moment_setrvacnosti15

Moment Setrvačnosti setrvačníku a desky

Úkol:
Stanovte moment setrvačnosti homogenní desky: přímo – z definičního vztahu a experimentálně – z doby kmitu fyzického kyvadla.
Stanovte moment setrvačnosti daného setrvačníku.
Teoretický úvod:
Moment setrvačnosti J tuhého tělesa vzhledem k dané ose je skalární veličina charakterizující rozložení hmotnosti v tělese vzhledem k dané ose. Je-li hmotnost v tuhém tělese rozložena spojitě, určí se moment setrvačnosti vztahem:
Moment setrvačnosti je mírou setrvačných vlastností tělesa při otáčivém pohybu. Mezi momenty setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem ke dvěma rovnoběžným osám, z nichž jedna prochází těžištěm tuhého tělesa, platí Steinerova věta
kde J0 nejmenší moment setrvačnosti ze všech os otáčení ( osa procházející těžištěm ), l je vzdálenost obou rovnoběžných os, m je hmotnost tělesa.
Tento vztah je výhodný používat pouze u těles jednoduchého tvaru, naše deska má tedy moment setrvačnosti ( při rozměrech desky a,b ):
Při rovnoměrně rozložené hmotnosti nezáleží moment setrvačnosti na tloušťce desky.
Fyzické kyvadlo je každé tuhé těleso o hmotnosti m, které je otáčivé kolem horizontální osy, jejíž vzdálenost od těžiště tělesa je l. Pohybová rovnice pak je:
M je výsledný moment vnějších sil vzhledem k ose otáčení, J moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a je úhlové zrychlení.
Vychýlíme-li fyzické kyvadlo z rovnovážné polohy o úhel , působí na něj síla momentem, který se snaží vrátit ho zpět do rovnovážné polohy, velikost momentu tíhy pak je:
Záporná znaménko vyjadřuje okolnost, že moment tíhy tělesa M má vždycky opačný smysl, než výchylka.
Pro malé výchylky z rovnovážné polohy můžeme položit
Chyba jaké se při tom dopustíme, je při = 5° asi 0,05%. Po dosazení pohybové rovnice dostaneme:
Tato rovnice je totožná s diferenciální rovnicí harmonické pohybu
Doba kmitu fyzického kyvadla T ( při jeho nahrazení harmonickým pohybem ) je rovna
a závisí na vzdálenosti osy od těžiště. Z této rovnice obdržíme pro moment setrvačnosti J vztah:
Dosazením za J, určíme nejkratší dobu kmitu z podmínky pro minimum funkce T(l). Z řešení této rovnice vyplývá, že nejkratší doba kmitu nastává pro:
kde l0 je poloměr setrvačnosti.
Souvislost otáčivého pohybu a momentu setrvačnosti můžeme sledovat na setrvačníku. Navineme-li na hřídel lanko se zavěšeným závažím a uvolníme setrvačník, dá se celá soustava do pohybu. To ale pouze za předpokladu, že moment tíhy závaží vzhledem k ose setrvačníku je větší než moment sil tření .Za čas T se vlákno odmotá a závaží ( urazí mezitím dráhu h ) odpadne. Jeho rychlost je a dráha, kterou urazilo za čas T je 3 spojením obou rovnic dostaneme pro rychlost vztah:
Kruhová rychlost setrvačníku je , po dosazení obdržíme, že .
Z platnosti zákona zachování energie plyne
kde At je práce třecích sil. Ta se dá vyjádřit vztahem
Po dosaz