Nelineární nesetrvačné obvody

. (4 – 19 )
211
2
2100
,2, UbbaUbUbba
QQQ
−=+−=
Tuto aproximaci používáme pro monotónní charakteristiky a z paraboly využíváme
pouze jednu (obvykle rostoucí) větev.


Obr.4.10b Obr.4.10c

7

Obr.4.11a Obr.4.11b

Aproximace kubickou parabolou, n=3 (obr.4.11b) umožňuje vystihnout existenci
inflexního bodu a dvou extrémů na charakteristice. Pro proud pak můžeme psát
()()( )
10
3
3
2
210
auaaUubUubUubbi
QQQp
++=−+−+−+=
3
3
2
2
uau +
,3
2
3 Q
Ub+
,
(4 – 20 )
kde
(4 – 21 ), (4 – 22 )

2,
211
3
2
2
2100 QQQQ
UbbaUbUbUbba −=−+−=
33322
,3 baUbba
Q
=−= . (4 – 23 )
Polynomy vyšších stupňů se k aproximaci používají jen zřídka a to tehdy, vyžadujeme-li
vyšší přesnost aproximace a výpočty provádíme počítačem.


Určení koeficientů aproximačního polynomu n-tého stupně

Pro polynom n-tého stupně musíme stanovit hodnoty n+1 koeficientů
koli způsobem, musíme se
n
bbb ,...,,,
21
b
0
nebo . Ať již určíme koeficienty jakým
n
aaa ,...,,
21
a ,
0
nakonec vždy přesvědčit, jak aproximační polynom probíhá a zda je získaná aproximace
v požadovaném intervalu proměnných vyhovující.
funkcí),
Potřebujeme-li polynomem aproximovat závislost, která je dána analytickým výrazem
(např. exponenciální který nám ale pro daný účel nevyhovuje, vypočítáme
příslušné derivace (
Q
Ui′ v pracovním bodě = a z nich potřebné
koeficienty.
) ( )...,,
Q
Ui′′
Q
Uu

Obvykle však vycházíme z naměřených hodnot, které máme ve formě tabulky nebo
grafu. Pak volíme mezi interpolací a aproximací na nejmenší kvadratickou chybu.





8
Aproximace interpolací
je postup, kdy se aproximační polynom n-tého stupně přesně shoduje s původním
průběhem v n+1 bodě. Tím jsou dány podmínky pro určení potřebného počtu
koeficientů.
Pro interpolaci
.
,
,
2
323
2
222
2
121
ua
ua
ua
+
+
+
kvadratickou parabolou např. potřebujeme určit 3 koeficienty.
Požadujeme proto, aby aproximační polynom procházel 3 měřenými body, které na
charakteristice zvolíme. Pak v souladu s obr.4.12a musí platit
(4 – 24 )
103
102
101
uaai
uaai
uaai
+=
+=
+=
Dostali jsme soustavu lineárních rovnic, jejímž řešením jsou hledané koeficienty.



Obr.4.12a Obr.4.12b
Příklad 4.1:

Pro křemíkovou diodu byly naměřeny hodnoty uvedené v tabulce:

u [V] 0,20 0,40 0,50 0,55 0,60 0,625 0,65 0,675 0,70
i[A] 0 0 0,0005 0,004 0,02 0,10 0,45 0,60 1,0

Interpolace kvadratickou parabolou kolem pracovního bodu Vu 1,0 =∆VU
Q
s 6,0=
vede na polynom
, 3105,14+u
Vu 05,0
6325,52025,48
2
1
−= ui
p
interpolace za podmínek U V
Q
,65,0= dává polynom =∆
. 22,44,21 +u24
2
2
−= ui
p
Výsledné parabolické průběhy jsou nakresleny na obr.4.13a. Kroužky v obrázku
označují naměřené body. Je zřejmé, že náhrada skutečné charakteristiky polynomem 2.
stupně je

9


Obr.4.13a Obr.4.13b


10
3p
i
vcelku přijatelná v intervalu napětí mezi 0,6 a 0,7 V. Pro napětí nižší než asi 0,6 V je
prakticky nepoužitelná.
Křivkou označenou jako je na obr.4.13b zakreslen průběh polynomu 6. stupně,
proloženého sedmi body od u=0,5 V do u=0,7. V obrázku je vykreslena jen část mezi
0,6 a 0,7 V. Protože přesnost naměřené charakteristiky byla malá, snaha vést
interpolační křivku všemi naměřenými body zřejmě vede k výsledku, který se pro další
použití nehodí.

Aproximace s nejmenší kvadratickou chybou.
Abychom potlačili vliv nepřesností při měření charakteristik a současně využili toho, že
naměřených bodů máme k dispozici větší množství, používáme často aproximaci
vedoucí na nejmenší kvadratickou chybu. Předpokládáme, že máme m
)[]
2
+
n
jn
ua
bodů
charakteristiky a chceme její průběh aproximovat polynomem nízkého stupně n0. ai=
Hledáme proud i a
i
U
i
R
ii
RiU .
napětí u, je-li rezistor napájen ze zdroje napětí >0 s lineárním
vnitřním odporem .
Podle 2. Kirchhoffova zákona platí u . Dosadíme za proud, upravíme a
dostaneme kvadratickou rovnici
−=
0
2
=−
i
i
Ra
U1
2
2
+
i
u
Ra
u s řešením
ii
URa
2
4+
ii
RaRa
22
1
2
1
2
1
+−=u .

16

17
i
U
VU
i
2, =Ω
(Protože >0, musí být u>0 a proto uvažujeme pouze řešení s kladným znaménkem
před odmocninou.)
Je-li v konkrétním případě např. (konstantní napětí),
vypočítáme u=0.292214 V, i=0.170779 A.
RAVa
i
10,2
2
2
==
−

Potíž při analytickém řešení je v tom, že řešení nelineárních problémů, se kterými se v
praxi setkáváme, vede v naprosté většině případů na rovnice, které řešení v uzavřeném
tvaru nemají. Proto se analytických metod používá častto jen pro demonstraci některých
obecných vlastností nelineárních obvodů.
Velký význam však mají analytické metody řešení ve spojení s aproximací
nelineárních prvků linearizací. Ukážeme to na dvou příkladech.

Příklad 4.6:
V obvodu na obrázku máme vypočítat výstupní napětí. Nahradíme nelineární prvek jeho
linearizovaným modelem a řešíme metodou lineárních obvodů.














A
RR
UU
I
UURRI
UIRURI
d
P
d
Pdd
ddPd
1833,0
)(
0
1
1
1
=
+
−
=
−=+
=−++

Příklad 4.7:
V obvodu na obrázku máme vypočítat výstupní napětí. Nahradíme nelineární prvek jeho
linearizovaným modelem a řešíme metodou lineárních obvodů.
VIRUU
ddP
8166,0
2
=+=
a)Metodou smyčkových proudů


AI
S
022957,0
2
2
=
∆
∆
= VIRU
S
74,5
222
==



b) Metodou uzlových napětí :


V
GGG
II
U
IIGGGU
d
Z
Zd
74,5
)(
21
2
212
=
++
+
=
⇒+=++



4.4.3. Numerické metody

Numerické metody umožňují řešení nelineárních rovnic elektrických obvodů pomocí
počítače. Protože tyto rovnice nemají v obecném případě řešení v uzavřeném tvaru,
používá se při řešení iteračního postupu, tj. postupu založeném na postupném
přibližování ke konečnému výsledku. Nejdůležitější z těchto metod ukážeme na příkladu
řešení nelineární rovnice o jedné neznámé

18
() 0

. =xf
Q
xx=Hledáme kořen , pro který je daná rovnice splněna. O funkci f(x)
předpokládáme, že je spojitá a má jen jeden kořen.


19
x
d h
Metoda půlení intervalu je jednoduchá a spolehlivá. Vycházíme z toho, že známe body
a ,