Sbírka úloh

Acosx+Bsinx):
SpoŁ tÆmederivaceadosad medorovnice:
Y0=Acosx+Bsinx+x( Asinx+Bcosx)=(A+Bx)cosx+(B Ax)sinx;
Y00=(2B Ax)cosx+( 2A Bx)sinx;
(2B Ax)cosx+( 2A Bx)sinx+Axcosx+Bxsinx=8sinx:
Mus serovnatkoe cientypłi cosx a sinx naoboustranÆch:
cosx: 2B Ax+Ax=0
sinx: 2A Bx+Bx=8
Potom A= 4; B=0; Y = 4xcosx a y=C1 cosx+C2 sinx 4xcosx:
SpoŁ tÆme y0= C1 sinx+C2 cosx 4cosx+4xsinx adosad mepoŁÆteŁn
podm nky: 1=y(0)=C1; 3=y0(0)=C2 4 ) C1=1; C2=1:
HledanØłe„en jey= cosx+sinx 4xcosx:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 19
Pł klad2.2.3.Principemsuperpozicevyłe„telineÆrn diferenciÆln rovnicidruhØhołÆdu
y00+y0=5x+2ex:
e„en : KołenycharakteristickØrovnice 2+ =0 jsou 1=0; 2= 1
a yh =C1 +C2e x:
PartikulÆrn łe„en dostanemejakosouŁetpartikulÆrn chłe„en dvourovnic,
kterØmaj speciÆln pravØstrany: y00+y0=5x a y00+y0=2ex:
Uprvn rovnicejepravÆstranatvaru
f1(x)=5x=e0x 5x=e0x P1(x):
Zde =0jejednoduch kołencharakteristickØrovnice,aproto k =1:
Potom
Y1=e0x x1(Ax+B) =Ax2+Bx; Y01=2Ax+B; Y001 =2A apodosazen
dorovnice Y001 +Y01=5x mÆme 2A+2Ax+B=5x:
PorovnÆmekoe cienty: x1: 2A=5
x0: 2A+B=0
Ztoho A=52 a B= 5: Dostalijsme Y1=52x2 5x:
UdruhØrovnicejepravÆstranatvaru
f2(x)=2ex =ex 2=ex P0(x):
Zde =1 nen kołencharakteristickØrovnice,aproto k=0: Potomp „eme
Y2=exx0A=Aex; Y02=Aex; Y002 =Aex apodosazen do Y002+Y02=2ex;
Aex+Aex =2ex; 2Aex =2ex; 2A=2; A=1:
Potom Y2=ex ajednopartikulÆrn łe„en pøvodn rovnicedostanemejako
Y =Y1+Y2=52x2 5x+ex:
HledanØobecnØłe„en jey=C1 +C2e x+52x2 5x+ex:
Pł klad2.2.4.Najd teobecnØłe„en rovnicdruhØhołÆdumetodouneurŁit chkoe cientø
a)2y00 5y0 7y=18e2x b)y00 2y0 3y=1 x c)y00+3y=9x2
d)y00+6y0+9y=36xe3x e)y00+2y0+5y=17sin2x f)3y00 4y0=25sinx
e„en : a)y=C1e72x+C2e x 2e2x; b) y=C1e x+C2e3x+19(3x 5);
c) y=C1cosp3x+C2 sinp3x+3x2 2; d)y=C1 e 3x+C2 xe 3x+
e3x(x 13);
e) y=C1e xcos2x+C2e xsin2x 4cos2x+sin2x;
f) y=C1 +C2e43x+4cosx 3sinx:
20 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad2.2.5.Najd tepartikulÆrn łe„en rovnicmetodouneurŁit chkoe cientø
a)y00 2y0=2x2ex; y(0)=1; y0(0)=5
b)y00 2y=(2x 1)2; y(0)= 12; y0(0)=2
c)y00 7y0+10y=116sin2x; y(0)=3; y0(0)= 2
e„en : a)y=12+92e2x+ex( 2x2 4); b) y=e
p2x
+e
p2x
2x2+2x 52;
c)y= 4e2x+7cos2x+3sin2x:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 21
STUDIJN˝JEDNOTKA
FUNKCEKOMPLEXN˝PROM NN
C lestudijn jednotky. Vprvn ŁÆstisimø eteosv itsvØznalostiokomplexn ch
Ł slech,kterØmÆtezestłedn „koly.KezvlÆdnut dal„ chkapitoljenutnØ,abysteum li
pracovatskomplexn miŁ slyazobrazovatjevkomplexn rovin .DÆleseseznÆm tes
pojmemkomplexn funkceaholomorfn funkce,nauŁ tesetytofunkcederivovat.Płedpo-
klÆdÆm, eu um tederivovatfunkcijednØreÆlnØprom nnØapoŁ tatparciÆln derivace
funkcev ceprom nn ch.
3 Funkcekomplexn prom nnØ
3.1 Komplexn Ł sla
Komplexn jednotka|Ł sloj,prokterØplat j2= 1,n kdyseoznaŁujetakØjako
i:
Algebraick tvarkomplexn hoŁ sla|komplexn Ł slozapsanØvetvaru
z=a+jb; a;b2 R; a=Rez; b=Imz:
¨ sloanaz vÆmereÆlnouŁÆst z,Ł slobnaz vÆmeimaginÆrn ŁÆst z.
¨ slokomplexn sdru enØ |kŁ slu z=a+jb jetoŁ slo z=a jb:
Absolutn hodnotakomplexn hoŁ sla|pro z=a+jb jetoreÆlnØŁ slo
jzj=pa2+b2:
Argumentkomplexn hoŁ sla |Argz=’jeœhelmezikladnoux-ovoupoloosoua
polopł mkou,spojuj c bodz spoŁÆtkem.Uva ujeme-lipouze’ 2 h0;2 );p „eme
argz=’:Proargument’komplexn hoŁ sla z=a+jb plat
cos’= apa2+b2; sin’= bpa2+b2:
22 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Gaussovarovina|rovina xy; vekterØkomplexn Ł slo z = a+jb jeznÆzorn no
bodem[a;b]:Absolutn hodnotaŁ slaz sepotomrovnÆvzdÆlenostibodu[a;b]od
poŁÆtku.Absolutn hodnotarozd ludvoukomplexn chŁ selserovnÆjejichvzdÆle-
nostivkomplexn rovin .
Goniometrick tvarkomplexn hoŁ sla|komplexn Ł slozapsanØvetvaru
z=jzj(cos’+jsin’);
kdejzjjeabsolutn hodnotakomplexn hoŁ slaa’jeargumentŁ slaz:
Eulerøvtvarkomplexn hoŁ sla|komplexn Ł slozapsanØvetvaru
z=jzjej’;
kdejzja’maj stejn v znamjakougoniometrickØhotvaru.
Pro a+jbac+jdlibovolnÆkomplexn Ł slasede nujesŁ tÆn anÆsoben takto:
(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d); (a+jb) (c+jd)=(ac bd)+j(ad+bc):
Płid len komplexn chŁ selsevyu vÆkomplexn sdru enØŁ slojmenovatele:
a+jb
c+jd=
a+jb
c+jd
c jd
c jd=
ac+bd
c2+d2 +j
bc ad
c2+d2; a+jb;c+jd2 C; c+jd6=0:
Komplexn Ł slasezjednodu„uj podlepravidel(k 2 Z):
j2= 1; j3= j; j4=1; j5=j;:::;j4k =1; j4k+1=j; j4k+2= 1; j4k+3= j:
NÆsoben ad len komplexn chŁ selvgoniometrickØmtvaru:
uv=juj jvj(cos( + )+jsin( + )); uv =jujjvj(cos( )+jsin( ));
kde u=juj(cos +jsin )a v=jvj(cos +jsin )jsoudv nenulovÆkomplexn Ł sla.
Proumoc ovÆn plat Moivreovav ta:
zn =(jzj(cos’+jsin’))n =jzjn(cosn’+jsinn’); n2 N:
Pł klad3.1.1.VypoŁ tejtekomplexn Ł slo
a)z=(2+j)(5+j) b)z=j +j3+j15+j29 c)z=1+2j3 4j
e„en : a)(2+j)(5+j)=10+5j+2j 1=(10 1)+j(5+2)=9+7j;
b)j +j3+j15+j29=j+j3+j3+j=j j j+j=0;
c)1+2j3 4j =(1+2j)(3+4j)32 (4j)2 =3+4j+6j+8j
2
9 ( 16) =
5+10j
25 =
1
5+
2
5j:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 23
Pł klad3.1.2.UrŁeteabsolutn hodnotuaargumentkomplexn chŁ sel
a) 1+j b)j c) 1 d)2+2j
e„en : a)j 1+jj=p( 1)2+12=p2; sin’= 1p2; cos’= 1p2:
Potom ’=34 +2k ; kcelØ:
b)jjj=p0+12=1; sin’=1; cos’=0: Ztoho ’=12 +2k :
c)j 1j=p( 1)2+0=1; sin’=0; cos’= 1: Ztoho ’= +2k :
d)j2+2jj=p22+22=p8; sin’= 2p8= 1p2=
p2
2 ; cos’=
2p
8=
p2
2 :
Potom ’= 4+2k :
Pł klad3.1.3.Najd tevGaussov rovin Ł slaz;pron plat danØrovnice
a)jz+3 5jj=3 b)jz jj=1 c)1R:
4.Z-transformacejelineÆrn ,tj.
Zfaf(n)+bg(n)g=aZff(n)g+bZfg(n)g; a;b2 C:
Pł klad8.1.1.UrŁeteobrazposloupnosti f(n)=1pron=0;1;2;:::
e„en : Podlede nice
Zff(n)g=
1X
n=0
z n =1+1z+ 1z2+:::= 11 1
z
= zz 1:
Tatoładakonvergujeproj1zj1:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 63
ProurŁen obrazøn kter chvybran chposloupnost mø emepou tnÆsleduj c ta-
bulku:
¨ slovzorce f(n); n=0;1;2;::: Zff(n)g=F(z)=
1X
n=0
f(n)z n
1. 1 zz 1
2. an zz a
3. n z(z 1)2
4. n2 z(z+1)(z 1)3
5. nan az(z a)2
6. n2an az(z+a)(z a)3
7. cos!n z(z cos!)z2 2zcos!+1
8. sin!n zsin!z2 2zcos!+1
9. 0(n) 1
10. m(n) z m
11. f(n+1) zF(z) zf(0)
12. f(n+2) z2F(z) z2f(0) zf(1)
13. f(n+k) zkF(z) k 1j=0f(j)zk j
14. f(n k) z kF(z)
ZÆkladn slovn kagramatikaZ-transformace
64 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
8.2 Zp tnÆZ-transformace
Zobrazen ,kterØka dØmuobrazu F(z)płiłazujejehopłedm t f(n)senaz vÆzp tnÆ
Z-transformaceaznaŁ sesymbolemZ 1fF(z)g:
PłihledÆn płedm tupou ijemenÆsleduj c vzorec.
Nech» funkce F(z) je holomorfn krom koneŁnØho poŁtu sv ch singulÆrn ch bodø a
limz!1F(z)jekoneŁnÆ,pakprozp tnouZ-transformaciF(z)plat vzorec
f(n)=Z 1fF(z)g=
X
zk
res
z=zk
F(z)zn 1 ; n=0;1;2;:::
kdezk jsoup lyfunkceF(z)zn 1:
Pł klad8.2.1.Najd tevzorydan chobrazø F(z)
a)F(z)= z1+z b)F(z)= 1z 2 c)F(z)= 1z(z 1)2
d)F(z)= zz 3 e)F(z)= 2z(z 1)2 f)F(z)= 1(z+2)(z+1)
e„en : a)PłihledÆn vzorunejdł vnajd mep lyfunkceF(z)zn 1= z
n
1+z:TatofunkcemÆvbod z
1= 1p lprvn hołÆdu.Pakpron=0;1;2;:::
f(n)=Z 1fF(z)g= res
z= 1
zn
1+z

= limz! 1

(z+1) z
n
1+z

=( 1)n:
Dostalijsmetedy, eZ 1
z
1+z

=f( 1)ng1n=0=(1; 1;1; 1;:::):
b)n=0: FunkceF(z)z 1= 1z(z 2)mÆp lyprvn hołÆduvbodechz1=0
az2=2:Mø emespoŁ tat
f(0)= res
z=0
1
z(z 2)

+ res
z=2
1
z(z 2)

=limz!0 1z 2+limz!2 1z =0:
Pron=1;2;::: funkceF(z)zn 1= z
n 1
z 2mÆp lprvn hołÆdupouzevbod z
1=2:
Potom f(n)= res
z=2
zn 1
z 2

=limz!2

(z 2)z
n 1
z 2

=2n 1:
VzoremfunkceF(z)jeposloupnostff(n)g1n=0=(0;1;2;4;8;:::)
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 65
c)n=0: F(z)z 1= 1z2(z 1)2 mÆvbodechz1=0az2=1p lydruhØho
łÆdu.SpoŁ tÆme
f(0)= res
z=0
1
z2(z 1)2

+res
z=1
1
z2(z 1)2

=limz!0
1
(z 1)2
0
+limz!1
1
z2
0
=limz!0 2(z 1)3+limz!1 2z3 =2 2=0:
n=1: F(z)z0= 1z(z 1)2 mÆvbod z1=0p lprvn hołÆduavbod
z2=1p ldruhØhołÆdu.Potom
f(1)= res
z=0
1
z(z 1)2

+ res
z=1
1
z(z 1)2

=limz!0 1(z 1)2+limz!1
1
z
0
=1 1=0:
n=2;3;:::: F(z)zn 1= z
n 2
(z 1)2mÆpouzep ldruhehołÆduvbod z1=1:
Potomf(n)= res
z=1
zn 2
(z 1)2

=limz!1 zn 2 0=(n 2) 1n 3=n 2:
VzoremfunkceF(z)jeposloupnostff(n)g1n=0=(0;0;0;1;2;3;4;:::)
d) f(n)=3n; n=0;1;2;:::; e) f(n)=2n5n 1; n=0;1;2;:::;
f) f(0)=0; f(n)=( 1)n 1 ( 2)n 1; n=1;2;3;::::
8.3 e„en diferenŁn chrovnicpomoc Z-transformace
LineÆrn diferenŁn rovnicek-tØhołÆdu |rovnice,kterÆmÆtvar
y(n+k)+a1y(n+k 1)+:::+aky(n)=g(n); a1;:::;ak 2 C:
PoŁÆteŁn podm nkydiferenŁn rovnice |podm nky,tvaru
y(0)=c0; y(1)=c1;::: y(k 1)=ck 1; c0;:::;ck 1 2 C:
e„en diferenŁn rovnicek-tØhołÆdu|komplexn posloupnost fy(n)g1n=0; kterÆ
vyhovujedanØrovniciaspl ujedanØpoŁÆteŁn podm nky.
Metodałe„en diferenŁn rovniceZ-transformac jepodobnÆmetod łe„en difernciÆl-
n chrovnicLaplaceovoutransformaci:CeloudiferenŁn rovnicivŁetn pravØstranypłe-
transformujepomoc Z-transformace,zevzniklØrovnicevyjÆdł me Y(z)= Zfy(n)g a
v sledekz skÆmepomoc zp tnØZ-transformace.
66 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad8.3.1.Z-transformac łe„tenÆsleduj c diferenŁn rovnice
a)y(n+2) 3y(n+1) 10y(n)=0; y(0)=0; y(1)=2
b)y(n+2)+y(n)=0; y(0)=0; y(1)=1
c)y(n+2)+y(n+1) 2y(n)=1; y(0)=0; y(1)=0
d)y(n+1) y(n)=2n(n 1); y(0)=0
e)y(n+2) 4y(n+1)+4y(n)=0; y(0)=1; y(1)=4
f)y(n+2) 5y(n+1)+6y(n)=1; y(0)=0; y(1)=0
g)y(n+2) 9y(n)=0; y(0)=0; y(1)=1
h)y(n+2) 5y(n+1)+4y(n)=2n; y(0)=0; y(1)=0
i)y(n+1) 3y(n)=n( 1)n; y(0)=1
e„en : a) Podletabulkypłetransformujemecelourovnici.
Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+1)g=zY(z) 0 z=zY(z);
Zfy(n+2)g=z2Y(z) 0 z2 2z=z2Y(z) 2z;
DostalijsmerovniciproY(z): z2Y(z) 2z 3zY(z) 10Y(z)=0:
ZtohoY(z)= 2z(z 5)(z+2);azp tnoutransformac ziskÆme
y(n)=275n 27( 2)n; n=0;1;2;::::
b) Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+2)g=z2Y(z) z;
RovniceproY(z)je z2Y(z) z+Y(z)=0; aztoho Y(z)= zz2+1:
FunkceY(z)zn 1= z
n
z2+1mÆvbodechz1=jaz2= jp lyprvn hołÆdu.
Pron=0;1;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z=j
zn
z2+1

+ res
z= j
zn
z2+1

=
lim
z!j
zn
z+j+limz! j
zn
z j =
jn
2j+
( j)n
2j =
jn 1
2 +
( j)n 1
2 =j
n 1
1
2+
( 1)n 1
2

:
e„en mdiferenŁn rovnicejeposloupnostfy(n)g1n=0=(0;1;0; 1;0;1;0;:::):
c) Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+1)g=zY(z); Zfy(n+2)g=z2Y(z);
RovniceproY(z)je z2Y(z)+zY(z) 2Y(z)= zz 1 a Y(z)= z(z 1)2(z+2):
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 67
FunkceY(z)zn 1= z
n
(z 1)2(z+2)mÆvbod z1= 2p lprvn hołÆduav
bod z2=1p ldruhØhołÆdu.
Pron=0;1;2;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z= 2
zn
(z 1)2(z+2)

+
+res
z=1
zn
(z 1)2(z+2)

= limz! 2 z
n
(z 1)2+limz!1
zn
z+2
0
=
=19( 2)n+limz!1
nzn 1(z+2) zn
(z+2)2

=19( 2)n+3n 19 =( 2)
n+3n 1
9 :
d) Zfy(n+2)g=z2Y(z); Zfn2n)g= 2z(z 2)2; Zf2n)g= zz 2;
RovniceproY(z)je Y(z)(z 1)= 2z(z 2)2 zz 2=2z z
2+2z
(z 2)2 :
Ztoho Y(z)= 4z z
2
(z 2)2(z 1);aY(z)z
n 1= z
n(4 z)
(z 2)2(z 1):
TatofunkcemÆvz1=1p lprvn hołÆduavbod z2=2p ldruhØhołÆdu.
Pron=0;1;2;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z=1
zn(4 z)
(z 2)2(z 1)

+
+res
z=2
zn(4 z)
(z 2)2(z 1)

= limz!1z
n(4 z)
(z 2)2 +limz!2
zn(4 z)
z 1
0
=
=3+limz!2(nz
n 1(4 z) zn)(z 1) zn(4 z)
(z 1)2 =3+
2n2n 1 2n 2 2n
1 =
=3+2n(n 3):
e) Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+1)g=zY(z) z;
Zfy(n+2)g=z2Y(z) z2 4z:
Podosazen dorovniceapoœprav dostaneme Y(z)= z
2
(z 2)2:
FunkceY(z)zn 1= z
n+1
(z 2)2 mÆvbod z1=2p ldruhØhołÆdu.
68 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pron=0;1;2;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z=2
zn+1
(z 2)2

=limz!2 zn+1 0=
=limz!2(n+1)zn =(n+1)2n; n=0;1;2;::::
f) y(n)=12(3n+1) 2n; n=0;1;2;:::;
g) y(n)=123n 1+12( 3)n 1=3
n 1
2 (1+( 1)
n 1); n=0;1;2:::;
h)y(n)=13+234n 1 2n 1; n=0;1;2:::;
i)y(n)= 116 5 3n+1+(4n 1)( 1)n+1 ; n=0;1;2::::
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 69
Literatura
[1]Elia„,J.,HorvÆthJ.,KajanJ.,'kulkaR.:Zbierkaœlohzvy„„ejmatematiky4.Bra-
tislava,Nakladate stvoAlfa,1970.
[2]Haluz kovÆ,A.,KnØslovÆI.,KudlÆŁekV.:AplikovanÆmatematikaIII.Brno,SNTL-
Praha,1972.
[3]ChrastinovÆ,M.,KolouchovÆV.,KrupkovÆV.,'varc,S.:MatematickÆanal zaI.Brno,
EdiŁn stłediskoVUT,1978.
[4]Koukal,S.:Laplaceovatransformace.Brno,EdiŁn stłediskoVUT,1979.
[5]Ma„ek,J.:Sb rkaœlohzvy„„ matematiky.Plze ,EdiŁn stłediskoV'SE,1965.
[6]NovÆk,V.: e„enØœlohyzmatematikyIII.Praha,SNTL,1966.
[7]VorÆŁek,J.,ZapletalJ.,ZÆst raB.:MatematickÆanal zaIII.Praha,SNTL,1984.