b) lim
n→∞
parenleftbign+2
n
parenrightbig3n
2 c) lim
n→∞
parenleftbig1 + 1
n
parenrightbig1
n
d) lim
n→∞(
√n+ 2−√n) e) lim
n→∞(
√n(√n+ 1−√n)) f) lim
n→∞
an
1+an, a> 0
Výsledky
1. a) 152 , b) 12, c) 6, d) ∞, e) 18, f) 6−100,
2. a) 12, b) 0, c) 0, d) 1,
3. a) 56, b) 1, c) 1, d) ∞,
4. a) 0;−∞, b) 0;1, c) 0; 32, d) −2;2, e) 1;−1, f) −pi2 ; pi2 ,
5. a) e, b) e3, c) 1, d) 0, e) 12, f) 1 pro a > 1, 12 pro a = 1, 0 pro a < 1,
3.3 Spojitost
Pomocí limity se zavádí pojem spojitosti funkce (zobrazení):
Matematika 1 129
Definice 3.34: Funkce f se nazývá spojitá v bodě a, platí-li limx→af(x) = f(a); to
znamená, že
a) a∈Df, tj. f(a) je definováno, b) limx→af(x) existuje, c) limx→af(x) = f(a).
Tuto definici můžeme zapsat ve tvaru
∀ε> 0∃δ> 0∀x :|x−a|
0, f(pi) < 0 kde f(x) = cosx−x a f(x) je spojitá funkce. (Viz obr. 3.40 a 3.41)
Obr. 3.40: f(x) = cosx, f(x) = x Obr. 3.41: f(x) = cosx−x
Shrnutí
V této kapitole jsme vyšetřovali pojem spojitosti. Řekneme, že funkce f je
• spojitá v bodě a: je-li limx→af(x) = f(a),
• spojitá zleva (zprava) v boděa: jsou-li příslušné jednostranné limity rovny funkční
hodnotě v bodě a,
• spojitá na intervalu: je-li spojitá v každém bodě intervalu; jedná-li se o uzavřený
nebo polouzavřený interval, v koncovém bodě je spojitá zleva nebo zprava („zevnitřcsquotedblright
intervalu).
Není-li funkce f v bodě a spojitá, má zde
Matematika 1 133
• nespojitost 1. druhu: existuje-li lim
x→a+
f(x) = f(a+) i lim
x→a−
f(x) = f(a−) a jsou
vlastní; přitom v případě, že se tyto jednostranné limity sobě rovnají, hovoříme o
odstranitelné nespojitosti; rozdíl f(a+)−f(a−) se nazývá skok funkce f v bodě a,
• nespojitost 2. druhu: jestliže alespoň jedna jednostranná limita funkce f v bodě
a neexistuje nebo je nevlastní.
Vlastnosti spojitých funkcí:
• Funkce vzniklé pomocí aritmetických operací ze spojitých funcí a
• složené funkce vzniklé kompozicí spojitých funkcí
jsou spojité ve všech bodech, ve kterých jsou definované. Odtud plyne, že elementární
funkce jsou spojité všude, kde jsou definované.
Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu〈a,b〉, potom
• je zde ohraničená,
• nabývá zde svého maxima a minima,
• nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem.
Otázky a úkoly
1. Kdy řekneme, že je funkce f spojitá v bodě a? Kdy je spojitá na intervalu〈a,b〉?
2. Uvedli jsme celou řadu funkcí definovaných na R, které byly nespojité pouze v jed-
nom bodě (např. f(x) = sgnx v 0). Může se stát, aby funkce definovaná na R byla
spojitá pouze v jednom bodě? Uveďte příklad takové funkce.
3. Vyšetřete spojitost funkce z obr. 3.38, klasifikujte nespojitosti.
4. Nechť funkce f je v bodě a spojitá a funkce g nespojitá. Zjistěte, zda jsou v bodě a
spojité funkce
a) f +g b) fg c) f◦g d) g◦f.
Uveďte příklady.
5. Nechť funkce f i g jsou v bodě a nespojité. Zjistěte, zda mohou být v bodě a spojité
funkce
a) f +g b) fg c) f◦g d) g◦f.
Uveďte příklady.
6. Jsou dány funkce f a g předpisy
f(x) =
braceleftbigg x 0 0) b) (ln|x|)prime = 1x c) (xa)prime = axa−1 (a∈R)
Řešení:
a) y = ax = ex lna je složená funkce s vnitřní složkouu = x lnaa vnější složkouy = eu:
dy
dx =
d