sbírka

dnØłe„en .DiferenciÆln rovnice,snimi se
zdesetkÆte,łe„en maj .ObecnØpodm nkyproexistenciłe„en najdetevMatematice2.
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 15
Pł klad2.1.1.Najd teobecnØłe„en diferenciÆln rovnicey000=18e3x+sinx:
e„en : JetoobyŁejnÆdiferenciÆln rovnicetłet hołÆdu,velmispeciÆln ,
proto epravÆstranazÆvis pouzenax: e„en dostanemepostupn mintegro-
vÆn m.
y000=18e3x+sinx ) y00=R(18e3x+sinx)dx=6e3x cosx+C1;
y0=R(6e3x cosx+C1)dx=2e3x sinx+C1x+C2:
AkoneŁn obecnØłe„en bude
y=
Z
(2e3x sinx+C1x+C2)dx=23e3x+cosx+C12x2+C2x+C3:
Proto e„loorovnicitłet hołÆdu,jsouvobecnØmłe„en tłiparametry.Do-
sazen mkonkrØtn chhodnotzakonstantyC1;C2;C3sedostanoupartikulÆrn
łe„en tØtorovnice.
Pł klad2.1.2.Najd tepartikulÆrn łe„en diferenciÆln rovnice y00 =12x3+8; kterØ
spl ujepoŁÆteŁn podm nky y(0)=0; y0(0)=1:
e„en : Jeli y00=12x3+8;potom y0=R(12x3+8)dx=3x4+8x+C1:
ObecnØłe„en budey=R(3x4+8x+C1)dx=35 x5+4x2+C1x+C2:
KonstantybudemepoŁ tatdosazen mpoŁÆteŁn chpodm nekdo ya y0:
0=y(0)=3505+4 02+C10+C2=C2; 1=y0(0)=3 04+8 0+C1=C1:
ZtØtosoustavyrovnicdostaneme C1=1; C2=0:
HledanØpartikulÆrn łe„en je y=35x5+4x2+x.
Pł klad2.1.3.Najd teintegrÆln kłivkurovnice y0= tgx;kterÆprochÆz bodem[0,1].
e„en : IntegrÆln kłivkaprochÆzej c dan mbodemjepartikulÆrn łe„en
spl uj c poŁÆteŁn podm nku y(0)=1:
y0= tgx ) y=
Z
tgxdx=
Z sinx
cosxdx=
Z ( sinx)
cosx dx=
=
Z (cosx)0
cosx dx= lnjcosxj+C:
ObecnØłe„en je y= lnjcosxj+C; x6= 2+k ; kcelØ.
DÆle1=y(0)= lnjcos0j+C=0+C: Dostalijsme, e C=1:
PotomhledanØłe„en je y=1 lnjcosxj.
16 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad 2.1.4. Uka te, efunkce y = C1+C2x+C3e3x jeobecnØłe„en rovnice
y000 3y00=0;anajd tepartikulÆrn łe„en ,prokterØ y(0)=3; y0(0)=6; y00(0)=18:
e„en : y0=C2+3C3e3x; y00=9C3e3x; y000=27C3e3x:
Podosazen y000 3y00=27C3e3x 3 9C3e3x =0:
DÆle 3=y(0)=C1+C3; 6=y0(0)=C2+3C3; 18=y00(0)=9C3:
e„ mesoustavurovnic: C1+C3=3; C2+3C3=6; 9C3=18:
Ztoho C1=1; C2=0; C3=2:HledanØpartikulÆrn łe„en je y=1+2e3x.
Pł klad2.1.5.Uka te, efunkce y=C1(x2+1)+C2(x+(x2+1)arctgx)jeobecnØ
łe„en rovnice(x2+1)y00 2y=0;anajd tepartikulÆrn łe„en tØtorovnice,prokterØ
plat y(0)=1; y0(0)=0:
e„en : y0=C1 2x+C2

1+2xarctgx+ x2+1x2+1

=C1 2x+C2(2+2xarctgx);
y00=2C1+C2 2arctgx+ 2xx2+1 :
Podosazen dostaneme:
(x2+1)y00 2y=
2(x2+1)C1+C2 2 x2+1 arctgx+2x 2C1(x2+1) 2C2 x+ x2+1 arctgx =0:
Funkcełe„ diferenciÆln rovnici.DÆledosad mepoŁÆteŁn podm nky
1=y(0)=C1+C2 0=1 ) C1=1;
0=y0(0)=2 0 C1+2C2=2C2 ) C2=0:
HledanØpartikulÆrn łe„en je y=x2+1.
Pł klad2.1.6.Uka te, efunkce y=C1cosx+C2sinx+e2x jeobecnØłe„en rovnice
y00+y=5e2x;anajd tepartikulÆrn łe„en ,prokterÆplat
a)y(0)=6; y0(0)=6 b)y(0)=1; y0(0)= 1
c)y(0)=32; y0(0)=52 d)y( 2)=e ; y0( 2)=2e 1
e„en : a)y=5cosx+4sinx+e2x; b)y=e2x 3sinx;
c)y=12cosx+12sinx+e2x; d)y=cosx+e2x:
Pł klad2.1.7.Uka te, efunkce y=C1ex+C2xex+C3e 2x jeobecnØłe„en rovnice
y000 3y0+2y=0;anajd tepartikulÆrn łe„en rovnice,kterØspl ujepoŁÆteŁn podm nky
y(0)=0; y0(0)=1; y00(0)=11:
e„en : y= ex+4xex+e 2x
Dal„ ŁÆsttØtojednotkybudev novanÆdiferenciÆln mrovnic mprvn hołÆdu.NauŁ te
sełe„itdvatypyrovnicprvn hołÆdu.
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 17
2.2 SeparovatelnØdiferenciÆln rovnice
SeparovatelnÆdiferenciÆln rovnice|rovnice,kterÆsedÆupravitnatvar
y0=f(x) g(y):
PokudrozpoznÆteseparovatelnourovnicipostupujtepłiłe„en nÆsledovn :
1. y0 nahra tev razem dydx;
2.celourovnicivynÆsobte dx;
3.odseparujteprom nnØ,tzn.Łleny,kterØobsahuj y;płeve tenalevoustranurovnice
spolus dyaŁleny,kterØobsahuj x;płeve tenapravoustranuspolus dx;
4.integrujteob stranyposledn rovnice.
Pł klad2.2.1. e„teseparovatelnoudiferenciÆln rovnici y0=1 2xy3 :
e„en : PostupujemepodlenÆvodu:1:) dydx=1 2xy3
2:) dy=1 2xy3 dx
3:)y3dy=(1 2x)dx
4:)
Z
y3dy=
Z
(1 2x)dx
ZtohopointegrovÆn dostaneme y44 +C = x x2+K; kde C a K jsou
integraŁn konstanty.Płevedeme-likonstantuCnapravoustranu,dostaneme
łe„en vetvaru y44 = x x2+K C: OznaŁ mekonstantu K C = c a
dostanemeobecnØłe„en rovnice
y4
4 =x x
2+c:
Tutoœpravuskonstantamimø eteud latpoka dØ,aprotostaŁ psÆtintegraŁn kon-
stantupouzejednou(obyŁejn jip „emedopravØstrany).
e„en ,kterÆsedostanoupłiłe„en separovatelnØrovnice,jsouobvyklevimplicitn m
tvaru. pravousen kdypodał z skatexplicitn tvarłe„en y=’(x):
Pł klad2.2.2. e„teseparovatelnoudiferenciÆln rovnici (1+y2)dx+(1+x2)dy=0:
e„en : Uprav mena (1+x2)dy= (1+y2)dxapokraŁujeme3.krokem:
1
(1+y2)dy=
1
(1+x2)dx;
Z 1
(1+y2)dy=
Z 1
(1+x2)dx;
arctgy= arctgx+C: ObecnØłe„en bude arctgx+arctgy=C:
18 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad2.2.3. e„teseparovatelnoudiferenciÆln rovnici y0tgx=y:
e„en : 1:)tgx dydx=y; 2:)tgx dy=ydx; 3:)1y dy=cosxsinx dx;
4:)
Z 1
y dy=
Z cosx
sinx dx;
Z 1
y dy=
Z (sinx)0
sinx dx:
PointegrovÆn dostaneme
lnjyj=lnjsinxj+c:
Z skanØłe„en uprav me: jyj=elnjsinxj+c =elnjsinxj ec =ec jsinxj:
OznaŁ me C= ec:Obecn takovØC 6=0:N kdymø emepłipustitiC=0;
jakovtomtopł klad .Mø emetedynapsatobecnØłe„en na„irovnicevetvaru
y=C sinx:
Pł klad2.2.4.Najd tepartikulÆrn łe„en separovatelnØdiferenciÆln rovnice
(1+ex)yy0 =ex; y(0)=p2:
e„en : 1:)(1+ex)y dydx=ex; 2:)(1+ex)ydy=ex dx;
3:)ydy= e
x
(1+ex)dx; 4:)
Z
ydy=
Z ex
(1+ex)dx:
DostalijsmeobecnØłe„en vetvaru y22 =ln(1+ex)+C:
HledÆmepartikulÆrn łe„en :
p22
2 =ln(1+e
0)+C: PotomC=1 ln2:
PartikulÆrn łe„en je y
2
2 =ln(1+e
x)+1 ln2:
Poœprav y=p2ln(1+ex)+2 ln4.
Pł klad2.2.5. e„teseparovatelnØdiferenciÆln rovnice
a)xyy0 =1 x2 b)y0 =ytgx c)y0 +
p
1 y2p
1 x2 =0
d)y0=(y 1)(y 2) e)y0 =ex+y f)(xy2+x)dx +(y x2y)dy=0
e„en : a) y22 =lnjxj x22 +c; poœprav x2+y2=lnCx2; C >0;
b)y= Ccosx; c)C=arcsinx+arcsiny,y=1; y= 1;
d)integrÆldle dypoŁ tejterozklademnaparciÆln zlomky.
e„en je lnjy 2y 1j=x+c:Poœprav y 2=Cex(y 1): Dal„ łe„en jey=1;
e)Vyu ijtevztah ex+y =exey a e y = 1ey: e„en bude ex+e y =C;
f)12ln(y2+1)=12lnjx2 1j+c: Poœprav y2+1=C(x2 1):
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 19
2.3 LineÆrn diferenciÆln rovniceprvn hołÆdu
LineÆrn diferenciÆln rovniceprvn hołÆdu|rovnice,kterÆsedÆupravitnatvar
y0+f(x) y=g(x): (LR)
Homogenn lineÆrn dif.rovniceprvn hołÆdu|rovnicetvaruy0+f(x) y=0:
Metodavariacekonstanty| metoda na łe„en nehomogenn lineÆrn diferenciÆln
rovnice1.łÆdu,płikterØsenejdł vmetodouseparaceprom nn chnajdełe„en
homogenn rovnice
y0+f(x) y=0:
Totołe„en seuprav natvary=C F(x).PotomsepłedpoklÆdÆ, eC=C(x);tj.
konstantazÆvis nax;ałe„en lineÆrn rovnicehledÆmevetvaru
y=C(x) F(x):
PłedpoklÆdan tvarłe„en sedosad dodiferenciÆln rovnice(LR).Vzniknerovnice
typuC0(x)= (x).ZtohosevypoŁ tÆkonkrØtn funkceC(x).
Pł klad2.3.1. e„telineÆrn diferenciÆln rovnici y0+2xy=e x2:
e„en : Nejdł vvyłe„ mehomogenn rovnici y0+2xy=0:
y0= 2xy; dydx= 2xy; 1y dy= 2xdx;
Z 1
y dy=
Z
2xdx; lnjyj= x2+c:
PotłebujemevyjÆdłit y; aprotomus medÆlupravovat:
jyj=e x2+c; jyj=e x2 ec; y=C e x2; kdeC= ec:
Na„lijsmeobecnØłe„en lineÆrn homogenn rovnice y0+2xy =0:ObecnØ
łe„en lineÆrn nehomogenn rovnicebudemehledatvetvaruy=C(x) e x2:
AbychommohliurŁitC(x);mus medosaditdodiferenciÆln rovnice,aktomu
mus menejdł vyderivovat.
y=C(x) e x2; y0=C0(x) e x2+C(x) e x2 ( 2x):
Podosazen dostanemepodm nkuproC0(x):
C0(x) e x2+C(x) e x2( 2x)+2x C(x) e x2 =e x2:
C0(x) e x2 =e x2; C0(x)=1:
ZtohointegrovÆn mdostaneme, e C(x)=R1dx=x+K:
Zb vÆu jenomdosaditzaC(x).HledanØobecnØłe„en bude
y=C(x) e x2 =(x+K) e x2=K e x2+x e x2:
20 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Pł klad2.3.2. e„telineÆrn diferenciÆln rovnici y0 xy1+x2 =x; y(0)=2:
e„en : y0= xy1+x2;
Z 1
y dy=
1
2
Z 2x
1+x2 dx:
lnjyj=12ln(1+x2)+c=lnp1+x2+c; potom y=C p1+x2:
Variacekonstanty:y=C(x) p1+x2; y0=C0(x) p1+x2+C(x) xp1+x2:
Podosazen : C0(x)p1+x2=x; C0(x)= xp1+x2; C(x)=
Z x
p1+x2 dx:
Substituce1+x2=t2vedenaC(x)=p1+x2+K:
ObecnØłe„en danØrovnicejey=K p1+x2+x2+1:
Dosad mepoŁÆteŁn podm nku: 2=y(0)=K p1+1=K+1:
Ztoho K=1 ahledanØpartikulÆrn łe„en bude y=p1+x2+x2+1:
Pł klad2.3.3.Najd teobecnØłe„en rovnice xy0+y ex =0:
e„en : Rovnicenen vetvarulineÆrn diferenciÆln rovnice.Nejdł vjimu-
s meupravit.Płevedemeex napravoustranuapakcelourovnicivyd l mex.
Dostaneme
y0+yx=e
x
x:
Tatorovniceu jevetvaru(LR)avyłe„ mejimetodouvariacekonstanty.
y0+yx=0; y0= yx;
Z 1
y dy=
Z 1
xdx; lnjyj= lnjxj+c; y=
C
x:
Variacekonstanty: y=C(x)x ; y0=C
0(x) x C(x)
x2 :
Podosazen : C
0(x)
x =
ex
x; C
0(x)=ex; C(x)=ex+K: Pak y=e
x+K
x :
Pł klad 2.3.4. JedÆnelektrick RLobvodsc vkouosamoindukŁnosti L; ohmick m
odporemRanap t mE:DleKirchho ovazÆkonazÆvislostprouduI naŁasetvyjadłuje
diferenciÆln rovnice
LdIdt+IR=E:
Najd tevzorecprołe„en I(t); jestli ev te, enapoŁÆtkubylproudnulov .
e„en : Rovniciuprav menatvar dIdt+RL I=EL ałe„ mejako(LR):
dI
dt+
R
L I=0;
dI
dt =
IR
L ;
1
I dI=
R
L dt;
Z 1
I dI=
Z R
L dt:
e„en homogenn rovnicebude lnjIj= RLt+c ) I=C e RL t:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 21
Variacekonstanty: I=C(t)e RL t; I0=C0(t)e RL t C(t)RL e RL t:
Podosazen C0(t)e RL t =EL; C0(t)=ELeRL t; C(t)=EReRL t+K:
ObecnØłe„en jetedy I=
E
Re
R
L t+K

e RL t =K e RL t+ER:
ZpoŁÆteŁn podm nkyI(0)=0dostaneme, eK= ER:
Hledan vzorecproproudvelektrickØmRLobvoduje I=ER

1 e RL t

:
Pł klad 2.3.5. KondenzÆtor o kapacit C = 10 3F je zapojen do sØrie s odporem
R = 200 anab jenzesØriov zapojenØhozdrojeonap t E = 12V: UrŁetenap t
nakondenzÆtorujednusekundupozapojen zdrojezapłedpokladu, evŁase t =0byl
kondenzÆtorvybit.
e„en : PodledruhØhoKirchho ovazÆkonazÆvislostproudu I naŁase t
vyjadłujeintegrÆln rovnice
1
C
Z t
0
I( )d +RI=E:
Podosazen vztahu I(t)= dQdt dotØtorovnicedostanemerovnicipronÆboj
nakondenzÆtoru
RdQdt +1CQ=E:
Dosad mehodnotyzakonstantyadostanemelineÆrn diferenciÆln rovnici
Q0+5Q=0;06:
ObecnØłe„en tØtorovniceje Q(t)=Ke 5t+0;012:
PartikulÆrn łe„en spoŁÆteŁn podm nkouQ(0)=0jeQ(t)=0;012

1 e 5t

:
Nap t nakondenzÆtoruvŁasetserovnÆ EC(t)= 1C Q(t)=12

1 e 5t

:
Ztoho
EC(1)=12(1 e 5)=11;92:
KondenzÆtorjeb hemjednØsekundynabittØm łnamaximÆln hodnotu12V:
Pł klad2.3.6. e„telineÆrn diferenciÆln rovnice
a)y0+yx=6x b)y0+ytgx= 1cosx c)y0 +2xy=xe x2
d)xy0 yx+1=x e)(1+x2)y0 2xy=(1+x2)2 f)y0+ycosx=sinxcosx
22 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
e„en : a)y= Cx +2x2; b)y=Ccosx+sinx; c)y=e x2(x22 +C);
d)dostanete R 1y dy=R 1x(x+1)dx: Pou ijterozkladnaparciÆln zlomky.
V sledek: y= xx+1(C+x+lnjxj); e)y=(1+x2)(C+x);
f)dostanete C(x)=R esinxsinxcosxdx:Pou ijtenejdł vsubstituciapotom
perpartes.V sledek: y=Ce sinx+sinx 1:
Pł klad2.3.7.Najd tełe„en y(x)poŁÆteŁn œlohy
a)y0cosx ysinx=2x; y(0)=0 b)y0=6y 4e6xcos5x+24; y

2

= 4
c)y0 yx+1=x 1; y(0)=0 d)y0= yx 5+5x 25; y(6)=14
e„en : a)y= x2cosx; b)y= 45 45sin5x 4e 6x e6x;
c)y=(x+1)(x 2lnjx+1j); d)y=(5x 16)(x 5)=5x2 41x+80:
Pł klad2.3.8. e„tenÆsleduj c rovniceprvn hołÆdu
a) y0 ytgx= 1cos3x b) xy0+y=y2
c) y0xlnx y=3x3ln2x d) y0=x2 x2y
e„en : a) lineÆrn ,łe„en :y=tgx+Kcosx ;
b) separovatelnÆ,łe„en :y= 11 Kx a y=0;
c) lineÆrn ,łe„en :y=(x3+K)lnx;
d) lineÆrn atakØseparovatelnÆ,łe„en :y=1+K e x33 :
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 23
STUDIJN˝JEDNOTKA
DIFERENCI`LN˝ROVNICEVY''˝HO `DU
C lestudijn jednotky. NauŁ tesełe„itdiferenciÆln rovnicevy„„ hołÆduskonstant-
n mikoe cienty.Nejdł vtobudouhomogenn rovnice,kterØsebudoułe„itpomocicha-
rakteristickØrovnice.Nehomogenn rovnicebudemełe„itpouzevpł pad ,je-lifunkce
napravØstran vespeciÆln mtvaru.Budetevyu vatdiferenciÆln poŁetfunkcejednØ
prom nnØavzorecnałe„en kvadratickØrovnice.
3 DiferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu
3.1 Homogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu
Homogenn lineÆrn dif.rovnicen-tØhołÆduskonstantn mikoe cienty|rov-
nice,kterÆmÆtvar
any(n)+an 1y(n 1)+:::+a1y0+a0y=0; a0;:::;an 2 R; an 6=0:
FundamentÆln systØmłe„en homogenn dif.rovnicen-tØhołÆdu|nlineÆrn
nezÆvisl chpartikulÆrn chłe„en pł slu„nØrovnice
CharakteristickÆrovnice |rovnice,kterÆvzniknepłihledÆn partikulÆrn chłe„en
homogenn rovnicevetvarue x
Knalezen obecnØhołe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnicen-tØhołÆduskon-
stantn mikoe cientyjetłebavyłe„itpł slu„noucharakteristickourovnici
an n+an 1 n 1+:::+a1 +a0=0:
Jdeoalgebraickourovnici,kterÆmÆnkołenø.Keka dØmunalezenØmukołenusepłiład
jednopartikulÆrn łe„en ataksedostanecel fundamentÆln systØm.Napł kladurovnice
druhØhołÆduukÆ emejaktotopłiłazen provØst.
CharakteristickÆrovnicehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice2.łÆdujerovnice a2 2+
a1 +a0 =0:Tutorovnicivyłe„ me(pomoc vzorceprokvadratickourovnici).Mohou
nastattłipł pady(vzÆvislostinadiskriminantu):
24 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
1.Diskriminantjekladn ,rovnicemÆdvanavzÆjemrøznØreÆlnØkołeny 1 6= 2:
PotomfundamentÆln systØmrovniceje
y1=e 1x; y2=e 2x:
2.Diskriminantjenulov ,rovnicemÆdvojnÆsobn reÆln kołen = 1= 2: Potom
fundamentÆln systØmrovniceje
y1=e x; y2=xe x:
3.DiskriminantjezÆporn ,rovnicemÆdvakomplexn sdru enØkołeny 1;2= +i ;
kdeioznaŁujekomplexn jednotku.HledÆsereÆlnØłe„en ,aprotosezvol (vzhledem
kplatnostiEulerovyidentityei x =cos x+isin x)fundamentÆln systØm:
y1=e xcos x; y2=e xsin x:
ObecnØłe„en pakbude(vev„echtłechpł padech): y=C1y1+C2y2:
Vpł pad rovnictłet hoavy„„ hołÆdukłe„en mcharakteristickØrovnicepłiłazujeme
fundamentÆln systØmstejn mzpøsobemjakovpł pad rovnicedruhØhołÆdu.
Pł klad3.1.1.Najd teobecnØłe„en lineÆrn diferenciÆln rovnicedruhØhołÆdu
a)y00 y0 2y=0 b)4y00 4y0+y=0
c)y00+4y=0 d)y00 4y0+13y=0
e„en : a) Nap „emecharakteristickourovnici 2 2=0:Tuvyłe„ me
1;2=1
p1+8
2 =
2;
1:
Potomy1=e2x; y2=e x; azevztahuy=C1 y1+C2 y2dostanemeobecnØ
łe„en
y=C1e2x+C2e x:
b) CharakteristickÆrovniceje4 2 4 +1=0; 1;2=4
p16 16
8 =
1
2:
CharakteristickÆrovnicemÆdvojnÆsobn kołen,aproto y1=e12x; y2=xe12x:
ObecnØłe„en tØtorovniceje
y=C1e12x+C2xe12x:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 25
c) CharakteristickÆrovniceje 2+4=0 amÆkomplexn kołeny 1;2= 2i:
Potom y1=cos2x; y2=sin2x: ObecnØłe„en bude
y=C1 cos2x+C2 sin2x:
d) CharakteristickÆrovniceje 2 4 +13=0:
Dostanemezasekomplexn kołeny 1;2=4
p16 52
2 =
4 p 36
2 =2 3i:
Ztoho y1=e2xcos3x; y2=e2xsin3x aobecnØłe„en je
y=C1e2xcos3x+C2e2xsin3x:
Pł klad3.1.2.Najd tełe„en Cauchyhoœlohy
a)y00 4y0=0; y(0)=3; y0(0)=8 b)y00 2y0+2y=0; y(0)=0; y0(0)=2
e„en : a) CharakteristickÆrovnice 2 4 =0mÆreÆlnØkołeny
1=0 a 2=4: Potom y1=e0x =1; y2=e4x a y=C1 +C2e4x:
SpoŁ tÆme y0=4C2e4x adosad mepoŁÆteŁn podm nky
3=y(0)=C1+C2; 8=y0(0)=4C2: e„en mtØtosoustavyrovnicje
C1=1; C2=2: ZtohopartikulÆrn łe„en bude y=1+2e4x:
b) CharakteristickÆrovnice 2 2 +2=0 mÆkomplexn kołeny 1;2=1 i:
Potom y1=excosx; y2=exsinx a y=C1excosx+C2exsinx:
Ztoho y0=C1excosx C1exsinx+C2exsinx+C2excosx:
Podosazen podm nekdostanemesoustavu C1=0; C1+C2=2:
Pak C1=0; C2=2 ahledanØłe„en bude y=2exsinx:
Pł klad3.1.3.Najd teobecnØłe„en rovnicdruhØhołÆdu
a)y00 5y0+6y=0 b)y00 4y0+4y=0 c)y00 y=0
d)y00 4y0+5y=0 e)y00+2y0+10y=0 f)y00+2y=0
e„en : a)y=C1e2x+C2e3x; b) y=C1e2x+C2xe2x;
c) y=C1ex+C2e x; d)y=C1e2xcosx+C2e2xsinx;
e) y=C1e xcos3x+C2e xsin3x; f) y=C1 cosp2x+C2 sinp2x:
Pł klad3.1.4.Najd tełe„en Cauchyhoœlohy
a)y00 4y0+3y=0; y(0)=6; y0(0)=10 b)4y00+y=0; y(0)=1; y0(0)=1
c)y00 6y0+13y=0; y(0)=2; y0(0)=6
e„en : a) y=4ex+2e3x; b) y=cosx2+2sinx2; c)y=2e3xcos2x:
26 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
3.2 Nehomogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu
ObecnØłe„en nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnicen-tØhołÆdu
any(n)+an 1y(n 1)+:::+a1y0+a0y=f(x)
jesouŁtemobecnØhołe„en homogenn rovnice(budemehoznaŁityh)ajednohopartiku-
lÆrn hołe„en nehomogenn rovnice(budemehoznaŁitY),
y=yh+Y:
Metoda,pomoc kterØsedÆurŁitjednopartikulÆrn łe„en Y vpł pad speciÆln pravØ
strany,senaz vÆmetodaneurŁit chkoe cientø.TvarpartikulÆrn hołe„en seod-
hadneztvarupravØstranydiferenciÆln rovnice:
PravÆstranaf(x) PartikulÆrn łe„en Y
f(x)=e xPn(x) Y =e xxkQn(x)
kdePn(x)jepolynom jek-nÆsobn kołenchar.rovnice
n-tØhostupn Qn(x)jeobecn polynomn-tØhostupn
f(x)=e x(Mcos x+Nsin x) Y =e xxk(Acos x+Bsin x)
+i jek-nÆsobn kołenchar.rovnice
A;BjsoureÆlnÆŁ sla
PoznÆmka.Vpł pad , e (resp. +i )nen kołencharakteristickØrovnice,k=0:
Principsuperpozice. Jestli efunkcenapravØstran jesouŁtemspeciÆln chprav ch
stran
f(x)=f1(x)+:::+fm(x);
potomipartikulÆrn łe„en nehomogenn rovnicebudesouŁtempartikulÆrn chłe„en pro
jednotlivØspeciÆln pravØstrany,
Y =Y1+:::+Ym:
Pł klad3.2.1.Najd teobecnØłe„en lineÆrn diferenciÆln rovnicedruhØhołÆdusespe-
ciÆln pravoustranou
a)y00 4y=10e3x b)y00+4y=8x2 32x+4
c)y00+2y0 3y=(4x 3)ex d)3y00 2y0=10cos2x
e„en : a) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00 4y=0: MÆme 2 4=0:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 27
KołenycharakteristickØrovnicejsou 1;2= 2 a yh =C1e2x+C2e 2x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=10e3x =e3x P0(x):
Zde =3nen kołencharakteristickØrovnice(3 6= 2),aproto k =0:
Obecn polynomnultØhostupn jekonstanta,oznaŁ mejiA:Potompartiku-
lÆrn łe„en budem ttvar
Y =e3x x0A =Ae3x
amus spl ovatrovnici Y00 4Y =