moment_setrvacnosti6

Fyzikální praktikum
Ústav Fyziky
FE VUT BRNO
Jméno: :
Kód:
Dušan Medlín
Ročník:
Obor:
Skupina:
Prac. skupina:
1.
FEKT
B1C-32
A
Spolupracoval :
Měřeno dne :
Odevzdáno dne :
Marek Mikula
2.10.2002
16.10.2002
Příprava :
Opravy:
Učitel:
Hodnocení:

Název úlohy:
Číslo úlohy:
Moment setrvačnosti desky, moment setrvačnosti setrvačníku
5
Úkol
a)
Stanovte moment setrvačnosti homogenní desky: přímo - z definičního vztahu a experimentálně - z doby kmitu fyzického kyvadla.
b)
Stanovte moment setrvačnosti daného setrvačníku.
Teoretický rozbor
a)
Moment setrvačnosti J tuhého tělesa vzhledem k dané ose je skalární veličina charakterizující rozložení hmotnosti v tělese vzhledem k dané ose. Je-li hmotnost v tuhém tělese rozložena spojitě, určí se moment setrvačnosti vztahem
kde dm je hmotnost elementu tuhého tělesa ve vzdálenosti r od osy.
Moment setrvačnosti je mírou setrvačných vlastností tělesa při otáčivém pohybu. Vystupuje analogicky jako hmotnost při popisu posuvného pohybu tuhého tělesa. Na rozdíl od hmotnosti daného tělesa v úlohách newtonské mechaniky, kterou považujeme za nezávislou veličinu, závisí jeho moment setrvačnosti na poloze osy rotace. Ze všech rovnoběžných os otáčení přísluší nejmenší moment setrvačnosti - značíme jej J0 - ose procházející těžištěm tělesa. Tento moment setrvačnosti bývá nazýván hlavním (centrálním). Mezi momenty setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem ke dvěma rovnoběžným osám, z nichž jedna prochází těžištěm tuhého tělesa, platí Steinerova věta
EMBED Equation.3 (1.1)
kde m je hmotnost tělesa a l je vzdálenost obou rovnoběžných os. Určit moment setrvačnosti výpočtem podle definiční rovnice bývá výhodné pouze u těles jednoduchého tvaru. Např. homogenní deska obdélníkového tvaru o rozměrech a, b a hmotnosti m má hlavní moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé na plochu desky
(1.2)
Při rovnoměrně rozložené hmotnosti nezáleží moment setrvačnosti na tloušťce desky.
U těles složitějších tvarů je snadnější (i přesnější) určit moment setrvačnosti některou z nepřímých metod, např. z doby kmitu fyzického kyvadla.
Fyzické kyvadlo je každé tuhé těleso o hmotnosti m, které je otáčivé kolem horizontální osy, jejíž vzdálenost od těžiště tělesa je l. Pohybová rovnice tuhého tělesa, otáčejícího se kolem pevné osy, je
(1.3)
kde M je výsledný moment vnějších sil vzhledem k ose otáčení, J moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a je úhlové zrychlení.
Vychýlíme-li těleso (fyzické kyvadlo) z rovnovážné polohy o úhel φ, působí na něj tíha momentem, který se snaží vrátit ho zpět do rovnovážné polohy - těleso začne konat kmitavý pohyb. Velikost Momentu síly je
(1.4)
Záporné znaménko vyjadřuje okolnost, že moment tíhy tělesa M má vždy opačný smysl než výchylka.
Pro malé výchylky z rovnovážné polohy můžeme položit
, takže (1.5)
chyba, jaké se při tom dopustíme, je při φ=5° asi 0,05%. Po dosazení a úpravách obdržíme rovnici
(1.6)
Tato rovnice je totožná s diferenciální rovnicí harmonického průběhu, v níž
(1.7)
je kvadrát úhlové frekvence kmitavého pohybu kyvadla.
Doba kmitu fyzického kyvadla T (při jeho nahrazení harmonickým pohybem) je tedy rovna
(1.8)
a závisí na vzdálenosti osy od těžiště.
Z předchozí rovnice obdržíme pro moment setrvačnosti J vztah
(1.9)
Dosadíme-li za J z první rovnice, určíme nejkratší dobu kmitu z podmínky pro minimum funkce T(l)
(1.10)
z řešení vyplývá, že nejkratší doba kmitu nastává pro (1.11),
kde l0 se nazývá poloměr setrvačnosti. Do této vzdálenosti od těžiště tělesa bychom mu