sbírka

MATEMATIKA2
Sb rkaœloh
RNDr.EditaKolÆłovÆ,Ph.D.
STAVMATEMATIKY
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 1
vod
Dostalijstedorukousb rkupł kladøkpłednÆ„ceMatematika2.Tatosb rkajedopln n m
textuMatematika2.Navazujenateoretick v kladlÆtkyztØtoknihy.ZÆrove jsemseale
sna ilauvØstdotØtosb rkyv„echnydøle itØvzorce,kterØpłiłe„en pł kladøvyu vÆm,
abystepoprostudovÆn pł slu„n chkapitolzknihyMatematika2mohlisb rkupou vat
isamostatn .Jezdeładapł kladøłe„en chdetailn ,udal„ chjsouuvedenØv sledky,
pł padn radyanÆvody.
Studijn jednotkyjsounavr enytak,abyobsahovalylÆtku,kterÆspoluœzcesouvis ,
ajemo nØjepochopitanastudovatnajednoujakocelek.
PłedpoklÆdÆm, ejsteu œsp „n zvlÆdlipłedm tMatematika1,ovlÆdÆtezÆklady
diferenciÆln hoaintegrÆln hopoŁtufunkcejednØprom nnØ,diferenciÆln poŁetfunkce
v ceprom nn chamÆtezÆkladn poznatkyoładÆch.
2 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Obsah
1 DiferenciÆln poŁetfunkc v ceprom nn ch 3
1.1 ParciÆln derivacefunkcev ceprom nn ch ... .. .. .. .. .. ... .. 3
1.2 LokÆln extrØmyfunkcedvouprom nn ch ... .. .. .. .. .. ... .. 9
2 DiferenciÆln rovniceprvn hołÆdu 14
2.1 ZÆkladn pojmy . ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 14
2.2 SeparovatelnØdiferenciÆln rovnice. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 17
2.3 LineÆrn diferenciÆln rovniceprvn hołÆdu ... .. .. .. .. .. ... .. 19
3 DiferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu 23
3.1 Homogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu . .. .. .. .. .. ... .. 23
3.2 Nehomogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu .. .. .. .. .. ... .. 26
4 Funkcekomplexn prom nnØ 33
4.1 Komplexn Ł sla . ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 33
4.2 Funkcekomplexn prom nnØ . .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 36
4.3 Derivacefunkcekomplexn prom nnØ,Cauchy-Riemannovypodm nky. .. 38
5 IntegrÆlfunkcekomplexn prom nnØ 42
5.1 IntegrÆlkomplexn funkcepomoc parametrizacekłivky.. .. .. ... .. 42
5.2 CauchyøvvzorecaCauchyovav ta .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 47
6 Teorierezidu 50
6.1 Laurentovałada . ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 50
6.2 SingulÆrn bodykomplexn funkce,reziduovÆv ta . .. .. .. .. ... .. 52
7 LaplaceovaintegrÆln transformace 56
7.1 De niceavlastnostiLaplaceovytransformace . .. .. .. .. .. ... .. 56
7.2 Zp tnÆLaplaceovatransformace.. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 59
7.3 e„en diferenciÆln chrovnicLaplaceovoutransformaci .. .. .. ... .. 62
7.4 LaplaceovyobrazykoneŁn chimpulsø .. ... .. .. .. .. .. ... .. 65
8 Fourierovyłady 68
8.1 De niceavlastnostiFourierovyłady . .. ... .. .. .. .. .. ... .. 68
9 Z-transformace 76
9.1 De niceavlastnostiZ-transformace.. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 76
9.2 Zp tnÆZ-transformace . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. 78
9.3 e„en diferenŁn chrovnicpomoc Z-transformace . .. .. .. .. ... .. 79
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 3
STUDIJN˝JEDNOTKA
FUNKCEV˝CEPROM NN CH
C lestudijn jednotky. KzvlÆdnut tØtostudijn jednotkypotłebujeteznÆtdiferenci-
Æln poŁetfunkcejednØprom nnØ.Zavedemepojemfunkcev ceprom nn chaukÆ eme,
jaksepoŁ taj parciÆln derivaceprvn ho,aleivy„„ hołÆdu.Potomsoustłed mena„ipo-
zornostnafunkcidvouprom nn chanauŁ mesepoŁ tatrovniciteŁnØrovinykplo„e.Na
koncitØtojednotkynajdetemetodunahledÆn lokÆln chextrØmøfunkc dvouprom n-
n ch.
1 DiferenciÆln poŁetfunkc v ceprom nn ch
1.1 ParciÆln derivacefunkcev ceprom nn ch
Funkcenprom nn ch|funkcef : Rn ! R;kterÆzobrazujebod(x1;:::;xn)2 Rn
doboduy 2 R:ZnaŁ mey=f(x1;:::;xn):
De niŁn oborfunkcenprom nn ch|mno inaA Rn bodø,prokterØmÆde -
niŁn płedpisfunkcesmysl.
Funkcedvouprom nn ch|funkce f : R2 ! R: ZnaŁ me z = f(x;y): De niŁn m
oboremtakovØfunkcejeŁÆstroviny.Grafemjezpravidlaplocha.
ParciÆln derivacefunkcenprom nn chpodlexi |jederivacefunkcejednØpro-
m nnØg(x)=f(x1;:::;xi 1;x;xi+1;:::;xn):ZnaŁ me @f@x
i
nebotakØf0xi:
ParciÆln derivacedruhØhołÆdu|f00xixj(x1;:::;xn)=(f0xi(x1;:::;xn))0xj:Jetopar-
ciÆln derivacefunkcef0xi(x1;:::;xn); podleprom nnØxj:ZnaŁ metakØ @f
2
@xi@xj:
Gradientfunkcef vbod A |vektor gradf(A)=(f0x1(A);:::;f0xn(A)).ZnaŁ me
takØrf(A):Jetosm r,vekterØmfunkcenejrychlejiroste.
4 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
PoznÆmka.PłipoŁ tÆn parciÆln chderivac f0xi pova ujemezaprom nnoupouzexi;
naostatn prom nnØsed vÆmejakonakonstanty.Prov poŁetparciÆln chderivac plat
pravidlaoderivovÆn souŁtu,souŁinuapod lufunkc .
PoznÆmka.Mø emepoŁ tatiparciÆln derivacevy„„ chłÆdø.ParciÆln derivacen-
tØhołÆdujeparciÆln derivacefunkce,kterÆsamavzniklajako(n 1)-n derivace.Płi
poŁ tÆn parciÆln chderivac vy„„ chłÆdønezÆle napoład ,vjakØmpoŁ tÆmederivace
podlejednotliv chprom nn ch,jsou-litytoderivacespojitØ.
TeŁnÆrovinakplo„e
TakjakoufunkcejednØprom nnØjsmemohlivyu tderivacivbod kzapsÆn teŁnyv
tomtobod ,mø emevyu tparciÆln chderivac płihledÆn teŁnØrovinykplo„e.N kdy
sejednÆoplochu,kterÆjegrafemfunkcedvouprom nn chz=f(x;y):Vtomtopł pad
ł kÆme, eplochajedanÆexplicitn .N kdyzrovniceplochyneum mevyjÆdłitprom nnou
z;napł kladukulovØplochy.Vtomtopł pad ł kÆme, eplochajedanÆimplicitn .
RovniceteŁnØroviny kplo„ez=f(x;y)vbod T =[x0;y0;z0=f(x0;y0)]:
: @f@x(T)(x x0)+@f@y(T)(y y0) (z z0)=0:
TeŁnÆrovinakplo„edanØimplicitn rovnic F(x;y;z)=0vbod T =[x0;y0;z0];
prokter plat F(x0;y0;z0)=0,mÆrovnici:
: @F@x(T)(x x0)+@F@y(T)(y y0)+@F@z(T)(z z0)=0:
Pł klad1.1.1.Najd tede niŁn oborfunkce:
a) f(x;y)=
p
4 x2 y2 b) f(x;y)=arcsin x
2+y2 6
3
e„en : a)Płirozen de niŁn obortØtofunkcetvoł body,prokterØplat
4 x2 y2 0,tedyDf =f[x;y]2 R2j x2+y2 4g,co je uzavłen kruh
sestłedemvpoŁÆtkuaspolom rem2.
Grafemfunkcejehorn polovinakulovØplochyx2+y2+z2=4; z 0.
b)Zdemus platitx
2+y2 6
3 1a
x2+y2 6
3 1:Poœprav dostanemede niŁn obor D
f =f[x;y]2 R2j x2+y2 3a x2+y2 9g,co je
mezikru ohraniŁenØkru nicemispolom ryp3a3sestłedemvpoŁÆtku.
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 5
Pł klad1.1.2.Najd teparciÆln derivacifunkce z= yx+y:
e„en : Nejdł vespoŁ tÆme @z@x:PłipoŁ tÆn pova ujemeyzakonstantua
derivujemezjakofunkcijednØprom nnØx:
@z
@x=
0 (x+y) 1 y
(x+y)2 =
y
(x+y)2:
Podobn płipoŁ tÆn @z@y pova ujeme x zakonstantuaderivujeme z jako
funkcijednØprom nnØy:
@z
@y =
1 (x+y) y 1
(x+y)2 =
x
(x+y)2:
Pł klad1.1.3.Najd teparciÆln derivacefunkce zpodlejednotliv chprom nn ch
a)z=x2+y2 3xy+4x+5y 7 b)z=ysin(2x y)
c)z=x2cos(x+3y) d)z=xy; x>0
e)z=arccos yx f)z=arctg x+yx y
g)z=lnsin(x 2y) h)z=ln(x+
p
x2+y2)
e„en : a) z0x =2x 3y+4; z0y =2y 3x+5; b) z0x =2ycos(2x y);
z0y =sin(2x y) ycos(2x y); c) z0x =2xcos(x+3y) x2sin(x+3y);
z0y = 3x2sin(x+3y); d) z0x =yxy 1; z0y =xylnx; e) z0x = yxpx2 y2;
z0y = 1px2 y2; f) z0x = yx2+y2; z0y = xx2+y2; g) z0x =cotg(x 2y);
z0y = 2cotg(x 2y); h) z0x = 1px2+y2; z0y = yx2+y2+xpx2+y2:
Pł klad1.1.4.Doka te, efunkce z=e xy2 vyhovujerovnici 2x @z@x+y @z@y =0:
e„en : @z
@x=e
x
y2
1
y2;
@z
@y =e
x
y2
2x
y3

:
Dosad medorovnice:
2x e xy2 1y2 2xyy3 e xy2 =e xy2
2x
y2
2x
y2

=0:
6 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad1.1.5.Doka te, efunkce z=ln(px+py)vyhovujerovnici x @z@x+y @z@y =12:
Pł klad1.1.6.Doka te, efunkce z=exy lnyvyhovujerovnici x @z@x+y @z@y = zlny:
Pł klad1.1.7.Doka te, efunkce z=ln(x2+xy+y2)vyhovujerovnici x @z@x+y @z@y =2:
Pł klad1.1.8.Najd teparciÆln derivacefunkce upodlejednotliv chprom nn ch
a)u=x2y2 yz2 4xy+6xz b)u=zex3cos(x y2)
c)u=esin(z 2xy) d)u=arctg(x yz )
e)u=ln ypx2+z2 f)u=2x3 y2w z2w2+5yzw
e„en : a) u0x =2xy2 4y+6z; u0y =2x2y z2 4x; u0z = 2yz+6x;
b) u0x =x2z ex3cos(x y2)[3cos(x y2) xsin(x y2)]; u0z =ex3cos(x y2);
u0y =2yzsin(x y2)ex3cos(x y2); c) u0x = 2y esin(z 2xy)cos(z 2xy);
u0y = 2x esin(z 2xy)cos(z 2xy); u0z = esin(z 2xy)cos(z 2xy); d) u0x =
z
x2+y2+z2 2xy; u
0
y =
z
x2+y2+z2 2xy; u
0
z =
y x
x2+y2+z2 2xy; e) u
0
x =
x
x2+z2;
u0y = 1y; u0z = zx2+z2; f)u0x =3x2; u0y = 2yw+5zw; u0z = 2zw2+5yw;
u0w = y2 2z2w+5yz:
Pł klad1.1.9.Doka te, efunkce u=x+x yy z vyhovujerovnici @u@x+@u@y+@u@z =1:
Pł klad1.1.10. Najd teparciÆln derivacefunkcef vbod Apodlev„echprom nn ch
a)f(x;y)=x+yx y; A=[3;2] b)f(x;y;z)=ln(x2+y2+z2); A=[3;2;1]
c)f(x;y)=xy+yx; A=[1;1] d)f(x;y;z)=xy+yz zx; A=[1;1;1]
e„en : a) f0x(A)= 4; f0y(A)=6; b) f0x(A)=37; f0y(A)=27; f0z(A)=17;
c)f0x(A)=0; f0y(A)=0; d) f0x(A)=2; f0y(A)=0; f0z(A)= 2:
Pł klad1.1.11.Najd tehodnotusouŁtu @u@x+@u@y+@u@z vbod A=[1;1;1]profunkci
f(x;y;z)=ln(1+x+y2+z3):
e„en :
@u
@x+
@u
@y+
@u
@z


A
= 11+x+y2+z3+ 2y1+x+y2+z3+ 3z
2
1+x+y2+z3


A
=32:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 7
Pł klad1.1.12.Najd tegradientfunkcef vbod A
a)f(x;y)=x3+y3 3xy; A=[2;1] b)f(x;y;z)=x ez+2y; A=[1; 1;2]
c)f(x;y;z)= xx2+y2+z2; A=[1;2;2] d)f(x;y;z)=xyz; A=[1;2;3]
e„en : a) @f@x


A
=3x2 3y


A
=9; @f@y


A
=3y2 3x


A
= 3:
Ztohogradientfunkcevbod Ajevektor gradf(A)=(9; 3):
b)rf(A)=(1;2;1); c)rf(A)= 181(7; 4; 4); d)rf(A)=(6;3;2):
Pł klad1.1.13.Napi„terovniciteŁnØrovinyknÆsleduj c mplochÆmvbod T =[x0;y0;z0]:
(a) z=x
2
2 y
2; T =[2; 1;?]
(b) x3+y3+z3+xyz 6=0; T =[1;2; 1]
(c) z=px2+y2 xy; T =[3;4;?]
(d) 3x4 4y3z+4xyz2 4z3x+1=0; T =[?;1;1]
(e) z=2x2 4y2; T =[2;1;?]
e„en : a)Nejdł vespoŁ tÆmetłet souładniciboduT: Bodle naplo„e,a
protoz0=f(2; 1)=1:DÆle
@z
@x=x;
@z
@x(T)=2;
@z
@y = 2y;
@z
@y(T)=2:
RovniceteŁnØroviny kplo„ez= x22 y2vbod T=[2,-1,1]:
:2(x 2)+2(y+1) (z 1)=0:
Poœprav dostanemerovniciteŁnØroviny :2x+2y z 1=0:
b)PlochajedanÆimplicitn .BodT le nadanØplo„e,proto esouładnice
tohotoboduspl uj rovniciplochy:1+8 1 2 6=0:SpoŁ tÆmeparciÆln
derivacefunkceF(x;y;z)=x3+y3+z3+xyz 6:
F0x =3x2+yz; F0y =3y2+xz; F0z =3z2+xy;F0x(T)=1; F0y(T)=11; F0z(T)=5:
Potom
:1(x 1)+11(y 2)+5(z+1)=0:
Poœprav dostanemerovniciteŁnØroviny : x+11y+5z 18=0:
c)T =[3;4; 7]a :17x+11y+5z 60=0; d)3x4 4+4x 4x+1=0
) 3x4=3 ) x=1anebox= 1) T1=[1;1;1]a 1:3x 2y 2z+1=0
atakØ T2 = [ 1;1;1]a 2 : 3x 2y 2z+7 = 0; e) T = [2;1;4]a
:8x 8y z 4=0:
8 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad1.1.14.Najd tev„echnyparciÆln derivacedruhØhołÆdufunkce f podlejed-
notliv chprom nn ch
a)f(x;y)=xey b)f(x;y)=x+y+ xyx y
c)f(x;y)=xy+cos(x y) d)f(x;y)=ln(x2+y2)
e)f(x;y;z)=xyz 3x+7y+5z f)f(x;y;z)=ln
yz2
x

e„en : a)Nejdł vespoŁ tÆmeparciÆln derivaceprvn hołÆdudanØfunkce:
@f
@x=e
y; @f
@y =x e
y:
Potom @
2f
@x2 =0;
@f2
@y2 =x e
y; @f
2
@x@y =
@f2
@y@x= e
y:
b) f00xx = 2y2(x y)3; f00xy = 2xy(x y)3; f00yy = 2x2(x y)3; c) f00xx = cos(x y);
f00xy =1+cos(x y); f00yy = cos(x y); d)f00xx = 2y2 2x2(x2+y2)2; f00xy = 4xy(x2+y2)2;
f00yy = 2x2 2y2(x2+y2)2; e)f00xx =0; f00yy =0; f00zz =0; f00xy =z; f00xz =y; f00yz =x;
f)f00xx = 1x2; f00yy = 1y2; f00zz = 2z2; f00xy =0; f00xz =0; f00yz =0:
Pł klad1.1.15.Doka te, efunkce z=ex(xcosy ysiny)vyhovujediferenciÆln rov-
nici z00xx+z00yy =0:
Pł klad1.1.16.Doka te, efunkce z =arctg(2x y)vyhovujediferenciÆln rovnici
z00xx+2z00xy =0:
Pł klad 1.1.17. Doka te, e funkce f(x;y) = xyx y vyhovuje diferenciÆln rovnici
f00xx+2f00xy+f00yy = 2x y:
Pł klad1.1.18.Doka te, efunkce u= 1px2+y2+z2 vyhovujediferenciÆln rovnici
u00xx+u00yy+u00zz =0:
Pł klad1.1.19.Najd tez(4)xxxy kde z=yln(xy):
e„en : z0x =y 1xyy=yx; z00xx = yx2; z000xxx =2yx3 ) z(4)xxxy = 2x3:
Pł klad1.1.20.Najd tez000xyy kde z=ln(x2+y2):
e„en : z000xyy =4x(3y2 x2)(x2+y2)2 :
Pł klad 1.1.21. Doka te, e funkce z = xey +yex vyhovuje diferenciÆln rovnici
z000xxx+z000yyy =xz000xyy+yz000xxy:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 9
1.2 LokÆln extrØmyfunkcedvouprom nn ch
LokÆln maximum(resp.minimum)funkcez=f(x;y)jehodnotaz0=f(x0;y0)vbod
T =[x0;y0],jestli evlibovolnØmbod n jakØhookol boduTjsoufunkŁn hodnotyfunkce
f men„ (resp.v t„ )ne z0.
PłihledÆn boduextrØmufunkce2prom nn chpostupujemepodobn jakopłihledÆn
extrØmufunkcejednØprom nnØ:NajdemestacionÆrn bodfunkcef(bodvekterØmjegra-
dientfunkcerovn 0),potompomoc druh chparciÆln chderivacizjist me,zdavtomto
bod existujemaximumnebominimum,ev. evstacionÆrn mbod nemÆfunkceextrØm.
HledÆn extrØmufunkcez=f(x;y):
1.SpoŁ tÆme @f@x a @f@y apolo mejerovnynule.
2.NajdemestacionÆrn bodT =[x0;y0];vekterØm @f@x(T)=0azÆrove @f@y(T)=0:
3.SpoŁ tÆme @
2f
@x2(T);
@2f
@y2(T);
@2f
@x@y(T)azt chtotł derivac vytvoł mejednoŁ slo:
D(T)=@
2f
@x2(T)
@2f
@y2(T)
@2f
@x@y(T)
2
:
4.PodleznamØnkaD(T)rozhodnemeoexistenciextrØmuvbod T =[x0;y0].
(a)PokudD(T)0;funkcemÆvbod T extrØm.Vtomtopł pad je„t mus me
rozhodnout,zdajdeomaximumnebominimum:
(i)Je-li @
2f
@x2(T)>0;funkcef mÆvbod T lokÆln minimumz0=f(x0;y0).
(ii)Je-li @
2f
@x2(T)0:Vbod Bnastaneminimum.
Je„t spoŁ tÆmehodnotufunkcevtomtobod :f(B)=1+1 3= 1:
Pł klad1.2.2.Najd telokÆln extrØmyfunkcef(x;y)=e x2 y2.
e„en :
gradf=

e x2 y2( 2x); e x2 y2( 2y)

=(0;0) )
x=0;
y=0:
BodA=[0;0]jejedin stacionÆrn bod.VypoŁ tÆmedruhØparciÆln derivace:
@2f
@x2 =2e
x2 y2(2x2 1); @
2f
@x@y =4xye
x2 y2; @
2f
@y2 =2e
x2 y2(2y2 1):
Vbod A =[0;0]mÆme @
2f
@x2(A)= 2;
@2f
@x@y(A)=0;
@2f
@y2(A)= 2:
D(A)= 2 ( 2)=4>0
azÆrove @
2f
@x2 = 2:
FunkcemÆvbod A=[0;0]
lokÆln maximum; f(A)=1:
NaobrÆzkujegraffunkcev
okol stacinÆrn hobodu. f(x;y)=e x
2 y2
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 11
Pł klad1.2.3.Zjist te,zdafunkcez=x4+y4 2x2 4xy 2y2mÆlokÆln extrØmyv
bodechA=[p2;p2]aB=[ p2; p2].
e„en : @z
@x=4x
3 4x 4y; @z
@y =4y
3 4x 4y:
Dosad mebodA=[p2;p2]: @z@x(A)=4 2p2 4p2 4p2=0;
a @z@y(A)=4 2p2 4p2 4p2=0:BodA=[p2;p2]jestacinÆrn bod.
Podobn mø emedosaditibodB=[ p2; p2]doprvn chparciÆln chderi-
vac aukÆzat, eibodBjestacionÆrn bod.
DruhØparciÆln derivacefunkcejsou @
2z
@x2 =12x
2 4; @
2z
@y2 =12y
2 4;
@2z
@x@y = 4:TedyD=(12x
2 4)(12y2 4) ( 4)2:
Vbod A=[p2;p2]mÆme @
2z
@x2(A)=20 a D(A)=400 16>0:Funkce
mÆvbod A=[p2;p2]lokÆln minimum.
Vbod B=[ p2; p2]mÆmetakØ @
2z
@x2(B)=20 a D(B)=400 16>0:
FunkcemÆivbod B=[ p2; p2]lokÆln minimum.
Pł klad1.2.4.Najd telokÆln extrØmynÆsleduj c chfunkc z=f(x;y)
(a) z=x2 xy+y2 2y+1 (b) z=x+y+ 1xy
(c) z=2x3+3x2+y3 3y 12x (d) z=2x3+xy2 216x
(e) z=x2 2xy+2y2+4x (f) z=8x + xy +y
(g) z=x4+8x2+y2 4y (h) z=12xy x3 y3
(i) z=x2+xy 3y2+y+x 1 (j) z=5xy+25x +8y
e„en : (a)gradf=(2x y; x+2y 2)=(0;0) ) T =[23;43]stacionÆrn
bod.DÆlef00xx =2; f00yy =2; f00xy = 1 a D(T)=2 2 ( 1)2=3>0:
FunkcemÆvbod T lokÆln minimum 13.
(b)gradf=(1 1x2y;1 1xy2)=(0;0) ) T =[1;1]jedin stacionÆrn bod.
f00xx = 2x3y; f00yy = 2xy3; f00xy = 1x2y2; D(T)=2 2 12=3>0; f00xx(T)=2>0:
FunkcemÆvbod T =[1;1]lokÆln minimum3.
12 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
(c)gradf =(6x2+6x 12;3y2 3)=(0;0) )
(x+2)(x 1)=0;
y2=1:
Potom x= 2nebox=1a y= 1neboy=1:
StacionÆrn bodyjsouA=[ 2;1]; B=[ 2; 1]; C=[1;1]aD=[1; 1]:
f00xx =12x+6; f00yy =6y; f00xy =0 a D(x;y)=36y(2x+1):
D(A)=36( 3)0; f00xx(B)0; f00xx(C)>0 ) vC=[1;1]lokÆln minimum.
D(D)= 36(3)0; f00xx(D)0:
HledÆmemaximumfunkcef(x;y)=xy(108 2x 2y)=108xy 2x2y 2y2x:
gradf=(108y 4xy 2y2;108x 2x2 4xy)=(0;0) ) x=y:
StacionÆrn bodyłe„ rovnici108x 6x2=0:
MÆme6x(18 x)=0 ) x=0nebox=18:AledØlkapodstavynemø eb t
0.Zaj mÆnÆsjedin stacionÆrn bodA=[18;18].VypoŁ tÆmedruhØparciÆln
derivace:
@2f
@x2 = 4y;
@2f
@x@y =108 4x 4y;
@2f
@y2 = 4x:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 13
Vbod A=[18;18]mÆmef00xx(A)= 4 18; f00xy(A)= 36; f00yy(A)= 4 18:
D(A)=36 182 4 182>0:FunkcemÆvbod AlokÆln maximum.
Rozm ryhledanØhobal kubudou x=18cm, y=18cmav „ka z=36cm.
Pł klad1.2.6.Najd terozm ryotevłenØobdØln kovØkrabiceoobjemu1m3tak,abyjej
povrchbylminimÆln .
e„en : HledÆmeminimumfunkcef(x;y)=xy+2x1xy+2y 1xy =xy+2y+2x;
kdex;yjsourozm rypodstavcebal kuaz= 1xy jejehov „ka.
TatofunkcemÆlokÆln minimumvbod A=[3p2; 3p2].
Rozm ryhledanØkrabicejsou x= 3p2m, y= 3p2mav „ka z=
3p2
2 m.
14 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
STUDIJN˝JEDNOTKA
DIFERENCI`LN˝ROVNICEPRVN˝HO `DU
C lestudijn jednotky. KtØtostudijn jednotcepotłebujeteznÆtdiferenciÆln ain-
tegrÆln poŁetfunkcejednØprom nnØ.ZaŁÆtekjekrÆtk œvoddoteoriediferenciÆln ch
rovnic.ProcviŁ tesizÆkladn pojmyjakodiferenciÆln rovnice,obecnØłe„en ,partikulÆrn
łe„en .PotomsenauŁ tełe„itdvatypyrovnicprvn hołÆdu:separovatelnoualineÆrn .Na
koncitØtojednotkynajdeterøznØœlohy,kdesimø etevyzkou„et,zdadokÆ etejednotlivØ
typyrovnicnejenłe„it,aletakØodseberozli„it.
2 DiferenciÆln rovniceprvn hołÆdu
2.1 ZÆkladn pojmy
ObyŁejnÆdiferenciÆln rovnice|rovnice,vn sevyskytujederivaceneznÆmØfunkce
jednØprom nnØ.
ÆddiferenciÆln rovnice|łÆdnejvy„„ derivace,kterÆsevrovnicivyskytuje.
e„itdiferenciÆln rovnici|naj tv„echnyfunkce,kterØvyhovuj danØrovnici.
ObecnØłe„en diferenciÆln rovnicen-tØhołÆdu|łe„en ,kterØzÆvis nanrøz-
n chparametrechtakov mzpøsobem, ev„echnałe„en rovnicemø emez skat
vhodnouvolbout chtokonstant.
PartikulÆrn łe„en diferenciÆln rovnicen-tØhołÆdu|łe„en ,kterØdostanemez
obecn hołe„en konkrØtn volbouv„echnparametrø.
IntegrÆln kłivka|łe„en diferenciÆln rovnice,grafłe„en diferenciÆln rovnice.
PoŁÆteŁn œloha|problØmnaj tpartikulÆrn łe„en diferenciÆln rovnice,kterØspl uje
tzv.poŁÆteŁn podm nky.
Mø esestÆt, ediferenciÆln rovnicenemÆ Æ