res_mdre07

2xx3−1).
3. Pomoc´ı integraˇcn´ıho faktoru najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
y(3x2y3 + 1)dx + x(x2y3 −2)dy = 0.
ˇReˇsen´ı:
Mprimey = (3x2y4+y)primey = 12x2y3+1, Nprimex = (x3y3−2x)primex = 3x2y3−2, N
prime
x −M
prime
y
M =
−9x2y3 −3
y(3x2y3 + 1) = −
3
y.
Integraˇcn´ı faktor je
e
integraltext −2
y dy = e−3lny = elny−3 = y−3 =
1
y3.
Po vyn´asoben´ı t´ımto faktorem:
parenleftbigg
3x2y + 1y2
parenrightbigg
dx +
parenleftbigg
x3 − 2xy3
parenrightbigg
dy = 0
Hled´an´ı kmenov´e funkce:
fprimex = 3x2y + 1y2 ⇒ f(x,y) = x3y + xy2 + g(y)
parenleftbigg
x3y + xy2 + g(y)
parenrightbiggprime
y
= x3 − 2xy3 + gprime(y)
x3 − 2xy3 + gprime(y) = x3 − 2xy3 ⇒ g(y) = 0 ⇒ f(x,y) = x3y + xy2.
Obecn´e ˇreˇsen´ı je x3y + xy2 = c.
4. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
yprimeprimeprime + yprimeprime + 4yprime + 4y = 60e2x.
ˇReˇsen´ı:
λ3 + λ2 + 4λ + 4 = 0.
Lze uhodnout, ˇze jeden koˇren je λ = −1. Dosad´ıme pomoc´ı Hornerova sch´ematu:
1 1 4 4
-1 1 0 4 0
λ3 + λ2 + 4λ + 4 = (λ + 1)(λ2 + 4) ⇒ λ1 = −1,λ2,3 = ±2j
(Rozklad ˇslo z´ıskat i jinak, napˇr. λ3 + λ2 + 4λ + 4 = λ2(λ + 1) + 4(λ + 1) = (λ2 + 4)(λ + 1).)
y0 = c1e−x + c2 cos2x + c3 sin2x
ˇReˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice hled´ame jako Y = Ae2x.
Y prime = 2Ae2x, Y primeprime = 4Ae2x, Y primeprimeprime = 8Ae2x.
Po dosezen´ı do rovnice:
8Ae2x + 4Ae2x + 8Ae2x + 4Ae2x = 60e2x ⇒ 24A = 60 ⇒ A = 52, Y = 52 e2x
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = c1e−x + c2 cos2x + c3 sin2x + 52 e2x
C
1. Teoretick´a ot´azka – viz skripta
2. Je d´ana Bernoulliho rovnice
yprime = 2y + x2y2e−2x.
Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto rovnice a ˇreˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 6.
ˇReˇsen´ı:
yprime = 2y ⇒ y0 = ce2x
ˇReˇsen´ı hled´ame jako y = C(x)e2x, derivace t´eto funkce je yprime = Cprimee2x + Ce2x ·2.
Po dosazen´ı do rovnice:
Cprimee2x + 2Ce2x = 2Ce2x + x2e−2xC2e4x ⇒ Cprimee2x = C2x2e2x ⇒ Cprime = C2x2
dC
dx = C
2x2 ⇒
integraldisplay
C−2dC =
integraldisplay
x2 dx ⇒ −1C = x
3
3 + K ⇒ C = −
1
x3
3 + K
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = − 1x3
3 +K
·e2x, nav´ıc m´ame singul´arn´ı ˇreˇsen´ı y = 0.
y(0) = 6 ⇒ − 103
3 + K
·e2·0 = 6 ⇒ − 1K = 6 ⇒ K = −16.
ˇReˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 3 je y = − 1
x3
3 −
1
6
·e2x (lze d´ale upravit, napˇr. na y = − 6e2x2x3−1).
3. Pomoc´ı integraˇcn´ıho faktoru najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
y(x3y2 −2)dx + x(3x3y2 + 1)dy = 0.
ˇReˇsen´ı:
Mprimey = (x3y3−2y)primey = 3x3y2−2, Nprimex = (3x4y2+x)primex = 12x3y2+1, M
prime
y −N
prime
x
N =
−9x3y2 −3
x(3x3y2 + 1) = −
3
x.
Integraˇcn´ı faktor je
e
integraltext −2
x dx = e−3lnx = elnx
−3 = x−3 = 1
x3.
Po vyn´asoben´ı t´ımto faktorem:
parenleftbigg
y3 − 2yx3
parenrightbigg
dx +
parenleftbigg
3xy2 + 1x2
parenrightbigg
dy = 0
Hled´an´ı kmenov´e funkce:
fprimex = y3 − 2yx3 ⇒ f(x,y) = xy3 + yx2 + g(y)
parenleftBig
xy3 + yx2 + g(y)
parenrightBigprime
y
= 3xy2 + 1x2 + gprime(y)
3xy2 + 1x2 + gprime(y) = 3xy2 + 1x2