res_mdre07

⇒ g(y) = 0 ⇒ f(x,y) = xy3 + yx2.
Obecn´e ˇreˇsen´ı je xy3 + yx2 = c.
4. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
yprimeprimeprime −yprimeprime + 9yprime −9y = 18x2.
ˇReˇsen´ı:
λ3 −λ2 + 9λ−9 = 0.
Lze uhodnout, ˇze jeden koˇren je λ = 1. Dosad´ıme pomoc´ı Hornerova sch´ematu:
1 -1 9 -9
1 1 0 9 0
λ3 −λ2 + 9λ−9 = (λ−1)(λ2 + 9) ⇒ λ1 = 1,λ2,3 = ±3j
(Rozklad ˇslo z´ıskat i jinak, napˇr. λ3 −λ2 + 9λ−9 = λ2(λ−1) + 9(λ−1) = (λ2 + 9)(λ−1).)
y0 = c1ex + c2 cos3x + c3 sin3x
ˇReˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice hled´ame jako Y = Ax2 + Bx + C.
Y prime = 2Ax + B, Y primeprime = 2A, Y primeprimeprime = 0.
Po dosezen´ı do rovnice:
0−2A + 18Ax + 9B −9Ax2 −9Bx−9C = 18x2
−9A = 18, 18A−9B = 0, −2A + 9B −9C = 0 ⇒
A = −2, B = −4, C = −329 , Y = −2x2 −4x− 329
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = c1ex + c2 cos3x + c3 sin3x−2x2 −4x− 329
D
1. Teoretick´a ot´azka – viz skripta
2. Je d´ana Bernoulliho rovnice
yprime = −y + xy2ex.
Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı t´eto rovnice a ˇreˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 2.
ˇReˇsen´ı:
yprime = −y ⇒ y0 = ce−x
ˇReˇsen´ı hled´ame jako y = C(x)e−x, derivace t´eto funkce je yprime = Cprimee−x + Ce−x(−1).
Po dosazen´ı do rovnice:
Cprimee−x −Ce−x = −Ce−x + xC2e−2xex ⇒ Cprimee−x = xC2e−x ⇒ Cprime = xC2
dC
dx = xC
2 ⇒
integraldisplay
C−2dC =
integraldisplay
xdx ⇒ −1C = x
2
2 + K ⇒ C = −
1
x2
2 + K
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = − 1x2
2 +K
·e−x, nav´ıc m´ame singul´arn´ı ˇreˇsen´ı y = 0.
y(0) = 2 ⇒ − 102
2 + K
·e−0 = 2 ⇒ − 1K = 2 ⇒ K = −12.
ˇReˇsen´ı vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(0) = 1 je y = − 1
x2
2 −
1
2
·e−x (lze d´ale upravit, napˇr. na y = −2e−xx2−1).
3. Pomoc´ı integraˇcn´ıho faktoru najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
2y(xy2 −1)dx + x(xy2 + 2)dy = 0.
ˇReˇsen´ı:
Mprimey = (2xy3 −2y)primey = 6xy2 −2, Nprimex = (x2y2 + 2x)primex = 2xy2 + 2, N
prime
x −M
prime
y
M =
−4xy2 + 4
2y(xy2 −1) = −
2
y.
Integraˇcn´ı faktor je
e
integraltext −2
y dy = e−2lny = elny−2 = y−2 =
1
y2.
Po vyn´asoben´ı t´ımto faktorem:
parenleftbigg
2xy − 2y
parenrightbigg
dx +
parenleftbigg
x2 + 2xy2
parenrightbigg
dy = 0
Hled´an´ı kmenov´e funkce:
fprimex = 2xy − 2y ⇒ f(x,y) = x2y − 2xy + g(y)
parenleftbigg
x2y − 2xy + g(y)
parenrightbiggprime
y
= x2 + 2xy2 + gprime(y)
x2 + 2xy2 + gprime(y) = x2 + 2xy2 ⇒ g(y) = 0 ⇒ f(x,y) = x2y − 2xy .
Obecn´e ˇreˇsen´ı je x2y − 2xy = c.
4. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice
yprimeprimeprime −3yprimeprime + 4y = 12e3x.
ˇReˇsen´ı:
λ3 −3λ2 + 4 = 0.
Lze uhodnout, ˇze jeden koˇren je λ = −1. Dosad´ıme pomoc´ı Hornerova sch´ematu:
1 -3 0 4
-1 1 -4 4 0
λ3 −3λ2 + 4 = (λ + 1)(λ2 −4λ + 4) = (λ + 1)(λ−2)2 ⇒ λ1 = −1,λ2,3 = 2
y0 = c1e−x + c2e2x + c3xe2x
ˇReˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice hled´ame jako Y = Ae3x.
Y prime = 3Ae3x, Y primeprime = 9Ae3x, Y primeprimeprime = 27Ae3x.
Po dosezen´ı do rovnice:
27Ae3x −27Ae3x + 4Ae3x = 12e3x ⇒ 4A = 12 ⇒ A = 3 ⇒ Y = 3e3x.
Obecn´e ˇreˇsen´ı je y = c1e−x + c2e2x + c3xe2x + 3e3x