res_mdre07

A
1. Teoretick´a ot´azka – viz skripta
2. Je d´ana Bernoulliho rovnice
yprime = −y + xexy2.
Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto rovnice a ˇreˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 1.
ˇReˇsen´ı:
yprime = −y ⇒ y0 = ce−x
ˇReˇsen´ı hled´ame jako y = C(x)e−x, derivace t´eto funkce je yprime = Cprimee−x + Ce−x(−1).
Po dosazen´ı do rovnice:
Cprimee−x −Ce−x = −Ce−x + xexC2e−2x ⇒ Cprimee−x = C2xe−x ⇒ Cprime = C2x
dC
dx = C
2x ⇒
integraldisplay
C−2dC =
integraldisplay
xdx ⇒ −1C = x
2
2 + K ⇒ C = −
1
x2
2 + K
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = − 1x2
2 +K
·e−x, nav´ıc m´ame singul´arn´ı ˇreˇsen´ı y = 0.
y(0) = 1 ⇒ − 102
2 + K
·e−0 = 1 ⇒ − 1K = 1 ⇒ K = −1.
ˇReˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 1 je y = − 1
x2
2 −1
·e−x (lze d´ale upravit, napˇr. na y = −2e−xx2−2).
3. Pomoc´ı integraˇcn´ıho faktoru najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
y(x2y + 2)dx + 2x(x2y −1)dy = 0.
ˇReˇsen´ı:
Mprimey = (x2y2 + 2y)primey = 2x2y + 2, Nprimex = (2x3y −2x)primex = 6x2y −2, M
prime
y −N
prime
x
N =
−4x2y + 4
2x(x2y −1) = −
2
x.
Integraˇcn´ı faktor je
e
integraltext −2
x dx = e−2lnx = elnx
−2 = x−2 = 1
x2.
Po vyn´asoben´ı t´ımto faktorem:
parenleftbigg
y2 + 2yx2
parenrightbigg
dx +
parenleftbigg
2xy − 2x
parenrightbigg
dy = 0
Hled´an´ı kmenov´e funkce:
fprimex = y2 + 2yx2 ⇒ f(x,y) = xy2 − 2yx + g(y)
parenleftbigg
xy2 − 2yx + g(y)
parenrightbiggprime
y
= 2xy − 2x + gprime(y)
2xy − 2x + gprime(y) = 2xy − 2x ⇒ g(y) = 0 ⇒ f(x,y) = xy2 − 2yx .
Obecn´e ˇreˇsen´ı je xy2 − 2yx = c.
4. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
yprimeprimeprime + 3yprimeprime −4y = 4x2.
ˇReˇsen´ı:
λ3 + 3λ2 −4 = 0.
Lze uhodnout, ˇze jeden koˇren je λ = 1. Dosad´ıme pomoc´ı Hornerova sch´ematu:
1 3 0 -4
1 1 4 4 0
λ3 + 3λ2 −4 = (λ−1)(λ2 + 4λ + 4) = (λ−1)(λ + 2)2 ⇒ λ1 = 1,λ2,3 = −2
y0 = c1ex + c2e−2x + c3xe−2x
ˇReˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice hled´ame jako Y = Ax2 + Bx + C.
Y prime = 2Ax + B, Y primeprime = 2A, Y primeprimeprime = 0.
Po dosezen´ı do rovnice:
0 + 6A−4Ax2 −4Bx−4C = 4x2 ⇒ −4A = 4, −4B = 0, 6A−4C = 0 ⇒
A = −1, B = 0, C = −32, Y = −x2 − 32
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = c1ex + c2e−2x + c3xe−2x −x2 − 32
B
1. Teoretick´a ot´azka – viz skripta
2. Je d´ana Bernoulliho rovnice
yprime = 2y + x2e−2xy2.
Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto rovnice a ˇreˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 3.
ˇReˇsen´ı:
yprime = 2y ⇒ y0 = ce2x
ˇReˇsen´ı hled´ame jako y = C(x)e2x, derivace t´eto funkce je yprime = Cprimee2x + Ce2x ·2.
Po dosazen´ı do rovnice:
Cprimee2x + 2Ce2x = 2Ce2x + x2e−2xC2e4x ⇒ Cprimee2x = C2x2e2x ⇒ Cprime = C2x2
dC
dx = C
2x2 ⇒
integraldisplay
C−2dC =
integraldisplay
x2 dx ⇒ −1C = x
3
3 + K ⇒ C = −
1
x3
3 + K
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = − 1x3
3 +K
·e2x, nav´ıc m´ame singul´arn´ı ˇreˇsen´ı y = 0.
y(0) = 3 ⇒ − 103
3 + K
·e2·0 = 3 ⇒ − 1K = 3 ⇒ K = −13.
ˇReˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 3 je y = − 1
x3
3 −
1
3
·e2x (lze d´ale upravit, napˇr. na y = − 3e