hrw9

9
Soustavy Ë·stic
PotemnÏlÈ hlediötÏ a oz·¯en· scÈna. Obecenstvo s obdivem sleduje sÛlov˝
v˝stup primabalerÌny. Je nadöeno zejmÈna efektnÌmi skoky Ñgrand jetÈì,
p¯i nichû se jejÌ hlava i trup pohybujÌ tak¯ka vodorovnÏ tÈmϯ po celou
dobu letu. Baletka se na scÈnÏ doslova vzn·öÌ. Laik v hlediöti asi nenÌ
podrobnÏ obezn·men s problematikou gravitaËnÌho p˘sobenÌ a pohybu tÏles
v tÌhovÈm poli ZemÏ. VÌ vöak, ûe kdyby se s·m pokusil takto vyskoËit,
bude dr·ha jeho trupu i hlavy spÌöe parabolick·, podobnÏ jako je tomu
v p¯ÌpadÏ vyhozenÈho kamene Ëi fotbalovÈho mÌËe po brank·¯ovÏ v˝kopu.
Na scÈnÏ se tedy zjevnÏ dÏje nÏco velmi neobvyklÈho. Jak to baletka
dok·ûe, ûe se jÌ gravitace p¯Ìliö Ñnet˝k·ì
?
208 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
9.1 VÝZNAČNÝ BOD
Fyzikové rádi přemýšlejí nad složitými problémy a hle-
dají v nich něco jednoduchého a známého. Představme si
například, že vyhazujeme do vzduchu baseballovou pál-
ku. Pálka se otáčí. Její pohyb je tedy mnohem složitější
než třeba pohyb míčku, který se chová jako hmotný bod
(obr.9.1a). Trajektorie jednotlivých elementů pálky jsou
navzájem odlišné. Proto ji při popisu jejího pohybu nelze
nahradit hmotným bodem. Pálku je třeba chápat jako sou-
stavu hmotných bodů.
Při podrobnějším zkoumání však zjistíme, že jeden
z bodů pálky má význačné postavení. Pohybuje se totiž
po jednoduché parabolické dráze, stejně jako se pohybuje
částice přišikmém vrhu(obr.9.1b).Jeho pohyb jepřesněta-
kový,jakokdyby(1)v něm bylasoustředěnaveškeráhmota
pálky a (2) působila v něm celková tíhová síla působící
na pálku. Tento význačný bod se nazývá střed hmotnosti
pálky neboli těžiště.* Obecně platí:
Těžiště tělesa nebo soustavy těles je bod, který se pohy-
buje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmota
tělesa (soustavy) a působily v něm všechny vnější síly
působící na těleso (soustavu).
Těžiště baseballové pálky leží na její podélné ose. Mů-
žeme ho najít tak, že si pálku položíme vodorovně na na-
pjatý prst a vyvážímeji. Těžiště pak bude ležet na ose pálky
právě nad prstem.
9.2 TĚŽIŠTĚ
Zabývejmese nyníproblémem,jaknalézttěžiště nejrůzněj-
ších soustav. Začneme u soustavy složené pouze z několika
částic a teprve pak budeme uvažovat o souborech obsahu-
jících velké množství částic (např. baseballová pálka).
Soustavy částic
Na obr.9.2a jsou zakresleny dvě částice o hmotnostechm
1
am
2
.Jejich vzdálenostjed.Počátekosyx,jehožvolbanení
nijak omezena, jsme vybrali tak, aby splýval s částicí m
1
.
Polohutěžištětétodvoučásticovésoustavydefinujemevzta-
hem
x
T
=
m
2
m
1
+m
2
d. (9.1)
Abychom posoudili, nakolik je tato definice rozumná, uva-
žujme speciální případy. Zvolme nejprve m
2
= 0. Tato
volba odpovídá soustavě s jedinou částicí m
1
. Její těžiště
* V celé knize užíváme označení „těžiště“, „hmotný střed“ a „střed
hmotnosti“ jako synonyma. V čl. 13.3 najdete podrobné zdůvodnění.
(a)
(b)
Obr.9.1 (a) Míček vržený šikmo vzhůru se pohybuje po para-
bolické trajektorii. (b) Těžiště baseballové pálky (černá tečka)
vyhozené do vzduchu se rovněž pohybuje po parabole, ostatní
body pálky však opisují trajektorie komplikovanější.
9.2 TĚŽIŠTĚ 209
by mělo s touto částicí splývat. Z rov.(9.1) skutečně plyne
x
T
= 0. Je-li naopak m
1
= 0, obsahuje soustava opět
jedinou částici, tentokrát m
2
. Podle očekávání dostáváme
x
T
=d.Prom
1
=m
2
by mělo být těžiště uprostřed mezi
částicemi. Skutečně tomu tak je, nebotquoteright z rov.(9.1) dostá-
váme x
T
= d/2. Ze vztahu (9.1) také vyplývá, že pro
obecně zvolené nenulové hmotnosti obou částic leží hod-
notax
T
vždy uvnitř intervalu(0,d). Těžiště tedy v každém
případě leží někde mezi oběma částicemi.
x
y
d
m
1
m
2
x
T
T
x
y
d
m
1
m
2
x
T
T
x
1
x
2
(a)
(b)
Obr.9.2 (a)Vzdálenostdvoučásticohmotnostechm
1
am
2
jed.
Bod označený symbolemT je těžištěm dvoučásticové soustavy,
vypočteným z rov. (9.1). (b) Situace se od obr. (a) liší obecným
umístěním počátku soustavy souřadnic. Těžiště je vypočteno
z rov. (9.2). Poloha těžiště soustavy vzhledem k oběma částicím
je v obou případech stejná.
Na obr.9.2b je znázorněna situace odpovídající obec-
nější volbě počátku soustavy souřadnic. Poloha těžiště je
v takovém případě definována vztahem
x
T
=
m
1
x
1
+m
2
x
2
m
1
+m
2
. (9.2)
Všimněme si, že prox
1
= 0 přejde rov.(9.2) na jednodušší
tvar(9.1). Posunutí počátku soustavy souřadnic nemá vliv
na polohu těžiště vzhledem k jednotlivým částicím.
Přepišme rov.(9.2) do tvaru
x
T
=
m
1
x
1
+m
2
x
2
M
, (9.3)
kdeM je celková hmotnost soustavy,M =m
1
+m
2
. Plat-
nost tohoto vztahu lze snadno zobecnit na případ soustavy
n částic umístěných na osex. Celková hmotnost soustavy
jeM =m
1
+m
2
+…+m
n
a těžiště je v bodě o souřadnici
x
T
=
m
1
x
1
+m
2
x
2
+m
3
x
3
+… +m
n
x
n
M
=
=
1
M
n
summationdisplay
i=1
m
i
x
i
. (9.4)
Sčítací index i nabývá všech celočíselných hodnot od 1
do n. Představuje pořadové (identifikační) číslo částice
a „čísluje“ i její hmotnost ax-ovou souřadnici.
Jsou-li částice soustavy rozmístěny v trojrozměrném
prostoru, je poloha jejího těžiště určena trojicí souřadnic.
Získáme ji zobecněním rov.(9.4) na trojrozměrný případ:
x
T
=
1
M
n
summationdisplay
i=1
m
i
x
i
,
y
T
=
1
M
n
summationdisplay
i=1
m
i
y
i
, (9.5)
z
T
=
1
M
n
summationdisplay
i=1
m
i
z
i
.
Polohu těžiště můžeme zapsat i použitím vektorové sym-
boliky. Polohu i-té částice lze totiž zadat budquoteright jejími sou-
řadnicemix
i
,y
i
az
i
, nebo polohovým vektorem
r
i
=x
i
i +y
i
j +z
i
k. (9.6)
Index i označuje částici, i, j a k jsou jednotkové vektory
kartézské soustavy souřadnic.Těžištěje zadánopolohovým
vektorem
r
T
=x
T
i +y
T
j +z
T
k. (9.7)
Tři skalární rovnice (9.5) lze tak nahradit jedinou vektoro-
vou rovnicí:
r
T
=
1
M
n
summationdisplay
i=1
m
i
r
i
. (9.8)
O její správnosti se můžeme přesvědčit dosazením z (9.6)
a (9.7)a rozepsánímdo souřadnic.Dostanemeskalárnírov-
nice (9.5).
Tuhá tělesa
Běžné těleso, jakým je například i baseballová pálka, ob-
sahuje tak obrovské množství částic (atomů), že je při-
rozenější posuzovat je jako objekt se spojitě rozloženou
hmotou. Takový objekt již není tvořen jednotlivými na-
vzájem oddělenými částmi, nýbrž infinitezimálně malými
210 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
částicemi (elementy) o hmotnosti dm. Součty v rovnicích
(9.5) je třeba nahradit integrály a souřadnice těžiště defino-
vat vztahy
x
T
=
1
M
integraldisplay
xdm,
y
T
=
1
M
integraldisplay
ydm, (9.9)
z
T
=
1
M
integraldisplay
zdm.
M opět představuje celkovou hmotnost tělesa. Integrály
symbolizují „sčítání“ všech elementů v celém tělese. Jejich
výpočet je ovšem třeba provádět v souřadnicích. Je-li tě-
lesohomogenní,lzejehohustoturho1(hmotnostjednotkového
objemu) vyjádřit vztahem
rho1=
dm
dV
=
M
V
, (9.10)
kde dV je objem elementu hmotnosti dm a V je celkový
objem tělesa. V rov.(9.9) můžeme element dm nahradit
výrazemrho1dV získaným z rov.(9.10) a dostaneme
x
T
=
1
V
integraldisplay
xdV,
y
T
=
1
V
integraldisplay
ydV, (9.11)
z
T
=
1
V
integraldisplay
zdV.
Integračním oborem těchto integrálů je objem tělesa, tj.
útvar vymezený tímto tělesem v trojrozměrném prostoru
(př.9.4).
Celá řada těles má určitou geometrickou symetrii, na-
příklad středovou, osovou nebo rovinnou. Poloha těžiště
takového symetrického homogenního tělesa s jeho syme-
trií úzce souvisí. Je-li těleso středově symetrické, splývá
jeho těžiště se středem symetrie. Těžiště tělesa s osovou
(resp. rovinnou)symetrií leží na ose (resp. v rovině) symet-
rie. Těžiště homogenní koule splývá s jejím geometrickým
středem. Těžiště homogenního kužele leží na jeho ose. Tě-
žiště banánu,jehož rovinasymetriejejdělína dvězrcadlově
stejné části, leží v této rovině.
Těžiště však nemusí nutně ležet v tělese. Tak například
v těžišti preclíku není žádné těsto a v těžišti podkovy není
žádné železo.
PŘÍKLAD9.1
Na obr. 9.3 jsou tři částice o hmotnostech m
1
= 1,2 kg,
m
2
= 2,5kgam
3
= 3,4 kg umístěny ve vrcholech rovno-
stranného trojúhelníka o straně a = 140 cm. Určete polohu
těžiště soustavy.
ŘEŠENÍ: Zvolme souřadnicové osy x a y tak, aby jedna
z částic byla umístěna v počátku a osax splývala s jednou ze
stran trojúhelníka. Částice mají tyto souřadnice:
ČÁSTICE HMOTNOST (kg) x (cm) y (cm)
m
1
1,2 0 0
m
2
2,5 140 0
m
3
3,4 70 121
Díky vhodné volbě soustavy souřadnic jsou tři souřadnice
v tabulce nulové. Výpočet bude velmi jednoduchý.
Z rov. (9.5) plyne, že souřadnice těžiště jsou
x
T
=
1
M
3
summationdisplay
i=1
m
i
x
i
=
m
1
x
1
+m
2
x
2
+m
3
x
3
M
=
=
(1,2kg)(0)+(2,5kg)(140 cm)+(3,4kg)(70 cm)
(7,1kg)
=
= 83 cm (Odpovědquoteright)
a
y
T
=
1
M
3
summationdisplay
i=1
m
i
y
i
=
m
1
y
1
+m
2
y
2
+m
3
y
3
M
=
=
(1,2kg)(0)+(2,5kg)(0)+(3,4kg)(121 cm)
(7,1kg)
=
= 58 cm. (Odpovědquoteright)
Těžiště soustavy na obr. 9.3 je určeno polohovým vektorem
r
T
o souřadnicíchx
T
ay
T
.
0
50 100 1500
50
100
150
x
y
aa
m
1
m
2
m
3
x
T
y
T
r
T
Obr.9.3 Příklad 9.1. Tři částice s různými hmotnostmi tvoří rov-
nostranný trojúhelník o straněa. Polohový vektortěžiště je r
T
.
PŘÍKLAD 9.2
Najděte těžiště homogenní trojúhelníkové desky znázorněné
na obr. 9.4.
ŘEŠENÍ: Obr. 9.4a znázorňuje desku rozdělenou na úzké
proužky rovnoběžné s jednou z jejích stran. Ze symetrie je
9.2 TĚŽIŠTĚ 211
zřejmé, že těžiště úzkého homogenního proužku leží v jeho
geometrickém středu. Těžiště trojúhelníkové desky musí
proto ležet někde na spojnici středů všech rovnoběžných
proužků. Touto spojnicí je přímka spojující vrchol trojúhel-
níka se středem protilehlé strany, tj. je těžnicí trojúhelníka.
Kdybychom desku podepřeli rovným ostřím nože přesně po-
dél těžnice, byla by v rovnováze.
Na obr. 9.4b, c jsme desku rozdělili na proužky rovno-
běžné s dalšími dvěma stranami. V každém z těchto pří-
padů leží těžiště desky na přímce spojující středy proužků
(na těžnici trojúhelníka), podobně jako na obr. 9.4a. Všechny
tři těžnice mají společný průsečík. V něm leží těžiště desky
(obr. 9.4d).
Předchozí závěrmůžeme ověřit jednoduchým pokusem.
Využijeme při tom správnou intuitivní představu, že těleso
zavěšené v jednom bodě zaujme takovou polohu, v níž jeho
těžiště leží pod bodem závěsu. Zavěsíme tedy trojúhelníko-
voudeskupostupněvjednotlivýchvrcholechapodleobr. 9.4e
vedeme z každého vrcholu svislou přímku. Těžiště desky
splývá s průsečíkem těchto tří přímek. Kdybychom desku
umístili do vodorovné polohy a podepřeli ji v těžišti hrotem,
byla by v rovnováze.
T
vlákno
(a)(b)
(c) (d)
(e)
Obr.9.4 Příklad 9.2. Na obrázcích (a), (b) a (c) je trojúhelníková
deska rozdělena na soustavu úzkých proužků rovnoběžných s ně-
kterou její stranou. Těžiště desky leží na těžnici trojúhelníka, tj. na
spojnici středů proužků. (d) Průsečík těžnic splývá s těžištěm des-
ky.(e) Experimentální zjištění polohy těžiště.Trojúhelník postupně
zavěšujeme v jeho vrcholech.
K
ONTROLA 1: Na obrázku je nakreslena homogenní
čtvercovádeska, zníž byly odříznutyčtyři stejné čtver-
ce. (a) Jaká je poloha těžiště původní desky? (b) Od-
hadněte polohu těžiště zbylého útvaru po odstranění
čtverce 1, (c) čtverců 1 a 2, (d) čtverců1 a 3, (e) čtverců
1, 2 a 3, (f) všech čtyř čtverců. Neprovádějte žádný
přesný výpočet. Využijte pouze symetrie útvaru nebo
naopak jeho asymetrie vzniklé odstraňováním čtverců
a rozhodněte, v kterém z kvadrantů, na které ose či
v kterém bodě těžiště leží.
x
y
12
34
PŘÍKLAD 9.3
Obr. 9.5a znázorňuje zbytek homogenní kruhové kovové
desky o poloměru 2R, z níž byl vyříznut kotouč o polo-
měruR. Vzniklé těleso označme X. Jeho těžiště leží na osex
a v obrázku je označeno tečkou. Určete jeho souřadnici.
ŘEŠENÍ: Obr. 9.5b ukazuje desku C před vyjmutím ko-
touče D. Ze symetrie vyplývá, že těžiště desky C je v jejím
středu (obr. 9.5b).
Těleso C je složeno ze dvou částí, D a X. Můžeme před-
pokládat, že hmotnost každé z nich je soustředěna v jejím
těžišti. Těžiště dvoučásticové soustavyT
D
+T
X
splývá s tě-
žištěm tělesa C. Polohy těžištquoteright těles C, D a X na ose x jsou
vyznačeny v obr. 9.5c.
Z rov. (9.2) vyplývá, že těžiště tělesa C je v bodě
x
C
=
m
D
x
D
+m
X
x
X
m
D
+m
X
,
kde x
D
a x
X
jsou souřadnice těžištquoteright těles D a X. Vzhledem
k tomu, že jex
C
= 0, platí
x
X
=−
x
D
m
D
m
X
. (9.12)
Označme rho1 hustotu materiálu desky a d její (konstantní)
tlouštquoterightku. Pak
m
D
= D4R
2
rho1d a m
X
= D4(2R)
2
rho1d−D4R
2
rho1d.
Uvážíme-li navíc, žex
D
=−R, dostaneme z rov. (9.12) po-
lohu těžiště tělesa X:
x
X
=−
(−R)(D4R
2
rho1d)
D4(2R)
2
rho1d−D4R
2
rho1d
=
1
3
R. (Odpovědquoteright)
212 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
Všimněme si, že konstantní hustota a konstantní tlouštquoterightka
desky se při výpočtu vykrátily. Na hodnotu x
X
tedy nemají
vliv.
x
y
x
y
x
y
2R
R
−R
T
X
T
X
T
C
T
D
T
X
T
C
T
D
x
X
=
1
3
R
těleso X
těleso X
těleso D
těleso C=D+X
(a)
(b)
(c)
Obr.9.5 Příklad 9.3. (a) Těleso X, jehož těžiště je označeno T
X
,
vzniklo vyříznutím kruhovéhootvoru o poloměruRv kovovémko-
touči o poloměru 2R. (b) Vyjmutý kotouč je označen symbolem D.
Jeho těžiště T
D
leží v jeho geometrickém středu a má souřadnici
x
D
=−R.TělesoCjesloženozčástíXaD.Jehotěžištějevpočátku
soustavy souřadnic. (c) Těžiště všech tří těles.
PŘÍKLAD9.4
Obr. 9.6a zachycuje mohylu Silbury Hill, postavenou na plá-
ních nedaleko Stonehenge před 4 600 lety. Účel stavby není
přesně znám, pravděpodobně sloužila jako pohřebiště. Má
tvarkomolého kužele (obr. 9.6b) o výšce h = 40 m a polo-
měrech podstavr
2
= 16 m (horní podstava) ar
1
= 88 m (zá-
kladna). Jeho objem jeV = 4,09·10
5
m
3
. Povrchové přímky
kužele svírají s vodorovnou rovinou úhelθ = 30
◦
.
x
y
z
z
θ
dz
r
r
1
r
2
D4r
2
h
H
H−h
H−z
(a)
(b)
Obr.9.6 Příklad 9.4. (a) Mohyla Silbury Hill v Anglii pochází
z mladší doby kamenné. Její stavba si vyžádala asi 1,8·10
7
pracov-
ních hodin.(b) Komolý kužel představující Silbury Hill. V obrázku
je vyznačena vrstva o poloměru r s infinitezimální tlouštquoterightkou dz,
ležící ve výšceznad základnou kužele.
(a) Určete polohu těžiště mohyly.
ŘEŠENÍ: Mohyla je rotačně symetrická, takže její těžiště
leží na její ose symetrie, ve výšcez
T
nad základnou kužele.
K výpočtu této výšky použijeme poslední z rovnic (9.11)
a integrál zjednodušíme užitím symetrie mohyly. Uvažme
tenkou vodorovnou vrstvu zvolenou podle obr. 9.6b. Vrstva
má poloměrr, tlouštquoterightku dza leží ve vzdálenostizod základny
9.3 VĚTA O HYBNOSTI 213
mohyly. Obsah její podstavy je D4r
2
a objem
dV = D4r
2
dz. (9.13)
Mohyla je tvořena všemi takovými vrstvami, jejichž polo-
měrse mění od největší hodnoty r
1
, odpovídající poloměru
základny, po hodnotu r
2
poloměru horní podstavy. Výšku
celého kužele, z něhož náš komolý kužel vznikl, označmeH
(obr. 9.6b). Pro poloměrr libovolné vrstvy pak platí
tgθ =
H
r
1
=
H −z
r
,
tj.
r =(H −z)
r
1
H
. (9.14)
Dosazením z (9.13) a (9.14) do poslední z rovnic (9.11) do-
staneme
z
T
=
1
V
integraldisplay
zdV =
D4r
2
1
VH
2
integraldisplay
h
0
z(H −z)
2
dz=
=
D4r
2
1
VH
2
integraldisplay
h
0
(z
3
− 2z
2
H +zH
2
)dz=
=
D4r
2
1
VH
2
bracketleftbigg
z
4
4
−
2z
3
H
3
+
z
2
H
2
2
bracketrightbigg
h
0
=
=
D4r
2
1
h
4
VH
2
bracketleftbigg
1
4
−
2H
3h
+
H
2
2h
2
bracketrightbigg
.
Pro zadané číselné hodnoty pak vychází
z
T
=
D4(88 m)
2
(40 m)
4
(4,09·10
5
m
3
)(50,8m)
2
·
·
bracketleftbigg
1
4
−
2(50,8m)
3(40 m)
+
(50,8m)
2
2(40 m)
2
bracketrightbigg
=
= 12,37 m
.
= 12 m. (Odpovědquoteright)
(b) Předpokládejme, že průměrná hustota materiálu, z něhož
je mohyla Silbury Hill postavena, jerho1= 1,5·10
3
kg·m
−3
.Ja-
kou práci vykonali dělníci při vršení mohyly, jestliže zeminu
zvedali z úrovně základny kužele?
ŘEŠENÍ: K výpočtu elementární práce dW potřebné k vy-
zdvižení hmotného elementu dm do výšky z použijeme
rov. (7.21), do níž dosadímeϕ= 180
◦
:
dW =−dmgzcos180
◦
=gzdm.
Ze vztahu (9.10) vyjádříme dm = rho1dV a dosazením do
předchozí rovnice dostaneme
dW =rho1gzdV.
Celkovou práci vypočteme pomocí integrálu jako součet ele-
mentárních prací dW:
W =
integraldisplay
dW =
integraldisplay
rho1gzdV =rho1g
integraldisplay
zdV.
Ze vztahů (9.11) je zřejmé, že poslední integrál má hodno-
tuVz
T
. Nakonec tedy dostáváme
W =rho1Vgz
T
. (9.15)
Práce potřebná k navršení mohyly Silbury Hill je tedy stejná
jako práce,kterou bychom museli vykonat při zvednutí stejně
hmotného bodového objektu z úrovně základny do těžiště
mohyly. Pro číselné hodnoty uvedené v zadání úlohy pak
z rov. (9.15) dostaneme:
W =(1,5·10
3
kg·m
−3
)(4,09·10
5
m
3
)·
·(9,8m·s
−2
)(12,37 m)=
= 7,4·10
10
J. (Odpovědquoteright)
RADY ANÁMĚTY
Bod 9.1:Úlohyotěžišti
V příkladech 9.1 až 9.3 jsme se seznámili se třemi různými
způsoby zjednodušení úloh směřujících k výpočtu polohy tě-
žiště: (1) Využití všech prvků symetrie zadaného tělesa (střed
symetrie, osy symetrie, roviny symetrie). (2) Těleso lze pro
účely výpočtu rozdělit na několik částí a každou z nich nahra-
dit částicí umístěnou v jejím těžišti. (3) Vhodná volba sou-
řadnicových os: volba souřadnic nemá vliv na polohu těžiště
soustavy částic vzhledem k těmto částicím. Je proto vhodné
volit počátek i osy soustavy souřadnic tak, aby se výpočet co
nejvíce zjednodušil. Je-li zadaná soustava tvořena jen něko-
lika částicemi, volíme obvykle počátek soustavy souřadnic
v některé z nich. Má-li soustava navíc osu symetrie, ztotož-
níme ji s některou ze souřadnicových os, například s osoux.
9.3 VĚTA O HYBNOSTI
Sledujeme-li srážku dvou kulečníkových koulí, z nichž
jedna je zpočátku v klidu, přirozeně očekáváme, že i po
srážce bude soustava nějak pokračovat v pohybu ve směru
nárazu. Asi bychom se divili, kdyby se obě koule vrátily
zpět nebo se třeba pohybovaly obě stejným směrem kol-
mým k pohybu první koule před srážkou.
Bod, který se stále pohybuje kupředu bez ohledu na
srážku, opravdu existuje. Je jím těžiště soustavy našich
dvou koulí. Snadno se o tom přesvědčíme přímo při ku-
lečníkové hře. Stačí si uvědomit, že těžiště soustavy dvou
stejně hmotných těles leží vždy uprostřed mezi nimi. Atquoteright
je srážka jakákoliv — přímá, nebo zcela obecná, těžiště
se neochvějně pohybuje kupředu, jako by srážka vůbec
nenastala. Sledujme tento jev podrobněji.
Místo dvojice kulečníkových koulí vezměme v úvahu
soustavunčástic, jejichž hmotnosti jsou obecně různé. Bu-
deme se zabývat pohybem těžiště této soustavy,bezohledu
214 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC
na pohyb jednotlivých částic. I když je těžiště pouze geo-
metrickým bodem, můžeme o něm uvažovat jako o částici,
jejíž hmotnost je rovna celkové hmotnosti soustavy. Mů-
žeme mu přisoudit polohu, rychlost i zrychlení. Později
ukážeme, že vektorová rovnice popisující pohyb těžiště
soustavy částic, zvaná věta o hybnosti (soustavy částic)
neboli prvníimpulzovávěta,* má tvar
Ma
T
=
summationdisplay
F
ext
. (9.16)
Vztah (9.16) má tvar druhého Newtonova zákona pro
těžiště soustavy částic. Skutečně, má stejný tvar( ma =
=
summationtext
F) jako druhý Newtonův zákon pro částici. Veličiny
vystupujícív rov.(9.16)je však třebasprávněinterpretovat:
1.
summationtext
F
ext
je vektorový součet všech vnějších sil působí-
cích na soustavu, tj. všech sil, jimiž okolní objekty působí
na jednotlivé částice soustavy. Síly, kterými na sebe působí
jednotlivé částice, resp. části soustavy navzájem, se nazý-
vají silami vnitřními. Ve vztahu (9.16) nevystu