sbírka

10e3x: Mus meY dvakrÆtderivovata
dosaditdorovnice: Y =Ae3x; Y0=3Ae3x; Y00=9Ae3x: Podosazen
9Ae3x 4Ae3x =10e3x:
Rovnicinejdł vvyd l mee3x adostaneme 9A 4A=10; 5A=10; A=2:
MÆmejednopartikulÆrn łe„en Y = 2 e3x aobecnØłe„en nehomogenn
rovniceje
y=yh+Y =C1e2x+C2e 2x+2e3x:
b) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00+4y=0:CharakteristickÆrovniceje
2+4=0 ajej kołenyjsou 1;2= 2i a yh =C1 cos2x+C2 sin2x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=8x2 32x+4=e0x (8x2 32x+4)=e0x P2(x):
Zde =0nen kołencharakteristickØrovnice(0 6= 2i),aproto k =0:
Obecn polynomdruhØhostupn jeAx2+Bx+C:PotompartikulÆrn łe„en
budem ttvar
Y =e0x x0(Ax2+Bx+C)=Ax2+Bx+C
amus spl ovatrovnici Y00+4Y =8x2 32x+4:Mus meY dvakrÆtderivovat
Y =Ax2+Bx+C; Y0=2Ax+B; Y00=2A; apodosazen
2A+4Ax2+4Bx+4C=8x2 32x+4:
NaoboustranÆchrovnicejsoupolynomydruhØhostupn .Abyplatilarovnost
mus serovnatkoe cientyujednotliv chmocnin(odtudpochÆz takØnÆzev
metodaneurŁit chkoe cientø).
x2: 4A=8
x1: 4B= 32
x0: 2A+4C=4
28 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Dostalijsmesoustavurovnic.Povyłe„en mÆme A=2; B= 8; C=0:
Z skalijsmejednopartikulÆrn łe„en nehomogenn rovnice Y =2x2 8x:
PotomobecnØłe„en nehomogenn rovnicebude
y=yh+Y =C1 cos2x+C2 sin2x+2x2 8x:
c) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00+2y0 3y=0:CharakteristickÆrovnice
je 2+2 3=0 ajej kołenyjsou 1=1; 2= 3 a yh =C1ex+C2e 3x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=(4x 3)ex =ex P1(x):
Zde =1jejednonÆsobn kołencharakteristickØrovnice,aproto k =1:
Obecn polynomprvn hostupn jeAx+B;apartikulÆrn łe„en budem t
tvar
Y =ex x1(Ax+B)=ex(Ax2+Bx)
amus spl ovatrovnici Y00+2Y0 3Y =(4x 3)ex:
Mus meY dvakrÆtderivovat(jakosouŁin):Y =ex(Ax2+Bx);
Y0=ex(Ax2+Bx)+ex(2Ax+B)=ex(Ax2+Bx+2Ax+B);
Y00=ex(Ax2+Bx+2Ax+B)+ex(2Ax+B+2A)=
=ex(Ax2+Bx+2Ax+B+2Ax+B+2A)=ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A);
apodosazen
ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A)+2ex(Ax2+Bx+2Ax+B) 3ex(Ax2+Bx)=
=(4x 3)ex:
Rovnicinejdł vvyd l meex adostaneme
Ax2+Bx+4Ax+2B+2A+2Ax2+2Bx+4Ax+2B 3Ax2 3Bx=4x 3:
PorovnÆmekoe cientyujednotliv chmocnin.
x2: A+2A 3A=0
x1: B+4A+2B+4A 3B=4
x0: 2B+2A+2B= 3
Dostalijsmesoustavu 8A=4; 2A+4B= 3: Potom A=12; B= 1:
PartikulÆrn łe„en je Y =ex
x2
2 x

: PotomobecnØłe„en bude
y=yh+Y =C1ex+C2e 3x+ex
x2
2 x

:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 29
d) Vyłe„ mehomogenn rovnici 3y00 2y0=0:CharakteristickÆrovniceje
3 2 2 =0 ajej kołenyjsou 1=0; 2=23 a yh =C1 +C2e23x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=10cos2x=e0x (10cos2x+0sin2x):
Zde +i =0+2i nen kołencharakteristickØrovnice,aproto k =0:
PartikulÆrn łe„en budem ttvar
Y =e0x x0(Acos2x+Bsin2x)=Acos2x+Bsin2x
amus spl ovatrovnici 3Y00 2Y0=10cos2x:Mus meY dvakrÆtderivovat:
Y0= 2Asin2x+2Bcos2x; Y00= 4Acos2x 4Bsin2x: Dosad me
3( 4Acos2x 4Bsin2x) 2( 2Asin2x+2Bcos2x)=10cos2x;
12Acos2x 12Bsin2x+4Asin2x 4Bcos2x=10cos2x:
Abyrovniceplatila,mus serovnatkoe cientypłi cos2x a sin2x naobou
stranÆch:
cos2x: 12A 4B=10
sin2x: 12B+4A=0
Zasejsmedostalisoustavurovnic: 12A 4B=10; A 3B=0:
Odtud A= 34; B= 14: PartikulÆrn łe„en je Y = 34cos2x 14sin2x;
ObecnØłe„en nehomogenn rovnicebude
y=yh+Y =C1+C2e23x 34cos2x 14sin2x:
Pł klad3.2.2.Najd tepartikulÆrn łe„en lineÆrn diferenciÆln rovnicedruhØhołÆduse
speciÆln pravoustranou
a)y00+2y0+y=2x 1; y(0)=3; y0(0)= 4
b)y00+y=8sinx; y(0)=1; y0(0)= 3
e„en : a) Vyłe„ mehomogenn rovniciy00+2y0+1=0:MÆme 2+2 +1=0:
KołenycharakteristickØrovnicejsou 1= 2= 1a yh =C1e x+C2xe x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=2x 1=e0x (2x 1)=e0x P1(x):
Zde =0nen kołencharakteristickØrovnice,aprotok=0:Potom
30 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Y =e0x x0(Ax+B) =Ax+B; Y0=A; Y00=0 apodosazen
0+2A+Ax+B=2x 1:
PorovnÆmekoe cienty: x1: A=2
x0: 2A+B= 1
adostaneme A=2a B= 5: Potom Y =2x 5 aobecnØłe„en
y=yh+Y =C1e x+C2xe x+2x 5:
SpoŁ tÆmeje„t y0;abychommohlidosaditpoŁÆteŁn podm nky,
y0= C1e x+C2e x C2xe x+2:
Ztoho3=y(0)=C1 5; 4=y0(0)= C1+C2+2: Pak C1=8; C2=2:
HledanØpartikulÆrn łe„en budey=8e x+2xe x+2x 5:
b) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00+y=0: MÆme 2+1=0:
KołenycharakteristickØrovnicejsou 1;2= i a yh =C1 cosx+C2 sinx:
PravÆstranajetvaru
f(x)=8sinx=e0x (0cosx+8sinx):
Zde +i =0+ijekołencharakteristickØrovnice,aprotok=1 a
Y =e0x x1(Acosx+Bsinx)=x(Acosx+Bsinx):
SpoŁ tÆmederivaceadosad medorovnice:
Y0=Acosx+Bsinx+x( Asinx+Bcosx)=(A+Bx)cosx+(B Ax)sinx;
Y00=(2B Ax)cosx+( 2A Bx)sinx;
(2B Ax)cosx+( 2A Bx)sinx+Axcosx+Bxsinx=8sinx:
Mus serovnatkoe cientypłi cosx a sinx naoboustranÆch:
cosx: 2B Ax+Ax=0
sinx: 2A Bx+Bx=8
Potom A= 4; B=0; Y = 4xcosx a y=C1 cosx+C2 sinx 4xcosx:
SpoŁ tÆme y0= C1 sinx+C2 cosx 4cosx+4xsinx adosad mepoŁÆteŁn
podm nky: 1=y(0)=C1; 3=y0(0)=C2 4 ) C1=1; C2=1:
HledanØłe„en jey= cosx+sinx 4xcosx:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 31
Pł klad3.2.3.JedÆnelektrick LCobvod,kdec vkaoindukŁnostiL=10H mÆvelmi
mal ohmick odpor.DosØriekn jezałazenkondenzÆtorokapacit C=0:1F azdroj,
jeho nap t lineÆrn rostesŁasempodlevztahuE=10t:UrŁetezÆvislostproudutekou-
c hoobvodemnaŁase,je-liI(0)=0akondenzÆtorbylvŁaset=0vybit.
e„en : Protentoobvodplat
LdIdt+1C
Z t
0
I( )d =E:
PoderivovÆn adosazen dostanemelineÆrn diferenciÆln rovnicidruhØhołÆdu
10d
2I
dt2 +10I=10:
ObecnØłe„en tØtorovniceje I(t)=C1cost+C2sint+1:
PartikulÆrn łe„en spl uj c danØpoŁÆteŁn podm nkyI(0)=0aI0(0)=0
urŁ mez I(0)=C1+1=0; I0(t)= C1sint+C2costaI0(0)=C2=0:
e„en œlohytedyje
I(t)=1 cost:
Płesto enap t neomezen roste,zøstÆvÆproudvtakovØmobvoduomezen .
Pł klad3.2.4.Principemsuperpozicevyłe„telineÆrn diferenciÆln rovnicidruhØhołÆdu
y00+y0=5x+2ex:
e„en : KołenycharakteristickØrovnice 2+ =0 jsou 1=0; 2= 1
a yh =C1 +C2e x:
PartikulÆrn łe„en dostanemejakosouŁetpartikulÆrn chłe„en dvourovnic,
kterØmaj speciÆln pravØstrany: y00+y0=5x a y00+y0=2ex:
Uprvn rovnicejepravÆstranatvaru
f1(x)=5x=e0x 5x=e0x P1(x):
Zde =0jejednoduch kołencharakteristickØrovnice,aproto k =1:
Potom
Y1=e0x x1(Ax+B) =Ax2+Bx; Y01=2Ax+B; Y001 =2A apodosazen
dorovnice Y001 +Y01=5x mÆme 2A+2Ax+B=5x:
PorovnÆmekoe cienty: x1: 2A=5
x0: 2A+B=0
Ztoho A=52 a B= 5: Dostalijsme Y1=52x2 5x:
UdruhØrovnicejepravÆstranatvaru
f2(x)=2ex =ex 2=ex P0(x):
32 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Zde =1 nen kołencharakteristickØrovnice,aproto k=0: Potomp „eme
Y2=exx0A=Aex; Y02=Aex; Y002 =Aex apodosazen do Y002+Y02=2ex;
Aex+Aex =2ex; 2Aex =2ex; 2A=2; A=1:
Potom Y2=ex ajednopartikulÆrn łe„en pøvodn rovnicedostanemejako
Y =Y1+Y2=52x2 5x+ex:
HledanØobecnØłe„en jey=C1 +C2e x+52x2 5x+ex:
Pł klad3.2.5.Najd teobecnØłe„en rovnicdruhØhołÆdumetodouneurŁit chkoe cientø
a)2y00 5y0 7y=18e2x b)y00 2y0 3y=1 x c)y00+3y=9x2
d)y00+6y0+9y=36xe3x e)y00+2y0+5y=17sin2x f)3y00 4y0=25sinx
e„en : a)y=C1e72x+C2e x 2e2x; b) y=C1e x+C2e3x+19(3x 5);
c) y=C1cosp3x+C2 sinp3x+3x2 2; d)y=C1 e 3x+C2 xe 3x+
e3x(x 13);
e) y=C1e xcos2x+C2e xsin2x 4cos2x+sin2x;
f) y=C1 +C2e43x+4cosx 3sinx:
Pł klad3.2.6.Najd tepartikulÆrn łe„en rovnicmetodouneurŁit chkoe cientø
a)y00 2y0=2x2ex; y(0)=1; y0(0)=5
b)y00 2y=(2x 1)2; y(0)= 12; y0(0)=2
c)y00 7y0+10y=116sin2x; y(0)=3; y0(0)= 2
e„en : a)y=12+92e2x+ex( 2x2 4); b) y=e
p2x
+e
p2x
2x2+2x 52;
c)y= 4e2x+7cos2x+3sin2x:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 33
STUDIJN˝JEDNOTKA
FUNKCEKOMPLEXN˝PROM NN
C lestudijn jednotky. Vprvn ŁÆstisimø eteosv itsvØznalostiokomplexn ch
Ł slech,kterØmÆtezestłedn „koly.KezvlÆdnut dal„ chkapitoljenutnØ,abysteum li
pracovatskomplexn miŁ slyazobrazovatjevkomplexn rovin .DÆleseseznÆm tes
pojmemkomplexn funkceaholomorfn funkce,nauŁ tesetytofunkcederivovat.Płedpo-
klÆdÆm, eu um tederivovatfunkcijednØreÆlnØprom nnØapoŁ tatparciÆln derivace
funkcev ceprom nn ch.
4 Funkcekomplexn prom nnØ
4.1 Komplexn Ł sla
Komplexn jednotka|Ł sloj,prokterØplat j2= 1,n kdyseoznaŁujetakØjako
i:
Algebraick tvarkomplexn hoŁ sla|komplexn Ł slozapsanØvetvaru
z=a+jb; a;b2 R; a=Rez; b=Imz:
¨ sloanaz vÆmereÆlnouŁÆst z,Ł slobnaz vÆmeimaginÆrn ŁÆst z.
¨ slokomplexn sdru enØ |kŁ slu z=a+jb jetoŁ slo z=a jb:
Absolutn hodnotakomplexn hoŁ sla|pro z=a+jb jetoreÆlnØŁ slo
jzj=pa2+b2:
Argumentkomplexn hoŁ sla |Argz=’jeœhelmezikladnoux-ovoupoloosoua
polopł mkou,spojuj c bodz spoŁÆtkem.Uva ujeme-lipouze’ 2 h0;2 );p „eme
argz=’:Proargument’komplexn hoŁ sla z=a+jb plat
cos’= apa2+b2; sin’= bpa2+b2:
34 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Gaussovarovina|rovina xy; vekterØkomplexn Ł slo z = a+jb jeznÆzorn no
bodem[a;b]:Absolutn hodnotaŁ slaz sepotomrovnÆvzdÆlenostibodu[a;b]od
poŁÆtku.Absolutn hodnotarozd ludvoukomplexn chŁ selserovnÆjejichvzdÆle-
nostivkomplexn rovin .
Goniometrick tvarkomplexn hoŁ sla|komplexn Ł slozapsanØvetvaru
z=jzj(cos’+jsin’);
kdejzjjeabsolutn hodnotakomplexn hoŁ slaa’jeargumentŁ slaz:
Eulerøvtvarkomplexn hoŁ sla|komplexn Ł slozapsanØvetvaru
z=jzjej’;
kdejzja’maj stejn v znamjakougoniometrickØhotvaru.
Pro a+jbac+jdlibovolnÆkomplexn Ł slasede nujesŁ tÆn anÆsoben takto:
(a+jb)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d); (a+jb) (c+jd)=(ac bd)+j(ad+bc):
Płid len komplexn chŁ selsevyu vÆkomplexn sdru enØŁ slojmenovatele:
a+jb
c+jd=
a+jb
c+jd
c jd
c jd=
ac+bd
c2+d2 +j
bc ad
c2+d2; a+jb;c+jd2 C; c+jd6=0:
Komplexn Ł slasezjednodu„uj podlepravidel(k 2 Z):
j2= 1; j3= j; j4=1; j5=j;:::;j4k =1; j4k+1=j; j4k+2= 1; j4k+3= j:
NÆsoben ad len komplexn chŁ selvgoniometrickØmtvaru:
uv=juj jvj(cos( + )+jsin( + )); uv =jujjvj(cos( )+jsin( ));
kde u=juj(cos +jsin )a v=jvj(cos +jsin )jsoudv nenulovÆkomplexn Ł sla.
Proumoc ovÆn plat Moivreovav ta:
zn =(jzj(cos’+jsin’))n =jzjn(cosn’+jsinn’); n2 N:
Pł klad4.1.1.VypoŁ tejtekomplexn Ł slo
a)z=(2+j)(5+j) b)z=j +j3+j15+j29 c)z=1+2j3 4j
e„en : a)(2+j)(5+j)=10+5j+2j 1=(10 1)+j(5+2)=9+7j;
b)j +j3+j15+j29=j+j3+j3+j=j j j+j=0;
c)1+2j3 4j =(1+2j)(3+4j)32 (4j)2 =3+4j+6j+8j
2
9 ( 16) =
5+10j
25 =
1
5+
2
5j:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 35
Pł klad4.1.2.UrŁeteabsolutn hodnotuaargumentkomplexn chŁ sel
a) 1+j b)j c) 1 d)2+2j
e„en : a)j 1+jj=p( 1)2+12=p2; sin’= 1p2; cos’= 1p2:
Potom ’=34 +2k ; kcelØ:
b)jjj=p0+12=1; sin’=1; cos’=0: Ztoho ’=12 +2k :
c)j 1j=p( 1)2+0=1; sin’=0; cos’= 1: Ztoho ’= +2k :
d)j2+2jj=p22+22=p8; sin’= 2p8= 1p2=
p2
2 ; cos’=
2p
8=
p2
2 :
Potom ’= 4+2k :
Pł klad4.1.3.Najd tevGaussov rovin Ł slaz;pron plat danØrovnice
a)jz+3 5jj=3 b)jz jj=1 c)1R:
4.Z-transformacejelineÆrn ,tj.
Zfaf(n)+bg(n)g=aZff(n)g+bZfg(n)g; a;b2 C:
Pł klad9.1.1.UrŁeteobrazposloupnosti f(n)=1pron=0;1;2;:::
e„en : Podlede nice
Zff(n)g=
1X
n=0
z n =1+1z+ 1z2+:::= 11 1
z
= zz 1:
Tatoładakonvergujeproj1zj1:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 77
ProurŁen obrazøn kter chvybran chposloupnost mø emepou tnÆsleduj c ta-
bulku:
¨ slovzorce f(n); n=0;1;2;::: Zff(n)g=F(z)=
1X
n=0
f(n)z n
1. 1 zz 1
2. an zz a
3. n z(z 1)2
4. n2 z(z+1)(z 1)3
5. nan az(z a)2
6. n2an az(z+a)(z a)3
7. cos!n z(z cos!)z2 2zcos!+1
8. sin!n zsin!z2 2zcos!+1
9. 0(n) 1
10. m(n) z m
11. f(n+1) zF(z) zf(0)
12. f(n+2) z2F(z) z2f(0) zf(1)
13. f(n+k) zkF(z) k 1j=0f(j)zk j
14. f(n k) z kF(z)
ZÆkladn slovn kagramatikaZ-transformace
78 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
9.2 Zp tnÆZ-transformace
Zobrazen ,kterØka dØmuobrazu F(z)płiłazujejehopłedm t f(n)senaz vÆzp tnÆ
Z-transformaceaznaŁ sesymbolemZ 1fF(z)g:
PłihledÆn płedm tupou ijemenÆsleduj c vzorec.
Nech» funkce F(z) je holomorfn krom koneŁnØho poŁtu sv ch singulÆrn ch bodø a
limz!1F(z)jekoneŁnÆ,pakprozp tnouZ-transformaciF(z)plat vzorec
f(n)=Z 1fF(z)g=
X
zk
res
z=zk
F(z)zn 1 ; n=0;1;2;:::
kdezk jsoup lyfunkceF(z)zn 1:
Pł klad9.2.1.Najd tevzorydan chobrazø F(z)
a)F(z)= z1+z b)F(z)= 1z 2 c)F(z)= 1z(z 1)2
d)F(z)= zz 3 e)F(z)= 2z(z 1)2 f)F(z)= 1(z+2)(z+1)
e„en : a)PłihledÆn vzorunejdł vnajd mep lyfunkceF(z)zn 1= z
n
1+z:TatofunkcemÆvbod z
1= 1p lprvn hołÆdu.Pakpron=0;1;2;:::
f(n)=Z 1fF(z)g= res
z= 1
zn
1+z

= limz! 1

(z+1) z
n
1+z

=( 1)n:
Dostalijsmetedy, eZ 1
z
1+z

=f( 1)ng1n=0=(1; 1;1; 1;:::):
b)n=0: FunkceF(z)z 1= 1z(z 2)mÆp lyprvn hołÆduvbodechz1=0
az2=2:Mø emespoŁ tat
f(0)= res
z=0
1
z(z 2)

+ res
z=2
1
z(z 2)

=limz!0 1z 2+limz!2 1z =0:
Pron=1;2;::: funkceF(z)zn 1= z
n 1
z 2mÆp lprvn hołÆdupouzevbod z
1=2:
Potom f(n)= res
z=2
zn 1
z 2

=limz!2

(z 2)z
n 1
z 2

=2n 1:
VzoremfunkceF(z)jeposloupnostff(n)g1n=0=(0;1;2;4;8;:::)
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 79
c)n=0: F(z)z 1= 1z2(z 1)2 mÆvbodechz1=0az2=1p lydruhØho
łÆdu.SpoŁ tÆme
f(0)= res
z=0
1
z2(z 1)2

+res
z=1
1
z2(z 1)2

=limz!0
1
(z 1)2
0
+limz!1
1
z2
0
=limz!0 2(z 1)3+limz!1 2z3 =2 2=0:
n=1: F(z)z0= 1z(z 1)2 mÆvbod z1=0p lprvn hołÆduavbod
z2=1p ldruhØhołÆdu.Potom
f(1)= res
z=0
1
z(z 1)2

+ res
z=1
1
z(z 1)2

=limz!0 1(z 1)2+limz!1
1
z
0
=1 1=0:
n=2;3;:::: F(z)zn 1= z
n 2
(z 1)2mÆpouzep ldruhehołÆduvbod z1=1:
Potomf(n)= res
z=1
zn 2
(z 1)2

=limz!1 zn 2 0=(n 2) 1n 3=n 2:
VzoremfunkceF(z)jeposloupnostff(n)g1n=0=(0;0;0;1;2;3;4;:::)
d) f(n)=3n; n=0;1;2;:::; e) f(n)=2n5n 1; n=0;1;2;:::;
f) f(0)=0; f(n)=( 1)n 1 ( 2)n 1; n=1;2;3;::::
9.3 e„en diferenŁn chrovnicpomoc Z-transformace
LineÆrn diferenŁn rovnicek-tØhołÆdu |rovnice,kterÆmÆtvar
y(n+k)+a1y(n+k 1)+:::+aky(n)=g(n); a1;:::;ak 2 C:
PoŁÆteŁn podm nkydiferenŁn rovnice |podm nky,tvaru
y(0)=c0; y(1)=c1;::: y(k 1)=ck 1; c0;:::;ck 1 2 C:
e„en diferenŁn rovnicek-tØhołÆdu|komplexn posloupnost fy(n)g1n=0; kterÆ
vyhovujedanØrovniciaspl ujedanØpoŁÆteŁn podm nky.
Metodałe„en diferenŁn rovniceZ-transformac jepodobnÆmetod łe„en difernciÆl-
n chrovnicLaplaceovoutransformaci:CeloudiferenŁn rovnicivŁetn pravØstranypłe-
transformujepomoc Z-transformace,zevzniklØrovnicevyjÆdł me Y(z)= Zfy(n)g a
v sledekz skÆmepomoc zp tnØZ-transformace.
80 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad9.3.1.Z-transformac łe„tenÆsleduj c diferenŁn rovnice
a)y(n+2) 3y(n+1) 10y(n)=0; y(0)=0; y(1)=2
b)y(n+2)+y(n)=0; y(0)=0; y(1)=1
c)y(n+2)+y(n+1) 2y(n)=1; y(0)=0; y(1)=0
d)y(n+1) y(n)=2n(n 1); y(0)=0
e)y(n+2) 4y(n+1)+4y(n)=0; y(0)=1; y(1)=4
f)y(n+2) 5y(n+1)+6y(n)=1; y(0)=0; y(1)=0
g)y(n+2) 9y(n)=0; y(0)=0; y(1)=1
h)y(n+2) 5y(n+1)+4y(n)=2n; y(0)=0; y(1)=0
i)y(n+1) 3y(n)=n( 1)n; y(0)=1
e„en : a) Podletabulkypłetransformujemecelourovnici.
Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+1)g=zY(z) 0 z=zY(z);
Zfy(n+2)g=z2Y(z) 0 z2 2z=z2Y(z) 2z;
DostalijsmerovniciproY(z): z2Y(z) 2z 3zY(z) 10Y(z)=0:
ZtohoY(z)= 2z(z 5)(z+2);azp tnoutransformac ziskÆme
y(n)=275n 27( 2)n; n=0;1;2;::::
b) Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+2)g=z2Y(z) z;
RovniceproY(z)je z2Y(z) z+Y(z)=0; aztoho Y(z)= zz2+1:
FunkceY(z)zn 1= z
n
z2+1mÆvbodechz1=jaz2= jp lyprvn hołÆdu.
Pron=0;1;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z=j
zn
z2+1

+ res
z= j
zn
z2+1

=
lim
z!j
zn
z+j+limz! j
zn
z j =
jn
2j+
( j)n
2j =
jn 1
2 +
( j)n 1
2 =j
n 1
1
2+
( 1)n 1
2

:
e„en mdiferenŁn rovnicejeposloupnostfy(n)g1n=0=(0;1;0; 1;0;1;0;:::):
c) Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+1)g=zY(z); Zfy(n+2)g=z2Y(z);
RovniceproY(z)je z2Y(z)+zY(z) 2Y(z)= zz 1 a Y(z)= z(z 1)2(z+2):
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 81
FunkceY(z)zn 1= z
n
(z 1)2(z+2)mÆvbod z1= 2p lprvn hołÆduav
bod z2=1p ldruhØhołÆdu.
Pron=0;1;2;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z= 2
zn
(z 1)2(z+2)

+
+res
z=1
zn
(z 1)2(z+2)

= limz! 2 z
n
(z 1)2+limz!1
zn
z+2
0
=
=19( 2)n+limz!1
nzn 1(z+2) zn
(z+2)2

=19( 2)n+3n 19 =( 2)
n+3n 1
9 :
d) Zfy(n+2)g=z2Y(z); Zfn2n)g= 2z(z 2)2; Zf2n)g= zz 2;
RovniceproY(z)je Y(z)(z 1)= 2z(z 2)2 zz 2=2z z
2+2z
(z 2)2 :
Ztoho Y(z)= 4z z
2
(z 2)2(z 1);aY(z)z
n 1= z
n(4 z)
(z 2)2(z 1):
TatofunkcemÆvz1=1p lprvn hołÆduavbod z2=2p ldruhØhołÆdu.
Pron=0;1;2;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z=1
zn(4 z)
(z 2)2(z 1)

+
+res
z=2
zn(4 z)
(z 2)2(z 1)

= limz!1z
n(4 z)
(z 2)2 +limz!2
zn(4 z)
z 1
0
=
=3+limz!2(nz
n 1(4 z) zn)(z 1) zn(4 z)
(z 1)2 =3+
2n2n 1 2n 2 2n
1 =
=3+2n(n 3):
e) Zfy(n)g=Y(z); Zfy(n+1)g=zY(z) z;
Zfy(n+2)g=z2Y(z) z2 4z:
Podosazen dorovniceapoœprav dostaneme Y(z)= z
2
(z 2)2:
FunkceY(z)zn 1= z
n+1
(z 2)2 mÆvbod z1=2p ldruhØhołÆdu.
82 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pron=0;1;2;:::: y(n)=Z 1fY(z)g= res
z=2
zn+1
(z 2)2

=limz!2 zn+1 0=
=limz!2(n+1)zn =(n+1)2n; n=0;1;2;::::
f) y(n)=12(3n+1) 2n; n=0;1;2;:::;
g) y(n)=123n 1+12( 3)n 1=3
n 1
2 (1+( 1)
n 1); n=0;1;2:::;
h)y(n)=13+234n 1 2n 1; n=0;1;2:::;
i)y(n)= 116 5 3n+1+(4n 1)( 1)n+1 ; n=0;1;2::::
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 83
Literatura
[1]Elia„,J.,HorvÆthJ.,KajanJ.,'kulkaR.:Zbierkaœlohzvy„„ejmatematiky4.Bra-
tislava,Nakladate stvoAlfa,1970.
[2]Haluz kovÆ,A.,KnØslovÆI.,KudlÆŁekV.:AplikovanÆmatematikaIII.Brno,SNTL-
Praha,1972.
[3]ChrastinovÆ,M.,KolouchovÆV.,KrupkovÆV.,'varc,S.:MatematickÆanal zaI.Brno,
EdiŁn stłediskoVUT,1978.
[4]Koukal,S.:Laplaceovatransformace.Brno,EdiŁn stłediskoVUT,1979.
[5]Ma„ek,J.:Sb rkaœlohzvy„„ matematiky.Plze ,EdiŁn stłediskoV'SE,1965.
[6]NovÆk,V.: e„enØœlohyzmatematikyIII.Praha,SNTL,1966.
[7]VorÆŁek,J.,ZapletalJ.,ZÆst raB.:MatematickÆanal zaIII.Praha,SNTL,1984.