Nelineární nesetrvačné obvody

obvodu zdrojem konstantního napětí, je dán vzorcem (4 – 2) jako v
předcházejícím případě a závisí na statické vodivosti . Zdroj proměnného signálu
dodává do obvodu výkon
s
G
() ()tuGtP
d
2
∆=
∆
. (4 – 8) ( )tiR
d
2
∆=
Ten závisí na dynamických parametrech prvku. Zvláštní situace nastane, má-li
nelineární rezistor charakteristiku typu N (obr.4.5c) nebo S (obr.4.5d). V bodech A a B
na obr.4.5c
Obr.4.5a Obr.4.5b

B
uu〉
je dynamická vodivost rovna nule. Tyto body rozdělují charakteristiku na tři oblasti: Pro
napětí nebo , je dynamická vodivost vždy kladná. Mezi body A
A
uu〈 a B je však
dynamická vodivost záporná. Ze vztahu (4 – 8) vyplývá, že v tomto případě je výkon
dodávaný zdrojem signálu záporný. Negativní dynamická vodivost (negativní
dynamický odpor) se tedy chová jako zdroj energie. Ve skutečnosti ovšem je tato
energie odebírána ze zdroje napětí a nelineární rezistor pouze zprostředkuje její
přenos. Má-li prvek charakteristiku typu S, jak ukazuje obr.4.5d, je situace analogická.
Mezi body C D, ve kterých je dynamický odpor roven nule, leží oblast záporného
dynamického odporu.
( )tu∆
Q
U
Obr.4.5c Obr.4.5d
a

4.3. Aproximace nelineárních charakteristik

Charakteristiky nelineárních prvků jsou obvykle získány měřením v určitém konečném
počtu bodů. Hodnoty máme proto k dispozici v tabulkách nebo grafech. Abychom
umožnili numerické řešení obvodů s nelineárními prvky, je třeba mít charakteristiky
vyjádřeny pomocí analytických výrazů. Takový výraz by měl na jedné straně dostatečně
přesně vystihovat skutečný tvar charakteristiky, na druhé straně však musí být tak
jednoduchý, aby nadměrně nekomplikoval matematické operace, které s ním v průběhu
řešení budeme provádět.
V praxi se používá především těchto způsobů analytického vyjádření charakteristik:
- linearizace,
- po částech lineární aproximace,
- interpolace nebo aproximace polynomem,
- aproximace exponenciální funkcí.
Který z uvedených způsobů použijeme, záleží na konkrétním průběhu charakteristiky,
na velikosti signálu v obvodu a na tom, které vlastnosti obvodu se chystáme analyzovat.


4.3.1. Linearizace

V odstavci 4.2 jsme již poznali, že pro malé signály lze charakteristiku nelineárního
prvku nahradit v bezprostředním okolí pracovního bodu přímkou. Takové náhradě se
říká linearizace charakteristiky. Pokud pracovní body všech nelineárních prvků známe
a poloha pracovních bodů se nemění, můžeme analyzovat průchod signálu obvodem na
základě lineárního náhradního schématu, ve kterém všechny nelineární prvky jsou
nahrazeny svými linearizovanými modely. Celá analýza se tak podstatně zjednoduší,

5
protože k ní můžeme použít všech metod, které používáme při analýze lineárních
obvodů.
4.3.2. Po částech lineární aproximace
1+


Při po částech lineární aproximaci neboli aproximaci lomenou přímkou nahradíme
nelineární charakteristiku přímkovými úseky, spojujícími sousední měřené body.
Charakteristika je tak v jednotlivých intervalech linearizována. Na obr.10a je nakreslen
příklad charakteristiky nelineárního rezistoru. V úseku
i
u má aproximovaná
charakteristika sklon daný dynamickou vodivostí
≤≤
i
uu

d
G (4 – 14 )
ii
ii
uu
ii
−
−
=
+
+
1
1
0
Uua protíná osu napětí v bodě = a osu proudu v . Rezistor je tak možno
nahradit ekvivalentním sériovým spojením zdroje napětí a vnitřního odporu
nebo paralelním spojením zdroje proudu a téhož vnitřního odporu.
Popsaný postup se jeví jako velmi výhodný, protože původní nelineární obvod se dá
nyní řešit jako obvod lineární. Problém je však v tom, že v každém intervalu jsou
parametry náhradního obvodu jiné a na počátku analýzy obvodu ani nevíme, kde
máme řešení
0
Ii=
0
U
dd
GR /1=
0
I
hledat. Obsahuje-li obvod takových prvků větší množství, velmi rychle narůstá počet
možných kombinací poloh pracovních bodů na
jednotlivých charakteristikách a řešení může být i
za pomoci počítače časově neúnosně náročné .
Z uvedených důvodů se po částech lineární
aproximace užívá převážně jen pro aproximaci
charakteristiky diody nebo Zenerovy diody, tj. v
případech, kdy pro funkci prvku je rozhodující
pouze jediný bod zlomu na charakteristice.
Charakteristika typické diody
u
ak
ak
u
pak
Uu
je na obr.4.10b.
Je-li anodové napětí záporné nebo malé
kladné, proud diodou lze zanedbat. Až dosáhne
anodové napětí několika desetin voltu, proud
velmi rychle roste. Charakteristiku tak můžeme nahradit dvěma polopřímkami, které
se stýkají v bodě . Pro
p
U= < dioda nevede a chová se jako rozpojený
obvod. Pro dioda propouští proud a chová se jako sériové spojení zdroje
napětí a malého vnitřního odporu. Je zřejmé, že při změně stavu diody dochází i ke
změně počtu větví analyzovaného obvodu, obvod mění svoji konfiguraci a rovnice
obvodu dostávají jiný tvar.
p
U
ak
u >
p
U
Obr.4.10a

6

Na charakteristice Zenerovy diody (obr.4.10c) nás zajímá především oblast záporných
napětí v okolí bodu , která se používá ve stabilizátorech stejnosměrného
napětí. I zde je použití aproximace lomenou přímkou naprosto oprávněné.
zak
Uu =
()
( )
()
( )
()
( )
()...
!3!2!1
32
+−
′′′
+−
′′
+−
′
+=
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Uu
Ui
Uu
Ui
Uu
Ui
Iui


4.3.3. Aproximace a interpolace polynomem

V okolí pracovního bodu Q rozvineme závislost i=f(u), popisující nelineární
charakteristiku prvku, v Taylorovu řadu
(4 – 15 )
Jednotlivé derivace di/du jsou vyhodnoceny v pracovním bodě a jsou to proto
vzhledem k u konstanty. Proto lze psát
Q
Uu=
() ()()( ) ...
3
+−
Q
U
...
3
3
++ ua
3
2
210
+−+−+=
QQ
ubUubUubbui (4 – 16 )
resp. po provedení naznačených operací
(4 – 17) ()
2
210
++= uauaaui
Při praktických výpočtech ovšem místo nekonečné řady používáme pouze konečný
počet členů řady. Závislost je pak nahrazena polynomem n-tého stupně. Volba stupně
polynomu je založena na kompromisu mezi přesností a jednoduchostí aproximace.
Volíme-li n=1, omezujeme se na první dva členy, zanedbáváme nelinearitu prvku a
charakteristiku linearizujeme.
Nejjednodušší aproximace, která nelinearitu respektuje, je aproximace polynomem 2.
stupně, tj. náhrada charakteristiky kvadratickou parabolou (obr.4.11a)
()( )
0
2
210
aUubUubbi
QQp
+=−+−+=
2
21
uaua +
22
ba =
, (4 – 18 )
kde