Sbírka úloh

jevetvaru(LR)avyłe„ mejimetodouvariacekonstanty.
y0+yx=0; y0= yx;
Z 1
y dy=
Z 1
xdx; lnjyj= lnjxj+c; y=
C
x:
Variacekonstanty: y=C(x)x ; y0=C
0(x) x C(x)
x2 :
Podosazen : C
0(x)
x =
ex
x; C
0(x)=ex; C(x)=ex+K: Pak y=e
x+K
x :
Pł klad 1.3.4. JedÆnelektrick RLobvodsc vkouosamoindukŁnosti L; ohmick m
odporemRanap t mE:DleKirchho ovazÆkonazÆvislostprouduI naŁasetvyjadłuje
diferenciÆln rovnice
LdIdt+IR=E:
Najd tevzorecprołe„en I(t); jestli ev te, enapoŁÆtkubylproudnulov .
e„en : Rovniciuprav menatvar dIdt+RL I=EL ałe„ mejako(LR):
dI
dt+
R
L I=0;
dI
dt =
IR
L ;
1
I dI=
R
L dt;
Z 1
I dI=
Z R
L dt:
e„en homogenn rovnicebude lnjIj= RLt+c ) I=C e RL t:
10 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Variacekonstanty: I=C(t)e RL t; I0=C0(t)e RL t C(t)RL e RL t:
Podosazen C0(t)e RL t =EL; C0(t)=ELeRL t; C(t)=EReRL t+K:
ObecnØłe„en jetedy I=
E
Re
R
L t+K

e RL t =K e RL t+ER:
ZpoŁÆteŁn podm nkyI(0)=0dostaneme, eK= ER:
Hledan vzorecproproudvelektrickØmRLobvoduje I=ER

1 e RL t

:
Pł klad1.3.5. e„telineÆrn diferenciÆln rovnice
a)y0+yx=6x b)y0+ytgx= 1cosx c)y0 +2xy=xe x2
d)xy0 yx+1=x e)(1+x2)y0 2xy=(1+x2)2 f)y0+ycosx=sinxcosx
e„en : a)y= Cx +2x2; b)y=Ccosx+sinx; c)y=e x2(x22 +C);
d)dostanete R 1y dy=R 1x(x+1)dx: Pou ijterozkladnaparciÆln zlomky.
V sledek: y= xx+1(C+x+lnjxj); e)y=(1+x2)(C+x);
f)dostanete C(x)=R esinxsinxcosxdx:Pou ijtenejdł vsubstituciapotom
perpartes.V sledek: y=Ce sinx+sinx 1:
Pł klad1.3.6.Najd tełe„en y(x)poŁÆteŁn œlohy
a)y0cosx ysinx=2x; y(0)=0 b)y0=6y 4e6xcos5x+24; y

2

= 4
c)y0 yx+1=x 1; y(0)=0 d)y0= yx 5+5x 25; y(6)=14
e„en : a)y= x2cosx; b)y= 45 45sin5x 4e 6x e6x;
c)y=(x+1)(x 2lnjx+1j); d)y=(5x 16)(x 5)=5x2 41x+80:
Pł klad1.3.7. e„tenÆsleduj c rovniceprvn hołÆdu
a) y0 ytgx= 1cos3x b) xy0+y=y2
c) y0xlnx y=3x3ln2x d) y0=x2 x2y
e„en : a) lineÆrn ,łe„en :y=tgx+Kcosx ;
b) separovatelnÆ,łe„en :y= 11 Kx a y=0;
c) lineÆrn ,łe„en :y=(x3+K)lnx;
d) lineÆrn atakØseparovatelnÆ,łe„en :y=1+K e x33 :
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 11
STUDIJN˝JEDNOTKA
DIFERENCI`LN˝ROVNICEVY''˝HO `DU
C lestudijn jednotky. NauŁ tesełe„itdiferenciÆln rovnicevy„„ hołÆduskonstant-
n mikoe cienty.Nejdł vtobudouhomogenn rovnice,kterØsebudoułe„itpomocicha-
rakteristickØrovnice.Nehomogenn rovnicebudemełe„itpouzevpł pad ,je-lifunkce
napravØstran vespeciÆln mtvaru.Budetevyu vatdiferenciÆln poŁetfunkcejednØ
prom nnØavzorecnałe„en kvadratickØrovnice.
2 DiferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu
2.1 Homogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu
Homogenn lineÆrn dif.rovnicen-tØhołÆduskonstantn mikoe cienty|rov-
nice,kterÆmÆtvar
any(n)+an 1y(n 1)+:::+a1y0+a0y=0; a0;:::;an 2 R; an 6=0:
FundamentÆln systØmłe„en homogenn dif.rovnicen-tØhołÆdu|nlineÆrn
nezÆvisl chpartikulÆrn chłe„en pł slu„nØrovnice
CharakteristickÆrovnice |rovnice,kterÆvzniknepłihledÆn partikulÆrn chłe„en
homogenn rovnicevetvarue x
Knalezen obecnØhołe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnicen-tØhołÆduskon-
stantn mikoe cientyjetłebavyłe„itpł slu„noucharakteristickourovnici
an n+an 1 n 1+:::+a1 +a0=0:
Jdeoalgebraickourovnici,kterÆmÆnkołenø.Keka dØmunalezenØmukołenusepłiład
jednopartikulÆrn łe„en ataksedostanecel fundamentÆln systØm.Napł kladurovnice
druhØhołÆduukÆ emejaktotopłiłazen provØst.
CharakteristickÆrovnicehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice2.łÆdujerovnice a2 2+
a1 +a0 =0:Tutorovnicivyłe„ me(pomoc vzorceprokvadratickourovnici).Mohou
nastattłipł pady(vzÆvislostinadiskriminantu):
12 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
1.Diskriminantjekladn ,rovnicemÆdvanavzÆjemrøznØreÆlnØkołeny 1 6= 2:
PotomfundamentÆln systØmrovniceje
y1=e 1x; y2=e 2x:
2.Diskriminantjenulov ,rovnicemÆdvojnÆsobn reÆln kołen = 1= 2: Potom
fundamentÆln systØmrovniceje
y1=e x; y2=xe x:
3.DiskriminantjezÆporn ,rovnicemÆdvakomplexn sdru enØkołeny 1;2= +i ;
kdeioznaŁujekomplexn jednotku.HledÆsereÆlnØłe„en ,aprotosezvol (vzhledem
kplatnostiEulerovyidentityei x =cos x+isin x)fundamentÆln systØm:
y1=e xcos x; y2=e xsin x:
ObecnØłe„en pakbude(vev„echtłechpł padech): y=C1y1+C2y2:
Vpł pad rovnictłet hoavy„„ hołÆdukłe„en mcharakteristickØrovnicepłiłazujeme
fundamentÆln systØmstejn mzpøsobemjakovpł pad rovnicedruhØhołÆdu.
Pł klad2.1.1.Najd teobecnØłe„en lineÆrn diferenciÆln rovnicedruhØhołÆdu
a)y00 y0 2y=0 b)4y00 4y0+y=0
c)y00+4y=0 d)y00 4y0+13y=0
e„en : a) Nap „emecharakteristickourovnici 2 2=0:Tuvyłe„ me
1;2=1
p1+8
2 =
2;
1:
Potomy1=e2x; y2=e x; azevztahuy=C1 y1+C2 y2dostanemeobecnØ
łe„en
y=C1e2x+C2e x:
b) CharakteristickÆrovniceje4 2 4 +1=0; 1;2=4
p16 16
8 =
1
2:
CharakteristickÆrovnicemÆdvojnÆsobn kołen,aproto y1=e12x; y2=xe12x:
ObecnØłe„en tØtorovniceje
y=C1e12x+C2xe12x:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 13
c) CharakteristickÆrovniceje 2+4=0 amÆkomplexn kołeny 1;2= 2i:
Potom y1=cos2x; y2=sin2x: ObecnØłe„en bude
y=C1 cos2x+C2 sin2x:
d) CharakteristickÆrovniceje 2 4 +13=0:
Dostanemezasekomplexn kołeny 1;2=4
p16 52
2 =
4 p 36
2 =2 3i:
Ztoho y1=e2xcos3x; y2=e2xsin3x aobecnØłe„en je
y=C1e2xcos3x+C2e2xsin3x:
Pł klad2.1.2.Najd tełe„en Cauchyhoœlohy
a)y00 4y0=0; y(0)=3; y0(0)=8 b)y00 2y0+2y=0; y(0)=0; y0(0)=2
e„en : a) CharakteristickÆrovnice 2 4 =0mÆreÆlnØkołeny
1=0 a 2=4: Potom y1=e0x =1; y2=e4x a y=C1 +C2e4x:
SpoŁ tÆme y0=4C2e4x adosad mepoŁÆteŁn podm nky
3=y(0)=C1+C2; 8=y0(0)=4C2: e„en mtØtosoustavyrovnicje
C1=1; C2=2: ZtohopartikulÆrn łe„en bude y=1+2e4x:
b) CharakteristickÆrovnice 2 2 +2=0 mÆkomplexn kołeny 1;2=1 i:
Potom y1=excosx; y2=exsinx a y=C1excosx+C2exsinx:
Ztoho y0=C1excosx C1exsinx+C2exsinx+C2excosx:
Podosazen podm nekdostanemesoustavu C1=0; C1+C2=2:
Pak C1=0; C2=2 ahledanØłe„en bude y=2exsinx:
Pł klad2.1.3.Najd teobecnØłe„en rovnicdruhØhołÆdu
a)y00 5y0+6y=0 b)y00 4y0+4y=0 c)y00 y=0
d)y00 4y0+5y=0 e)y00+2y0+10y=0 f)y00+2y=0
e„en : a)y=C1e2x+C2e3x; b) y=C1e2x+C2xe2x;
c) y=C1ex+C2e x; d)y=C1e2xcosx+C2e2xsinx;
e) y=C1e xcos3x+C2e xsin3x; f) y=C1 cosp2x+C2 sinp2x:
Pł klad2.1.4.Najd tełe„en Cauchyhoœlohy
a)y00 4y0+3y=0; y(0)=6; y0(0)=10 b)4y00+y=0; y(0)=1; y0(0)=1
c)y00 6y0+13y=0; y(0)=2; y0(0)=6
e„en : a) y=4ex+2e3x; b) y=cosx2+2sinx2; c)y=2e3xcos2x:
14 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
2.2 Nehomogenn diferenciÆln rovnicevy„„ hołÆdu
ObecnØłe„en nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnicen-tØhołÆdu
any(n)+an 1y(n 1)+:::+a1y0+a0y=f(x)
jesouŁtemobecnØhołe„en homogenn rovnice(budemehoznaŁityh)ajednohopartiku-
lÆrn hołe„en nehomogenn rovnice(budemehoznaŁitY),
y=yh+Y:
Metoda,pomoc kterØsedÆurŁitjednopartikulÆrn łe„en Y vpł pad speciÆln pravØ
strany,senaz vÆmetodaneurŁit chkoe cientø.TvarpartikulÆrn hołe„en seod-
hadneztvarupravØstranydiferenciÆln rovnice:
PravÆstranaf(x) PartikulÆrn łe„en Y
f(x)=e xPn(x) Y =e xxkQn(x)
kdePn(x)jepolynom jek-nÆsobn kołenchar.rovnice
n-tØhostupn Qn(x)jeobecn polynomn-tØhostupn
f(x)=e x(Mcos x+Nsin x) Y =e xxk(Acos x+Bsin x)
+i jek-nÆsobn kołenchar.rovnice
A;BjsoureÆlnÆŁ sla
PoznÆmka.Vpł pad , e (resp. +i )nen kołencharakteristickØrovnice,k=0:
Principsuperpozice. Jestli efunkcenapravØstran jesouŁtemspeciÆln chprav ch
stran
f(x)=f1(x)+:::+fm(x);
potomipartikulÆrn łe„en nehomogenn rovnicebudesouŁtempartikulÆrn chłe„en pro
jednotlivØspeciÆln pravØstrany,
Y =Y1+:::+Ym:
Pł klad2.2.1.Najd teobecnØłe„en lineÆrn diferenciÆln rovnicedruhØhołÆdusespe-
ciÆln pravoustranou
a)y00 4y=10e3x b)y00+4y=8x2 32x+4
c)y00+2y0 3y=(4x 3)ex d)3y00 2y0=10cos2x
e„en : a) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00 4y=0: MÆme 2 4=0:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 15
KołenycharakteristickØrovnicejsou 1;2= 2 a yh =C1e2x+C2e 2x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=10e3x =e3x P0(x):
Zde =3nen kołencharakteristickØrovnice(3 6= 2),aproto k =0:
Obecn polynomnultØhostupn jekonstanta,oznaŁ mejiA:Potompartiku-
lÆrn łe„en budem ttvar
Y =e3x x0A =Ae3x
amus spl ovatrovnici Y00 4Y =10e3x: Mus meY dvakrÆtderivovata
dosaditdorovnice: Y =Ae3x; Y0=3Ae3x; Y00=9Ae3x: Podosazen
9Ae3x 4Ae3x =10e3x:
Rovnicinejdł vvyd l mee3x adostaneme 9A 4A=10; 5A=10; A=2:
MÆmejednopartikulÆrn łe„en Y = 2 e3x aobecnØłe„en nehomogenn
rovniceje
y=yh+Y =C1e2x+C2e 2x+2e3x:
b) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00+4y=0:CharakteristickÆrovniceje
2+4=0 ajej kołenyjsou 1;2= 2i a yh =C1 cos2x+C2 sin2x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=8x2 32x+4=e0x (8x2 32x+4)=e0x P2(x):
Zde =0nen kołencharakteristickØrovnice(0 6= 2i),aproto k =0:
Obecn polynomdruhØhostupn jeAx2+Bx+C:PotompartikulÆrn łe„en
budem ttvar
Y =e0x x0(Ax2+Bx+C)=Ax2+Bx+C
amus spl ovatrovnici Y00+4Y =8x2 32x+4:Mus meY dvakrÆtderivovat
Y =Ax2+Bx+C; Y0=2Ax+B; Y00=2A; apodosazen
2A+4Ax2+4Bx+4C=8x2 32x+4:
NaoboustranÆchrovnicejsoupolynomydruhØhostupn .Abyplatilarovnost
mus serovnatkoe cientyujednotliv chmocnin(odtudpochÆz takØnÆzev
metodaneurŁit chkoe cientø).
x2: 4A=8
x1: 4B= 32
x0: 2A+4C=4
16 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Dostalijsmesoustavurovnic.Povyłe„en mÆme A=2; B= 8; C=0:
Z skalijsmejednopartikulÆrn łe„en nehomogenn rovnice Y =2x2 8x:
PotomobecnØłe„en nehomogenn rovnicebude
y=yh+Y =C1 cos2x+C2 sin2x+2x2 8x:
c) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00+2y0 3y=0:CharakteristickÆrovnice
je 2+2 3=0 ajej kołenyjsou 1=1; 2= 3 a yh =C1ex+C2e 3x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=(4x 3)ex =ex P1(x):
Zde =1jejednonÆsobn kołencharakteristickØrovnice,aproto k =1:
Obecn polynomprvn hostupn jeAx+B;apartikulÆrn łe„en budem t
tvar
Y =ex x1(Ax+B)=ex(Ax2+Bx)
amus spl ovatrovnici Y00+2Y0 3Y =(4x 3)ex:
Mus meY dvakrÆtderivovat(jakosouŁin):Y =ex(Ax2+Bx);
Y0=ex(Ax2+Bx)+ex(2Ax+B)=ex(Ax2+Bx+2Ax+B);
Y00=ex(Ax2+Bx+2Ax+B)+ex(2Ax+B+2A)=
=ex(Ax2+Bx+2Ax+B+2Ax+B+2A)=ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A);
apodosazen
ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A)+2ex(Ax2+Bx+2Ax+B) 3ex(Ax2+Bx)=
=(4x 3)ex:
Rovnicinejdł vvyd l meex adostaneme
Ax2+Bx+4Ax+2B+2A+2Ax2+2Bx+4Ax+2B 3Ax2 3Bx=4x 3:
PorovnÆmekoe cientyujednotliv chmocnin.
x2: A+2A 3A=0
x1: B+4A+2B+4A 3B=4
x0: 2B+2A+2B= 3
Dostalijsmesoustavu 8A=4; 2A+4B= 3: Potom A=12; B= 1:
PartikulÆrn łe„en je Y =ex
x2
2 x

: PotomobecnØłe„en bude
y=yh+Y =C1ex+C2e 3x+ex
x2
2 x

:
MATEMATIKA2{Sb rkaœloh 17
d) Vyłe„ mehomogenn rovnici 3y00 2y0=0:CharakteristickÆrovniceje
3 2 2 =0 ajej kołenyjsou 1=0; 2=23 a yh =C1 +C2e23x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=10cos2x=e0x (10cos2x+0sin2x):
Zde +i =0+2i nen kołencharakteristickØrovnice,aproto k =0:
PartikulÆrn łe„en budem ttvar
Y =e0x x0(Acos2x+Bsin2x)=Acos2x+Bsin2x
amus spl ovatrovnici 3Y00 2Y0=10cos2x:Mus meY dvakrÆtderivovat:
Y0= 2Asin2x+2Bcos2x; Y00= 4Acos2x 4Bsin2x: Dosad me
3( 4Acos2x 4Bsin2x) 2( 2Asin2x+2Bcos2x)=10cos2x;
12Acos2x 12Bsin2x+4Asin2x 4Bcos2x=10cos2x:
Abyrovniceplatila,mus serovnatkoe cientypłi cos2x a sin2x naobou
stranÆch:
cos2x: 12A 4B=10
sin2x: 12B+4A=0
Zasejsmedostalisoustavurovnic: 12A 4B=10; A 3B=0:
Odtud A= 34; B= 14: PartikulÆrn łe„en je Y = 34cos2x 14sin2x;
ObecnØłe„en nehomogenn rovnicebude
y=yh+Y =C1+C2e23x 34cos2x 14sin2x:
Pł klad2.2.2.Najd tepartikulÆrn łe„en lineÆrn diferenciÆln rovnicedruhØhołÆduse
speciÆln pravoustranou
a)y00+2y0+y=2x 1; y(0)=3; y0(0)= 4
b)y00+y=8sinx; y(0)=1; y0(0)= 3
e„en : a) Vyłe„ mehomogenn rovniciy00+2y0+1=0:MÆme 2+2 +1=0:
KołenycharakteristickØrovnicejsou 1= 2= 1a yh =C1e x+C2xe x:
PravÆstranajetvaru
f(x)=2x 1=e0x (2x 1)=e0x P1(x):
Zde =0nen kołencharakteristickØrovnice,aprotok=0:Potom
18 FakultaelektrotechnikyakomunikaŁn chtechnologi VUTvBrn
Y =e0x x0(Ax+B) =Ax+B; Y0=A; Y00=0 apodosazen
0+2A+Ax+B=2x 1:
PorovnÆmekoe cienty: x1: A=2
x0: 2A+B= 1
adostaneme A=2a B= 5: Potom Y =2x 5 aobecnØłe„en
y=yh+Y =C1e x+C2xe x+2x 5:
SpoŁ tÆmeje„t y0;abychommohlidosaditpoŁÆteŁn podm nky,
y0= C1e x+C2e x C2xe x+2:
Ztoho3=y(0)=C1 5; 4=y0(0)= C1+C2+2: Pak C1=8; C2=2:
HledanØpartikulÆrn łe„en budey=8e x+2xe x+2x 5:
b) Vyłe„ mehomogenn rovnici y00+y=0: MÆme 2+1=0:
KołenycharakteristickØrovnicejsou 1;2= i a yh =C1 cosx+C2 sinx:
PravÆstranajetvaru
f(x)=8sinx=e0x (0cosx+8sinx):
Zde +i =0+ijekołencharakteristickØrovnice,aprotok=1 a
Y =e0x x1(Acosx+Bsinx)=x(